万有引力双星与三星问题(可编辑修改word版).pdf

1 M1 r1 r2 M L 2 T1=T2 M M v 2 M M v 2 2 2 向心力相同：Fn1=Fn2 V1:V2=m2:m1 【前置性学习】专题：“双星”及“三星”问题 1.甲乙、两名溜冰运动员m 甲=70kg,m 乙=36g，对面拉着弹簧秤做圆周运动 的溜冰（表 如 演 图 1 两），人相距 0.9 m，弹簧秤的示数为 21 N，下列判断正确的是（）A.两人的线速度相同，约为 1 m/s B.两人的角速度相同，为 1 rad/s C.两人的运动半径相同，为 0.45 m 图 1 D.两人的运动半径不同，甲为 0.6 m,乙为 0.3 m 学习目标 1.新知探究 一、“双星”问题：两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。1.要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源 双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。2.要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系 两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。3.要明确两子星圆周运动的动力学关系。设双星的两子星的质量分别为 M1 和 M2，相距 L，M1 和 M2 的线速度分别为 v1 和 v2，角速度分别为 1 和 2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：M1：2 G 1 2 M1 1 M1r1 1 L r1 M2：2 G 1 2 M 2 2 M 2 r2 2 2 L r2 在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。4.“双星”问题的分析思路 质量 m1，m2；球心间距离 L；轨道半径 r1，r2；周期 T1，T2；角速度1，2 线速度 V1 V2；周期相同：（参考同轴转动问题）角速度相同：（参考同轴转动问题）1=2（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）轨道半径之比与双星质量之比相反：（由向心力相同推导）r1：r2=m2：m1 m12r1=m22r2 m1r1=m2r2 r1:r2=m2:m1 线速度之比与质量比相反：（由半径之比推导）V1=r1 V2=r2 V1:V2=r1:r2=m2:m1 二、“三星”问题 有两种情况：第一种三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；第二种三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同。例题精析【例题 1】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作 用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为 ，质 量分别为 和 ，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两者做匀速圆周运动的半径不相等。解：设行星转动的角速度为，周期为 （1）如图，对星球，由向心力公式可得：同理对星球 有：两式相除得：（即轨道半径与质量成反比）又因为 所以 ，（2）因为，所以 （3）因为，所以 说明：处理双星问题必须注意两点（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；（2）轨道半径不等于引力距离（这一点务必理解）。弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误。【例题 2】（01 北京.08 宁夏卷）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为 R，其运动周期为 T，求两星的总质量。（引力常量为 G）【例题 3】宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设三颗星质量相等,每个星体的质量均为 m。（1）试求第一种情况下，星体运动的线速度和周期(2)假设第二种情况下星体之间的距离为 R,求星体运动的线速度和周期 自我测评 1.两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是：A、它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比。B、它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比。C、它们做圆周运动的半径与其质量成正比。D、它们做圆周运动的半径与其质量成反比。解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等。由v=r得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的。因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引 力提供，向心力大小相等，由G M1M 2 M r2，G M1M 2 M r2 可知：M r2 M r2，L2 1 1 L2 2 2 1 1 2 2 所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的。而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的。正确答案为：BD。2.(2010全国卷)如图，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B 两者中心之间的距离为 L.已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线，A 和 B 分别在 O 的两侧引力常数为 G.(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A 和 B，月球绕其轨道中心运行的周期记为 T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得 的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.981024 kg和7.351022 kg.求T2与T1 两者平方之比(结果保留 3 位小数)解析：(1)设两个星球 A 和 B 做匀速圆周运动的轨道半径分别为 r 和 R，相互作用的引 L3 G Mm L3 G Mm N 2L GM 1 N Mm 力大小为 f，运行周期为 T.根据万有引力定律有 fG Rr 2 2 由匀速圆周运动的规律得 fm(T )2r 2 fM(T )2R 由题意有 LRr 联立式得 T2 (2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心 O 不在地心，月球做圆周运动的周期可 T12 式中，M和 m分别是地球与月球的质量，L是地心与月心之间的距离若认为月球 Mm 2 在 地 球 的 引 力 作 用 下 绕 地 心 做 匀 速 圆 周 运 动，则 G m()2L 式中，T2 为月球绕地心运动的周期由式得 L3 L2 T2 T22 GM T2 m 由式得()21 T1 M T2 代入题给数据得()21.012 T1 3.用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我 们对宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是 M，两者相距 L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。（1）计算该双星系统的运动周期 T 计算。（2）若实验上观测到的运动周期为 T 观测，且 T 观测：T 计算=1：(N1)，为了解释 T 观测与 T 计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的 暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体边线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。解析：（1）双星绕它们的连线中点做圆周运动，由万有引力提供向心力，根据万有引 力和牛顿第二定律得：M 2 M2 L，而 2。解得：T L/。G 计算 L2 2 T （2）因为T T T，这个差异是以双星连线为直径的球体内均匀分布着 观测 计算 计算 的暗物质引起的，设这种暗物质质量为 M，位于两星连线中点处的质点对双星的影响相同，M 3 这时双星做圆周运动的向心力由双星的万有引力和 M对双星的万有引力提供，所以有：M 2 MM/M 2L 2 G L2 G L/22 观 测 ，又 观测 2 T观测 解得暗物质的质量为：M/（N1）M/4 而暗物质的体积为：V 4 L 3 所以暗物质的密度为：（）3 2/3(N 1)M/(2L)V 4.（2006 天津理综卷第 25 题）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX3 双星系统，它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为 G，由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T。（1）可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA 可等效为位于 O 点处质量为 m的星体（视为质点）对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 m1、m2，试求 m 的表达式（用 m1、m2 表示）；（2）求暗星 B 的质量 m2 与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m1 之间的关系式；（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量 ms 的 2 倍，它将有可能成为黑洞。若可见星 A 的速率 v2.7105m/s，运行周期 T4.7104s，质量 m16ms，试通过估算来判断暗星 B 有可能是黑洞吗？（G6.671011Nm2/kg2，ms2.01030kg）