2016年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷.pdf

2016 年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷 一、选择题（本题 满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分）1（3 分）的绝对值是（）A6 B6 C D 2（3 分）如图是某班全体学生外出时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和 扇形统计图，（两 图都不完整），则 下列结论中正确的是（）A步行人数为 30 人 B骑车人数占总人数的 10%C该班总人数为 50 人 D乘车人数是骑车人数的 40%3（3 分）下列四个图形能围成棱柱的有几个（）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 4（3 分）据研究，一种 H7N9 病毒直径为 30 纳米（1 纳米=10 米）下 列用 科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（）A3010 9 米 B3.010 8 米 C3.010 10 米D0.310 7 米 5（3 分）如图，AB 与O 相切于点 B，AO 的延长线交O 于点 C，连结 BC，若，则C 等于（）9 第 1 页（共 33 页）A15 B30 C45 D60 6（3 分）当2x2 时，下列函数中，函数值 y 随自变量 x 增大而增大的有（）个 y=2x；y=2x；y=；y=x+6x+8 A1 B2 C3 D4 7（3 分）如图，在 ABC 为等边三角形，P 为 BC 上一点，APQ 为等边三角 形，PQ 与 AC 相交于点 M，则下列结论中正确的是（）ABCQ；ACQ=60；AP=AMAC；若 BP=PC，则 PQAC A只有 B只有 C只有 D 8（3 分）抛物线 y=ax+bx+c 图象如图所示，则一次函数 y=bx4ac+b 与反比 例函数 y=在同一坐标系内的图象大致为（）A B C D 第 2 页（共 33 页）2 2 2 2 二、填空题：（本 题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分）9（3 分）计算：=10（3 分）在一个不透明的口袋中装有 5 个白球和 n 个黄球，它们出颜色外完 全相同，若从中随机摸出一球，摸到白球的概率为，则 n 的值是 11（3 分）已知甲、乙两地间的铁路长 1480 千米，列车大提速后，平均速度 增加了 70 千米/时，列车的单程运行时间缩短了 3 小时设原来的平均速度为 x 千米/时，根据题意，可列方程为 12（3 分）如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐 标为（a，b），那 么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为 13（3 分）如图，线段 AB 与O 相切于点 C，连接 OA、OB，OB 交O 于点 D，已知 OA=OB=3cm，AB=3 cm，则图中阴影部分的面积为 14（3 分）将 n+1 个腰长为 1 的等腰直角三角形，按如图所示放在同一直线 上设阴影部分B2D 1C 1 的面积为 S 1，B3D 2C 2 的面积为 S 2，Bn+1 D n C n 的面 积为 S n，则 S 2=；S n=（用 含 n 的式子表示）第 3 页（共 33 页）三、解答题（本大 题共 10 小题，满分 78 分）15（4 分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：如图，线段 a 求做：RtABC，使A=90，AB=AC=a 结论：16（8 分）（1）化简：（2）解不等式组：17（6 分）某餐厅为了吸引顾客，举行吃套餐优惠活动，套餐每套 20 元，每 消费一套即可直接获得 10 元餐劵，或者参与游戏赢得餐劵游戏规则如下：设 立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成 12 份），顾 客每消费一 套套餐，就可以获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红 色、黄色、绿色、空白区域，那么顾客就可以分别获得 20 元、15 元、10 元、5 元餐劵，下次就餐时可以代替现金消费（1）求顾客任意转动一次转盘的平均收益是多少；（2）如果你是餐厅经理，你希望顾客参与游戏还是直接获得 10 元餐劵？请说 明理由 18（6 分）某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛，在 第 4 页（共 33 页）最近的 10 次选拔赛中，这两个人的跳远成绩（单位：cm）如图所示，请根据 图中信息，解答下列问题：（1）通过计算，补充完成下面的统计分析表 运动员 平均数 众数 中位数 方差 甲 601.8 600 600 50.56 乙 599.3 284.21（2）请依据对上述统计信息的数据分析，说明这两名运动员的成绩各有什么特 点？