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学年江苏宿迁市高一下学期期中数学试卷含答案 The following text is amended on 12 November 2020.2014-2015 学年江苏省宿迁市高一下学期数学期中试卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1（5 分）不等式0 的解集是 2（5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2n+1，则 a3=3（5 分）在等比数列an中，a2=2，a5=16，则 a6=4（5 分）在ABC 中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则 cosC 的值为 5（5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，a=，A=45，B=60，则 b=6（5 分）在等差数列an中，a4=7，a8=15，则数列an的前 n 项和 Sn=7（5 分）在ABC 中，A=60，AC=3，AB=2，那么 BC 的长度为 8（5 分）若关于 x 的不等式 x2ax+20 的解集是（1，2），则 a=9（5 分）在ABC 中，a=2bcosC，则ABC 的形状为 10（5 分）已知数列an是等差数列，且 a2+a5+a8=，则 sina5=11（5 分）已知等比数列an中，各项都是正数，且 a1，a3，2a2成等差数列，则的值为 12（5 分）等差数列an中，a1=3，11a5=5a8，则其前 n 项和 Sn的最小值为 13（5 分）已知向量，满足+=，且 与 的夹角等于 120，与 的夹角等于 15，|=3，则|=14（5 分）数列an满足 a1=1，an+1=1，记 Sn=a12+a22+an2，若 S2n+1Sn对任意 nN*恒成立，则正整数 m 的最小值是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15（14 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn=n2+2n（）求数列an的通项公式；（）证明an是等差数列 16（14 分）在半径为 R 的圆的内接四边形 ABCD 中，AB=2，BC=4，ABC=120，AD+CD=10求：（）AC 的长及圆的半径 R；（）四边形 ABCD 的面积 17（14 分）已知等差数列an的各项均为正数，a1=3，其前 n 项和为 Sn，数列bn为等比数列，且 b1=1，b2S2=16，b3S3=60求：（）数列an与bn的通项公式；（）+18（16 分）如图，一船由西向东航行，在 A 处测得某岛 M 的方位角为，前进5km 后到达 B 处，测得岛 M 的方位角为 已知该岛周围 3km 内有暗礁，现该船继续东行（）若=2=60，问该船有无触礁危险（）当 与 满足什么条件时，该船没有触礁的危险 19（16 分）已知二次函数 f（x）=ax2+bx+c（aN*），若不等式 f（x）2x 的解集为（1，4），且方程 f（x）=x 有两个相等的实数根（）求 f（x）的解析式；（）若不等式 f（x）mx 在 x（1，+）上恒成立，求实数 m 的取值范围；（）解不等式 f（x）mx（mR）20（16 分）如图，将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）如此继续下去，得图（3），记第 n 个图形的边长 an、周长为 bn（）求数列an、bn的通项公式；（）若第 n 个图形的面积为 Sn，试探求 Sn，Sn1，（n2）满足的关系式，并证明 Sn 2014-2015 学年江苏省宿迁市高一下学期数学期中试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1（5 分）不等式0 的解集是 x|x1 或 x2 【解答】解：不等式0 即为 或，解得 x1 或 x2 则解集为x|x1 或 x2 故答案为：x|x1 或 x2 2（5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2n+1，则 a3=4 【解答】解：Sn=2n+1，当 n2 时，an=SnSn1=（2n+1）（2n1+1）=2n1 则 a3=231=4 故答案为：4 3（5 分）在等比数列an中，a2=2，a5=16，则 a6=32 【解答】解：在等比数列an中，a2=2，a5=16，公比 q3=8，则 q=2，a6=a5q=162=32，故答案为：32 4（5 分）在ABC 中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则 cosC 的值为 【解答】解：在ABC 中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，根据正弦定理得：a：b：c=3：2：4，设 a=3k，b=2k，c=4k，则由余弦定理得 cosC=故答案为：5（5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，a=，A=45，B=60，则 b=【解答】解：由题意知，a=，A=45，B=60，根据正弦定理得：，则 b=，故答案为：6（5 分）在等差数列an中，a4=7，a8=15，则数列an的前 n 项和 Sn=n2 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，则可得，解之可得，故 Sn=n2 故答案为：n2 7（5 分）在ABC 中，A=60，AC=3，AB=2，那么 BC 的长度为 【解答】解：在ABC 中，A=60，AC=3，AB=2，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB22ACABcosA=9+4232cos60=7 BC=故答案为：8（5 分）若关于 x 的不等式 x2ax+20 的解集是（1，2），则 a=3 【解答】解：不等式 x2ax+20 的解集是（1，2），x2ax+2=0 有两个根 1，2，1+2=a a=3，故答案为：3 9（5 分）在ABC 中，a=2bcosC，则ABC 的形状为 等腰三角形 【解答】解：a=2bcosC，cosC=cosC=，化简整理得 b=c ABC 为等腰三角形 故答案为：等腰三角形 10（5 分）已知数列an是等差数列，且 a2+a5+a8=，则 