2.3.1方差与标准差.pdf

2.3 第 7 课时 方差与标准差 教学目标（1）通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用；（2）学会计算数据的方差、标准差；（3）使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想 教学重点 用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差 教学难点 理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识 教学过程 一、问题情境 1情境：有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为 125。甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 2问题：哪种钢筋的质量较好？二、学生活动 由图可以看出，乙样本的最小值 100 低于甲样本的最小值 100，最大值 145 高于甲样本的最大值 135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）。由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定。运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论。考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差。三、建构数学 1方差：一般地，设一组样本数据1x，2x，nx，其平均数为x，则称212)(1xxnsnii为这个样本的方差 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差 2标准差：21)(1xxnsnii 标准差也可以刻画数据的稳定程度 3方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大 四、数学运用 1例题：例 1 甲、乙两种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 解：甲品种的样本平均数为 10，样本方差为 （9.8-10）2+（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）25=0.02.乙品种的样本平均数也为 10，样本方差为 （9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）25=0.24 因为 0.240.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。例 2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的 100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。天数 151180 181210 211240 241270 271300 301330 331360 361390 灯泡数 1 11 18 20 25 16 7 2 分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命。解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为 1651%+19511%+22518%+25520%+28525%+31516%+3457%+3752%=267.9268(天)这些组中值的方差为 1/1001(165-268)2+11(195-268)2+18(225-268)2+20(255-268)2+25(285-268)2+16(315-268)2+7(345-268)2+2(375-268)2=2128.60(天2).故所求的标准差约466.2128（天）答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268 天,标准差约为 46 天.2练习：（1）课本第 68 页练习第 1、2、3、4 题；（2）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为9.5，0.016；（3）若给定一组数据1x，2x，nx，方差为2S，则1ax，2ax，nax方差是22a S 五、回顾小结：1用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：a)用样本平均数估计总体平均数。b)用样本方差、标准差估计总体方差、标准差。样本容量越大，估计就越精确。2方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度 六、课外作业：课本第 69 页第 3，5，7 题