19（6 分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯 A 射出的光线 AB，AC 与地面 MN 所夹的锐角分别为 8和 10，大灯 A 与地面离地面的距离为 1m 求 该车大灯照亮地面的宽度 BC（不 考虑其它因素）（参 数数据：sin8=，tan8 =，sin10=，tan10=）20（8 分）某水果店计划购进苹果和丑桔共 140 千克，这两种水果的进价、售 价如表所示：进价（元/千克）售价（元/千克）苹果 5 8 丑桔 9 13（1）若该水果店购进这两种水果的进货款为 1000 元，求水果店购进这两种水 第 5 页（共 33 页）果各多少千克（2）若该水果店决定丑桔的进货量不超过苹果进货量的 3 倍，应怎样安排进货 才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？21（8 分）如图，在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，过点 A 作 AFBC，且 AF=BC，连接 BF、BF，线段 BF 与 AD 相交于点 E （1）求证：E 是 AD 的中点；（2）若 ABAC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论 22（10 分）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥 ACB，其横截面如图所示，量得该拱桥占地面最宽处 AB=20 米，最高处点 C 距地面 5 米（即 OC=5 米）（1）分别以 AB、OC 所在直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；（2）夜晚，公园沿着抛物线 ACB 用彩灯勾勒拱桥的形状；现公园管理处打算 在观景拱桥 ABC 的横截面前放置一个长为 10 米的矩形广告牌 EFMN，为安全起 见，要求广告牌离拱桥的桥面至少 0.35 米，求矩形广告牌的最大高度，并说明 理由 23（10 分）设 是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称 尺规作图），画 出一个正方形与 的面积相等（简称等积），那 么这样的等积转 化称为 的“化方”第 6 页（共 33 页）（1）阅读填空 如图，已知矩形 ABCD，延长 AD 到 E，使 DE=DC，以 AE 为直径作半圆，延长 CD 交半圆于点 H，以 DH 为边作正方形 DFGH，则正方形 DFFH 与 ABCD 等积 理由：连接 AH，EH AE 为直径AHE=90HAE+HEA=90 DHAEADH=EDH=90 HAD+AHD=90 AHD=HEDADH =，即 DH=ADDE 又DE=DCDH=即正方形 DFGH 与矩形 ABCD 等积（2）类比思考 平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转 化为等积的正方形（3）解决问题 三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形各称），再转化为等积的正方形 如图，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助作出与ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）（4）拓展探究 n 边形（n3）的“化方”思路之一是：把 n 边形转化为 n1边形，直至转化 为等积三角形，从而可以化方 第 7 页（共 33 页）2 2 如图，四边形 ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助网格作 出与四边形 ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）24（12 分）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=10cm，BC=12cm，对角 线 AC=10cm，点 P 从点 C 出发沿着边 CB 向点 B 匀速运动，速度为每秒 1 个单 位：同时，点 Q 从点 B 开始沿着边 AB 向点 A 匀速运动，到达 A 点后立刻以原 来的速度沿 AB 返回，点 Q 的速度为每秒 1 个单位，过 P 点与 AB 平行的直线交 线段 AD 于点 E，交 AC 于点 F，连接 PQ，设运动时间为 t（s）（1）当 0t10 时，设四边形 AQPE 的面积为 y（cm），求 y 与 t 之间的函数 关系式；（2）当 0t10 时，是否存在某一时刻 t，使四边形 AQPE 的面积为平行四边 形 ABCD 面积的一半？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当 0t10 时，是否存在某一时刻 t，使 PQPE？若存在，求出 t 的值；不存在，请说明理由；（4）当 0t12 时，是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 的垂直平分线恰好经过 点 B？