sina5=【解答】解：由等差数列的性质可得，a2+a5+a8=3a5=，a5=，sina5=，故答案为：11（5 分）已知等比数列an中，各项都是正数，且 a1，a3，2a2成等差数列，则的值为 3+2 【解答】解：依题意可得 2（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得 q2=1+2q，求得 q=1，各项都是正数，q0，q=1+，=q2=3+2 故答案为：3+2 12（5 分）等差数列an中，a1=3，11a5=5a8，则其前 n 项和 Sn的最小值为 4 【解答】解：由 11a5=5a8，得 6a1+9d=0，又 a1=3，故 d=2 故 an=3+（n1）2=2n5，故此数列为递增数列 故等差数列an的前 2 项为负数，从第三项开始为正数，故前 2 项的和最小为3+（1）=4，故答案为4 13（5 分）已知向量，满足+=，且 与 的夹角等于 120，与 的夹角等于 15，|=3，则|=【解答】解：向量，满足+=，令=，=，=，与 的夹角等于 120，与 的夹角等于 15 A=180120=60，C=180150=30，三角形为直角三角形，=tan30=，|BC|=|=3，|AB|=，故答案为：14（5 分）数列an满足 a1=1，an+1=1，记 Sn=a12+a22+an2，若 S2n+1Sn对任意 nN*恒成立，则正整数 m 的最小值是 10 【解答】解：数列an满足 a1=1，an+1=1，=4，数列是等差数列，首项为 1，公差为 4 =Sn=a12+a22+an2，（S2n+1Sn）（S2n+3Sn+1）=（Sn+1Sn）（S2n+3S2n+1）=+0，数列S2n+1Sn是单调递减数列，数列S2n+1Sn的最大项是 S3S1=，又 m 为正整数，m 的最小值为 10 故答案为：10 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15（14 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn=n2+2n（）求数列an的通项公式；（）证明an是等差数列【解答】解：（）Sn=n2+2n，a1=S1=3，当 n2 时，an=SnSn1=n2+2n（n1）2+2（n1）=2n+1，则当 n=1 时，满足 an=2n+1，综上都有 an=2n+1（）anan=2（n+1）+12n1=2，为常数，an是首项为 3，公差为 2 的等差数列 16（14 分）在半径为 R 的圆的内接四边形 ABCD 中，AB=2，BC=4，ABC=120，AD+CD=10求：（）AC 的长及圆的半径 R；（）四边形 ABCD 的面积【解答】解：（）在ABC 中，由余弦定理得：AC=，4 分 由正弦定理得：2R=，R=7 分（）设 AD=m，CD=n，m+n=10，在ACD 中，由余弦定理得，AC2=m2+n2mn=（m+n）23mn 9 分 即 28=1003mn，mn=2411 分 则 SACD=mnsin60=6，SABC=，13 分 所以四边形 ABCD 的面积为 8 14 分 17（14 分）已知等差数列an的各项均为正数，a1=3，其前 n 项和为 Sn，数列bn为等比数列，且 b1=1，b2S2=16，b3S3=60求：（）数列an与bn的通项公式；（）+【解答】解：（）设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，则 d0，an=3+（n1）d，bn=qn1 b2S2=16，b3S3=60，解得或（舍去）故 an=3+2（n1）=2n+1，（）Sn=n（n+2），=+=+=18（16 分）如图，一船由西向东航行，在 A 处测得某岛 M 的方位角为，前进5km 后到达 B 处，测得岛 M 的方位角为 已知该岛周围 3km 内有暗礁，现该船继续东行（）若=2=60，问该船有无触礁危险（）当 与 满足什么条件时，该船没有触礁的危险【解答】解：（）在ABM 中可知，AB=BM=5，4 分 从而 MC=5sin60=3，没有触礁危险8 分（）设 CM=x，在ABM 中由正弦定理得，解得 x=，14 分 所以当3 时没有触礁危险16 分 19（16 分）已知二次函数 f（x）=ax2+bx+c（aN*），若不等式 f（x）2x 的解集为（1，4），且方程 f（x）=x 有两个相等的实数根（）求 f（x）的解析式；（）若不等式 f（x）mx 在 x（1，+）上恒成立，求实数 m 的取值范围；（）解不等式 f（x）mx（mR）【解答】解：（）由题意，1，4 是方程 ax2+（b2）x+c=0 的两根，且 a0，由韦达定理得，1+4=，14=，即有 b=25a，c=4a，因为方程 f（x）=x 有两个相等的实数根，所以（b1）24ac=0，消去 b，c 得 a=1 或（舍去），b=3，c=4，所以 f（x）=x23x+4；（）由题意，不等式 x2（m+3）x+40 在 x（1，+）上恒成立，设 g（x）=x2（m+3）x+4 其图象的对称轴方程为 x=，当1 即 m1 时，有 g（）=0，得1m1，当1 即 m1 时，有 g（1）=2m0，得 m1，综上，m1；（）方程 x2（m+3）x+4=0 的判别式=（m+3）216，当0 即7m1 时，不等式的解集为 R；当=0 时：m=7 时，不等式的解集为x|x2；m=1 时，不等式的解集为x|x2；当0 即 m7 或 m1 时，不等式的解集为x|x或 x 20（16 分）如图，将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）如此继续下去，得图（3），记第 n 个图形的边长 an、周长为 bn（）求数列an、bn的通项公式；（）若第 n 个图形的面积为 Sn，试探求 Sn，Sn1，（n2）满足的关系式，并证明 Sn【解答】解：（）由题意知，从第 2 个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的 所以数列an是首项为 1，公比为 的等比数列，则 an=（）n1，设第 n 个图形的边数为 cn，因为第 1 个图形的边数为 3，从第 2 个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的 4 倍，则 cn=34n1，因此，第 n 个图形的周长 bn=ancn=（）n134n1=3（）n1，（）S1=，当 n2 时，Sn=Sn1+cn（an2）=Sn1+34n2（）n12=Sn1+（）n1，则 Sn=S1+（S2S1）+（S3S2）+（SnSn1），=+（）2+（）3+（）n1，=+，=（）n1，Sn