四川省巴中市四县中2020至2021学年高二数学上期期末联考真题.pdf

打印版 打印版 四川省巴中市四县中 2020-2021 学年上期期末联考 高二数学试题（理科）（时间：120 分钟 满分：150 分）一、选择题。（每小题 5 分，共 50 分）1、某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是（）2、若抛物线的准线方程为7x，则抛物线的标准方程是（）Ayx282 Bxy282 Cxy282 Dyx282 3、若点 A)21,4,4(2vu关于y轴的对称点是 B)7,9,4(v，则vu,的值依次是（）A1，4，9 B2，5，8 C3，5，8 D2，5，8 4、两直线0213033myxyx与平行，则它们之间的距离是（）A4 B13132 C13265 D10207 5、直线013:1 yaxl，直线01)1(2:2yaxl，若1l/2l，则a等于（）A3 B2 C3 或 2 D3 或2 6、直线0443yx被圆9)3(22yx截得的弦长是（）A22 B4 C24 D2 7、圆01246:221yxyxO与圆014214:222yxyxO的位置关系是（）A相离 B内含 C外切 D内切 8、已知椭圆14416922yx内有一点 P)1,2(，以 P 为中点作弦 MN，则直线 MN 的方程是（）A02689 yx B02689 yx C02698 yx D02698yx 打印版 打印版 9、给出以下四个命题 如果直线l和平面内无数条直线垂直，则l；如果平面/，直线a，直线b，则a、b两条直线一定是异面直线；如果平面上有不在同一直线上的三个点，它们到平面的距离都相等，那么/；如果a、b是异面直线，则一定存在平面过a且与b垂直 其中真命题的个数是：（）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 10、如图 1，正四棱锥相邻两侧面形成的二面角为，则的取值范围是（）A3,0 B32,3 C3,4 D,2 二、填空题。（每小题 4 分，共 24 分）11、双曲线3322 yx的渐近线方程是_。12、过点 P)2,1(的圆5:22 yxC的切线方程是_。13、若椭圆)0(12222babyax的离心率是23，则双曲线2222byax=1 的离心率是_。14、已知抛物线xy42，直线l过定点)0,1(，直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l的斜率是_。15、已知 B)0,5(C)0,5(是ABC 的两个顶点，且ACBsin53sinsin，则顶点 A 的轨迹方程是_。16、已知圆系)()21()()(:222222RttttytxC。圆 C 过y轴上的点 A,线段 MN是圆 C 在x轴上截得的弦。设nANmAM|,|，对于下列命题：不论 t 取何实数，圆心 C 始终在曲线2xy 上；不论 t 取何实数，弦 MN 的长为定值 1；不论 t 取何实数，圆系 C 的所有圆都与直线21y相切；式子mnnm的取值范围是22,2。其中所有正确命题的序号是_。三、解答题。（共 76 分）17、（本题 12 分）已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A)5,8(,B)2,4(,C)3,6(，图 1 打印版 打印版 ()求 AC 边上的中线所在直线方程；()求 AB 边上的高所在直线方程；()求 BC 边的垂直平分线的方程。18、（本题 12 分）求过两圆4:06:222221yxOxyxO与的交点，()且过 M)2,2(的圆1C的方程；()且圆心在直线01 yx上的圆2C的方程。19、（本题 12 分）如图 2，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E、F、G 分别是 DD1、BD、BB1的中点。()求直线 EF 与直线 CG 所成角的余弦值；()求直线 C1C 与平面 GFC 所成角的正弦值；()求二面角 EFCB 的余弦值。20、（本题 12 分）已知 P 与平面上两定点 A)0,2(，B)0,2(连线的斜率的积为定值21，()试求动点 P 的轨迹方程 C；()设直线1:kxyl与曲线C 交于M、N 两点，当|MN|=324时，求直线l的方程。C1 C B A D E F G A1 B1 D1 图 2 打印版 打印版 21、（本题 14 分）如图 3，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，M、N 分别是 AB、PC 的中点，PA=AD=a。()求证：MN/平面 PAD；()求证：平面 PMC平面 PCD；()若二面角 PMCA 是 60的二面角，求四棱锥 PABCD 的体积。22、（本题 14 分）如图 4，已知椭圆)0(12222babyax的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点 F1，F2为顶点的三角形的周长为 4)12(。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D。()求椭圆和双曲线的标准方程；()设直线 PF1、PF2的斜率分别为12121kkkk，证明、；()是否存在常数，使得CDABCDAB恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。四川省巴中市四县中 2020-2021 学年上期期末联考 高二数学（理科）答案 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）15 BBBDA 610 CDBCD 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）图 3 图 4 B 打印版 打印版 11、xy3 12、05 yx 13、25 14、0，1，1 15、)3(116922xyx 16、三、解答题（共 76 分）17.