存在，请直接给出相应的 t 值；若不存在，请说明理由 第 8 页（共 33 页）2 2016 年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷 参考答案 与试题解 析 一、选择题（本题 满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分）1（3 分）的绝对值是（）A6 B6 C D 【分析】根据计算绝对值的方法可以得到 的绝对值，本题得以解决【解答】解：，的绝对值是，故选 D【点评】本题考查绝对值，解题的关键是明确绝对值的含义 2（3 分）如图是某班全体学生外出时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和 扇形统计图，（两 图都不完整），则 下列结论中正确的是（）A步行人数为 30 人 B骑车人数占总人数的 10%C该班总人数为 50 人 D乘车人数是骑车人数的 40%【分析】根据乘车的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以步行所占 的百分比求出步行的人数，用骑车的人数除以总人数求出骑车人数占总人数的 百分比，用乘车的人数除以骑车人数，求出乘车人数是骑车人数的倍数【解答】解：A、步行的人数有：30%=15 人，故本选项错误；第 9 页（共 33 页）B、骑车人数占总人数 10=20%，故本选项错误；C、该班总人数为 =50 人，故本选项正确；D、乘车人数是骑车人数的 =2.5 倍，故本选项错误；故选：C【点评】本题考查了频数（率）分布直方图和扇形统计图，利用统计图获取信 息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 3（3 分）下列四个图形能围成棱柱的有几个（）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题【解答】解：第一个图形缺少一个面，不能围成棱柱；第三个图形折叠后底面重合，不能折成棱柱；第二个图形，第四个图形都能围成四棱柱；故选：C【点评】此题考查了展开图折叠成几何体，熟练掌握常见立体图形的平面展 开 图的特征，是解决此类问题的关键 4（3 分）据研究，一种 H7N9 病毒直径为 30 纳米（1 纳米=10 米）下 列用 科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（）A3010 米 B3.010 米 C3.010 米D0.310 米【分析】科学记数法的表示形式为 a10 的形式，其中 1|a|10，n 为整 数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值 与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时，n 是负数【解答】解：由题意可得：3010=3.010 第 10 页（共 33 页）9 9 8 10 7 n 9 8 故选：B【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10 n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的 值 5（3 分）如图，AB 与O 相切于点 B，AO 的延长线交O 于点 C，连结 BC，若，则C 等于（）A15 B30 C45 D60【分析】连接 OB，构造直角ABO，结合已知条件推知直角ABO 的直角边 OB 等于斜边 OA 的一半，则A=30【解答】解：如图，连接 OB AB 与O 相切于点 B，ABO=90 OB=OC，C=OBC，OB=OA，A=30，AOB=60，则C+OBC=60，C=30 故选 B 第 11 页（共 33 页）【点评】本题考查了切线的性质、含 30 度角的直角三角形运用切线的性质来 进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形 解决有关问题 6（3 分）当2x2 时，下列函数中，函数值 y 随自变量 x 增大而增大的有（）个 y=2x；y=2x；y=；y=x+6x+8 A1 B2 C3 D4【分析】一次函数当 a0 时，函数值 y 总是随自变量 x 增大而增大，反比例函 数当 k0 时，在每一个象限内，y 随自变量 x 增大而增大，二次函数根据对称 轴及开口方向判断增减性【解答】解：为一次函数，且 a0 时，函数值 y 总是随自变量 x 增大而增大；为一次函数，且 a0 时，函数值 y 总是随自变量 x 增大而减小；为反比例函数，当 x0 或者 x0 时，函数值 y 随自变量 x 增大而增大，当 2 x2 时，就不能确定增减性了；为二次函数，对称轴为 x=3，开口向上，故当2x2 时，函数值 y 随自变 量 x 增大而增大，符合题意的是，故选 B【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性；熟练掌握一 次函数、二次函数、反比例函数的性质是关键 7（3 分）如图，在 ABC 为等边三角形，P 为 BC 上一点，APQ 为等边三角 形，PQ 与 AC 相交于点 M，则下列结论中正确的是（）ABCQ；ACQ=60；AP =AMAC；若 BP=PC，则 PQAC 第 12 页（共 33 页）2 2 A只有 B只有 C只有 D【分析】根据等边三角形性质得出 AB=AC，AP=AQ，BAC=B=PAQ=60，求出BAP=CAQ，根据 SAS 证ABPACQ，推出ACQ=B=60=BAC，根据平行线的判定推出即可，再根据等腰三角形性质求出 BAP=30，求出 PMA=90，即可得出答案【解答】证明：如图，ABC 和APQ 是等边三角形，AB=AC，AP=AQ，BAC=B=PAQ=60，BAP=CAQ=60PAC，在ABP 和ACQ 中，ABPACQ（SAS），ACQ=B=60=BAC，故正确，ABCQ，故正确，APQ=ACQ=60，PAC=PAC，APMACP，AP=ACAM，故正确，BP=PC，BAP=30，PAC=30，第 13 页（共 33 页）2 APM=60，AMP=90，PQAC，故正确 故选 D 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形性质，全等三角形 的性质和判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质的应用，主要考查学生的 推理能力 8（3 分）抛物线 y=ax+bx+c 图象如图所示，则一次函数 y=bx4ac+b 与反比 例函数 y=在同一坐标系内的图象大致为（）A B C D 【分析】首先观察抛物线 y=ax+bx+c 图象，由抛物线的对称轴的位置由其开口 方向，即可判定b的正负，由抛物线与 x 轴的交点个数，即可判定4ac+b 的 第 14 页（共 33 页）2 2 2 2 正负，则可得到一次函数 y=bx4ac+b 的图象过第几象限，由当 x=1 时，y=a+b+c0，即可得反比例函数 y=过第几象限，继而求得答案 【解答】解：抛物线 y=ax+bx+c 开口向上，a0，抛物线 y=ax+bx+c 的对称轴在 y 轴右侧，x=0，b0，b 0，抛物线 y=ax+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，=b 4ac0，一次函数 y=bx4ac+b 的图象过第一、二、三象限；由函数图象可知，当 x=1 时，抛物线 y=a+b+c0，反比例函数 y=的图象在第二、四象限 故选 D【点评】此题考查了一次函数、反比例函数与二次函数的图象与系数的关 系此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意函数的图 象 与系数的关系 二、填空题：（本 题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分）9（3 分）计算：=【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后把分子合并后进行二次根式 的除法运算【解答】解：原式=2 2 2 2 2 2 第 15 页（共 33 页）故答案为 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再 进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能 事半功倍 10（3 分）在一个不透明的口袋中装有 5 个白球和 n 个黄球，它们出颜色外完 全相同，若从中随机摸出一球，摸到白球的概率为，则 n 的值是 10 【分析】根据摸到白球的概率为，列出方程求解即可 【解答】解：在一个不透明的布袋中装有 5 个白球和 n 个黄球，共有（5+n）个球，根据古典型概率公式知：P（白球）=，解得 n=10 故答案为：10【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）=11（3 分）已知甲、乙两地间的铁路长 1480 千米，列车大提速后，平均速度 增加了 70 千米/时，列车的单程运行时间缩短了 3 小时设原来的平均速度为 x 千米/时，根据题意，可列方程为 【分析】设原来的平均速度为 x 千米/时，列车大提速后平均速度为 x+70 千米/时，根据走过相同的距离时间缩短了 3 小时，列方程即可【解答】解：设原来的平均速度为 x 千米/时，可得：，故答案为：【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程 第 16 页（共 33 页）12（3 分）如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐 标为（a，b），那 么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（2a，2b）【分析】先找一对应点是如何变化，那么所求点也符合这个变化规律【解答】解：小鱼最大鱼翅的顶端坐标为（5，3），大 鱼对应点坐标为（10，6）；小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a，b），那 么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（2a，2b）【点评】解决本题的关键是找到所给图形中象限内的一对对应点的变化规律 13（3 分）如图，线段 AB 与O 相切于点 C，连接 OA、OB，OB 交O 于点 D，已知 OA=OB=3cm，AB=3 cm，则图中阴影部分的面积为 【分析】由 AB 为圆的切线，得到 OCAB，再由 OA=OB，利用三线合一得到 C 为 AB 中点，且 OC 为角平分线，在直角三角形 AOC 中，利用 30 度所对的直角 边等于斜边的一半求出 OC 的长，利用勾股定理求出 AC 的长，进而确定出 AB 的长，求出AOB 度数，阴影部分面积=三角形 AOB 面积扇形 AOB 面积，求 出即可【解答】解：连接 OC，AB 与圆 O 相切，第 17 页（共 33 页）OCAB，OA=OB，AC=BC=AB=sinAOC=AOC=60，AOB=120 OC=OA=，S 阴影 =S AOB S 扇形 =3 ，故图中阴影部分的面积为，故答案为：【点评】此题考查了切线的性质，含 30 度直角三角形的性质，以及扇形面积计 算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键 14（3 分）将 n+1 个腰长为 1 的等腰直角三角形，按如图所示放在同一直线 上设阴影部分B2D 1C 1 的面积为 S 1，B3D 2C 2 的面积为 S 2，Bn+1 D n C n 的面 积为 Sn，则 S2=；Sn=（用 含 n 的式子表示）【分析】连接 B1、B2、B3、B4、B5 点，显然它们共线且平行于 AC 1，依题意可知 