解：()线段 AC 的中点 D 坐标为（1,4）1 分 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程是：062,141424yxxy即 4 分（）47ABK,AB 边上高的斜率是74 5 分 AB 边上的高所在直线方程是0374)6(743yxxy即 8 分（）BC 边上的中点 E 坐标为21,1,21BCK 9 分 BC 边的垂直平分线的方程是0252)1(221yxxy即 12 分 18.()设过两圆交点的圆系方程为0)4(62222yxxyx)1(1 分 圆1C过点 M2,2 0)444()1244(1 4 分 圆1C的方程是02322xyx 6 分（）046)1()1(22xyx 7 分 圆心2C0,13在直线01 yx上 8 分 0113 2 10 分 圆2C的方程是038222xyx 12 分 19.()以 D 为原点，DA，DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系 E)21,0,0(F)0,21,21(C)0,1,0(C1（0,1,1）G)21,1,1(2 分 EF=)21,21,21()21,0,1(CG 1515,cosCGEF 4 分（）设面 GFC 的法向量),(1111zyxn )21,21,21(GF )0,21,21(FC)2,1,1(1n 6 分 又)1,0,0(1CC 设直线 C1C 与面 GFC 所成角为 36,cossin11nCC 8 分（）设面 EFC 法向量),(2222zyxn 打印版 打印版 0022nFCnEF )2,1,1(2n 9 分 面 FCB 的法向量)1,0,0(3n 36,cos32nn 11 分 由图知，二面角 EFCB 的平面角为钝角 二面角 EFCB 的余弦值为36 12 分 20.()解：设点(,)P x y，则依题意有1222yyxx，3 分 整理得.1222 yx由于2x ，所以求得的动点 P 的轨迹 C 的方程为221(2).2xyx 5 分（）由.04)21(:.1,122222kxxkykxyyx得消去 解得x1=0,x2=212,(214xxkk分别为M，N的横坐标）9 分 由,234|214|1|1|22212kkkxxkMN.1:k解得 11 分 所以直线 l 的方程xy+1=0 或x+y1=0.12 分 21.证明：()如答图所示，设 PD 的中点为 E，连结 AE、NE，由 N 为 PD 的中点知 EN/21DC，又 ABCD 是矩形，DC/AB，EN/21AB 又 M 是 AB的中点，EN/AN，3 分 AMNE 是平行四边形 MNAE，而 AE平面 PAD，NM平面 PAD MN平面 PAD 4 分()PAAD，AEPD，又PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，CDPA，而 CDAD，CD平面 PAD 6 分 CDAE，PDCDD，AE平面 PCD，MNAE，MN平面 PCD，又 MN平面 PMC，打印版 打印版 平面 PMC平面 PCD.8 分 （）解：过 A 作 AHCM，交 CM 的延长线于 H，连 PH PA平面 ABCD，AHCH，PHCH，PHA 是二面角 PMCA 的平面角，AHaPA3360cot0 10 分 又RtMHARtMBC，aaAMaAMCBAHMCAM33,22即 aAMAMaAM22),(31222 aAMAB22 12 分 332).2.(31aaaaVABCDP 14 分 解法二：()以 A 为原点，AB,AD,AP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系 设 AB=b (b0)面 PMC 法向量),2(1bban 面 PDC 法向量)1,1,0(2n 0.21nn 面 PMC面 PDC 8 分（）面 MCA 法向量)1,0,0(3n 二面角 PMCA 是 60的二面角 31310.60cosnnnn ab2 12 分 332.31aPASVABCDABCDP矩形 14 分 22、解：（）由题意知，椭圆离心率为22ac，得c2a，又)12(4c2a2，可解得2c,22a，4cab222，椭圆的标准方程为；14y8x22；2 分 椭圆的焦点坐标为（2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，该双曲线的标准方程为 14y4x22 4 分（）设点 P（00y,x），则2xyk,2xyk002001，2xy2xykk0000214xy2020，6 分 又点 P)y,x(00在双曲线上，有14y4x2020，即4xy2020，打印版 打印版 14xykk202021。8 分（）假设存在常数，使得|CD|AB|CD|AB|恒成立，则由（）知1kk21，设直线 AB 的方程为)2x(ky，则直线 CD 的方程为)2x(k1y，由方程组14y8x)2x(ky22消 y 得：08k8xk8x)1k2(2222，10 分 设)y,x(A11，B（22y,x），则由韦达定理得：1k28k8xx,1k2k8xx22212221，1k2)k1(24xx4)xx(k1|AB|22212212，同理可得 2k)k1(241k12)k11(24xx4)xx()k1(1CD2222212212，12 分 又|CD|AB|CD|AB|，有)k1(241k2|CD|1|AB|122823)k1(243k3)k1(242k2222，存在常数823，使得|CD|AB|CD|AB|恒成立。14 分|/