B1C1B2 是等腰直角三角形，知道B1B2D1 与C1AD1 相似，求出相似比，根据 第 18 页（共 33 页）三角形面积公式可得出 S1，同理：B2B3：AC2=1：2，所以 B2D2：D2C2=1：2，进 而 S 2 的值可求出，同样的道理，即可求出 S 3，S 4S n 的值【解答】解：n+1 个边长为 1 的等腰三角形有一条边在同一直线上，S AB1C1=11=，连接 B1、B2、B3 点，显然它们共线且平行于 AC B1C1B2=90 A1B1B2C1 B1C1B2 是等腰直角三角形，且边长=1，1 B1B2D 1 C 1AD 1，B1D 1：D 1C 1=1：1，S 1=，同理：B2B3：AC2=1：2，B2D2：D2C2=1：2，S2=，同理：B3B4：AC 3=1：3，B3D 3：D 3C 3=1：3，S 3=，S4=，S n=故答案为：；第 19 页（共 33 页）【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义和性 质、三角形的面公式等知识点、本题关键在于作好辅助线，得到相似三角形，求出相似比，就很容易得出答案了，意在提高同学们总结归纳的能力 三、解答题（本大 题共 10 小题，满分 78 分）15（4 分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：如图，线段 a 求做：RtABC，使A=90，AB=AC=a 结论：ABC 为等腰直角三角形 【分析】先在一直线上截取 AB=a，再过 A 作 AB 的垂线，接着在此垂线上截取 AC=a，则ABC 满足条件【解答】解：如图，ABC 为所作，ABC 为等腰直角三角形 故答案为ABC 为等腰直角三角形【点评】本题考查了作图复杂 作图：复杂 作图是在五种基本作图的基础上进行 作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是 熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作 图，逐步操作 16（8 分）（1）化简：（2）解不等式组：第 20 页（共 33 页）【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可 【解答】解：（1）原式=；=+=（2），由得：x，由得：x3，则不等式组的解集为 x3 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17（6 分）某餐厅为了吸引顾客，举行吃套餐优惠活动，套餐每套 20 元，每 消费一套即可直接获得 10 元餐劵，或者参与游戏赢得餐劵游戏规则如下：设 立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成 12 份），顾 客每消费一 套套餐，就可以获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红 色、黄色、绿色、空白区域，那么顾客就可以分别获得 20 元、15 元、10 元、5 元餐劵，下次就餐时可以代替现金消费（1）求顾客任意转动一次转盘的平均收益是多少；（2）如果你是餐厅经理，你希望顾客参与游戏还是直接获得 10 元餐劵？请说 明理由 【分析】（1）根据转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色、空白区域，那么顾客就可以分别获得 20 元、15 元、10 元、5 元餐劵得：顾客任意转动一 次转盘的平均收益是（20+152+103+56），再计算即可；第 21 页（共 33 页）（2）根据（1）的结果与 10 比较即可【解答】解：（1）顾客任意转动一次转盘的平均收益是（20+152+103+56）=（元），答：顾客任意转动一次转盘的平均收益是 元；（2）10，如果是餐厅经理，希望顾客参与游戏，这样能减少支出【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可 能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）=18（6 分）某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛，在 最近的 10 次选拔赛中，这两个人的跳远成绩（单位：cm）如图所示，请根据 图中信息，解答下列问题：（1）通过计算，补充完成下面的统计分析表 运动员 平均数 众数 中位数 方差 甲 601.8 600 600 50.56 乙 599.3 618 595.5 284.21（2）请依据对上述统计信息的数据分析，说明这两名运动员的成绩各有什么特 点？【分析】（1）根据中位数、众数的概念求值即可；（2）答案不惟一，如：甲的成绩比较稳定，波动小；乙成绩不稳定，波动较 大 第 22 页（共 33 页）【解答】解：（1）根据折线统计图知乙 10 次成绩从小到大依次排列为：574，580，585，590，593，598，613，618，618，624，则其众数为：618，中位数为：=595.5；（2）甲的平均水平和跳远在 600 及以上要优于乙且甲的方差小说明甲成绩比乙 的成绩稳定，乙跳远的最好成绩大于甲的最好成绩 故答案为：（1）618，595.5【点评】此题主要考查中位数、众数的求法以及从折线统计图得到信息的能力，掌握中位数、众数、方差等知识点的求法和意义是根本 19（6 分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯 A 射出的光线 AB，AC 与地面 MN 所夹的锐角分别为 8和 10，大灯 A 与地面离地面的距离为 1m 求 该车大灯照亮地面的宽度 BC（不 考虑其它因素）（参 数数据：sin8=，tan8 =，sin10=，tan10=）【分析】通过构造直角三角形来解答，过 A 作 ADMN 于 D，就有了 ABN、ACN 的度数，又已知 AE 的长，可在直角三角形 ABE、ACE 中分别求 出 BE、CE 的长，BC 就能求出【解答】解：如图，过 A 作 ADMN 于点 D，在 RtACD 中，tanACD=，CD=5.6（m），第 23 页（共 33 页）在 RtABD 中，tanABD=，BD=7（m），则 BC=75.6=1.4（m）答：该车大灯照亮地面的宽度 BC 是 1.4m【点评】此题考查解直角三角形的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数 学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三 角形中，使问题解决 20（8 分）某水果店计划购进苹果和丑桔共 140 千克，这两种水果的进价、售 价如表所示：进价（元/千克）售价（元/千克）苹果 5 8 丑桔 9 13（1）若该水果店购进这两种水果的进货款为 1000 元，求水果店购进这两种水 果各多少千克（2）若该水果店决定丑桔的进货量不超过苹果进货量的 3 倍，应怎样安排进货 才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？【分析】（1）设购进苹果 x 千克，则购进丑桔（140 x）千克，根据进货钱数=单价数量，列出关于 x 的一元一次方程，解方程即可得出结论；（2）设购进苹果 x 千克时售完这批水果将获利 y 元，由丑桔的进货量不超过苹 果进货量的 3 倍可列出关于 x 的一元一次不等式，解不等式可找出 x 的取值范 围，再根据总利润=每千克利润千克数可找出 y 关于 x 的函数关系式，根据函 数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）设购进苹果 x 千克，则购进丑桔（140 x）千克，依题意得：5x+9（140 x）=1000，解得：x=65，则 14065=75（千克），答：水果店购进苹果 65 千克，丑桔 75 千克（2）设购进苹果 x 千克时售完这批水果将获利 y 元，由题意得：140 x3x，第 24 页（共 33 页）解得：x35 获得利润 y=（85）x+（139）（140 x）=x+560 故当 x=35 时，y 有最大值，最大值为 525 元 14035=105（千克）答：购进苹果 35 千克，丑桔 105 千克时水果店在销售完这批水果时获利最多【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及一次 函 数的性质，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于 x 的一元一次方程；（2）根据函数的单调性解决最值问题本题属于基础题，难度不大，解决该题 型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键 21（8 分）如图，在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，过点 A 作 AFBC，且 AF=BC，连接 BF、BF，线段 BF 与 AD 相交于点 E （1）求证：E 是 AD 的中点；（2）若 ABAC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论 【分析】（1）先连接 DF，判定四边形 ABDF 是平行四边形，再根据平行四边形 的性质，得出 DE=AE 即可；（2）先判定四边形 ADCF 是平行四边形，再根据直角三角形的性质，得出 AD=CD，最后判断四边形 ADCF 是菱形【解答】（1）连接 DF，AD 是 BC 边上的中线，DB=BC，AF=BC，DB=AF，又AFBC，第 25 页（共 33 页）四边形 ABDF 是平行四边形，DE=AE 即 E 是 AD 的中点；（2）四边形 ADCF 是菱形 AD 是 BC 边上的中线，DC=BC，AF=BC，DC=AF，又AFBC，四边形 ADCF 是平行四边形，又ABAC，AD 是 BC 边上的中线，AD=BC=CD，四边形 ADCF 是菱形 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及直角三角 形的性质，解题时注意：一组对边平行且相等的四边形的是平行四边形，有一 组邻边相等的平行四边形的是菱形 22（10 分）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥 ACB，其横截面如图所示，量得该拱桥占地面最宽处 AB=20 米，最高处点 C 距地面 5 米（即 OC=5 米）（1）分别以 AB、OC 所在直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；（2）夜晚，公园沿着抛物线 ACB 用彩灯勾勒拱桥的形状；现公园管理处打算 在观景拱桥 ABC 的横截面前放置一个长为 10 米的矩形广告牌 EFMN，为安全起 第 26 页（共 33 页）见，要求广告牌离拱桥的桥面至少 0.35 米，求矩形广告牌的最大高度，并说明 理由 【分析】（1）根据题意可设抛物线解析式为 y=ax+c，将点 C（0，5），点 B（10，0）代入求得 a、c 的值即可求解；（2）令 x=5 求得 y 的值，将 y 的值减去 0.35 可得广告牌最大高度【解答】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为 y=ax+c，将点 C（0，5），点 B（10，0）代入，得：，解得：故抛物线解析式为：y=x+5；（2）当 x=5 时，y=25+5=3.75（m），3.750.35=3.4（m）答：矩形广告牌的最大高度为 3.4m【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意设出函数解析式是根本，待定系数法求得抛物线解析式是解题关键 23（10 分）设 是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称 尺规作图），画 出一个正方形与 的面积相等（简称等积），那 么这样的等积转 化称为 的“化方”2 2 2 第 27 页（共 33 页）（1）阅读填空 如图，已知矩形 ABCD，延长 AD 到 E，使 DE=DC，以 AE 为直径作半圆，延长 CD 交半圆于点 H，以 DH 为边作正方形 DFGH，则正方形 DFFH 与 ABCD 等积 理由：连接 AH，EH AE 为直径AHE=90HAE+HEA=90 DHAEADH=EDH=90 HAD+AHD=90 AHD=HEDADH HDE =，即 DH=ADDE 又DE=DCDH=ADDC 即正方形 DFGH 与矩形 ABCD 等积（2）类比思考 平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转 化为等积的正方形（3）解决问题 三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 矩形（填写图形各称），再转化为等积的正方形 如图，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助作出与ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）（4）拓展探究 n 边形（n3）的“化方”思路之一是：把 n 边形转化为 n1边形，直至转化 为等积三角形，从而可以化方 第 28 页（共 33 页）2 2 如图，四边形 ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助网格作 出与四边形 ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）【分析】（1）通过直角 ADH 和直角HDE 中，AHD=HED 证明ADH HDE，得 DH=ADDE，再根据等量代换得出正方形 DFGH 与矩形 ABCD 等积；（3）作法：作 BC 的中垂线，D 为 BC 的中点，作ABDE；过 B 作 BFAE，垂足为 F，作矩形 BDHF；在直线 AE 在取 BF=FM，以 HM 为直径，以点 F 为圆心作半圆，与直线 BF 交于点 G；则线段 FG 就是所求的正方形的 一边；（4）作法：连接 BD，过 A 作 lBD，延长 CD 交 l 于 E，连接 BE，则 S BEC =S 四边形 ABCD 【解答】解：（1）答案为：HDE，ADDC；（3）如图 2，答案为：矩形；（4）如图 3，则BEC 的面积=四边形 ABCD 的面积；第 29 页（共 33 页）2 【点评】本题是四边形综合题，考查了尺规作图，考查了特殊平行四边形的性 质及面积，同时还考查了学生的阅读理解能力，利用三角形的面积和四边形的 面积解决问题，注意三角形中：等底等高的两三角形的面积相等，同底等 高的两三角形的面积相等，等底同高的两三角形的面积相等；矩形面积=长 宽，平行四边形面积=底高 24（12 分）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=10cm，BC=12cm，对角 线 AC=10cm，点 P 从点 C 出发沿着边 CB 向点 B 匀速运动，速度为每秒 1 个单 位：同时，点 Q 从点 B 开始沿着边 AB 向点 A 匀速运动，到达 A 点后立刻以原 来的速度沿 AB 返回，点 Q 的速度为每秒 1 个单位，过 P 点与 AB 平行的直线交 线段 AD 于点 E，交 AC 于点 F，连接 PQ，设运动时间为 t（s）（1）当 0t10 时，设四边形 AQPE 的面积为 y（cm），求 y 与 t 之间的函数 关系式；（2）当 0t10 时，是否存在某一时刻 t，使四边形 AQPE 的面积为平行四边 形 ABCD 面积的一半？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当 0t10 时，是否存在某一时刻 t，使 PQPE？若存在，求出 t 的值；不存在，请说明理由；（4）当 0t12 时，是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 的垂直平分线恰好经过 点 B？存在，请直接给出相应的 t 值；若不存在，请说明理由 第 30 页（共 33 页）2 【分析】（1）利用相似三角形的判断和性质，表示出 BQ=t，QH=t，PF=t，相似三角形的面积比等于相似比的平方，SCPF=t，从而 y 用三角形的面积的 差表示出，即可；（2）假设存在，建立方程，求出方程的解，全不符合题意，得到不存在；（3）假设存在，建立方程，求出方程的解符合题意，即存在时间 t，使 PQPE；（4）假设存在，由线段 PQ 的垂直平分线恰好经过点 B，得到 BQ=BP，建立方 程，求出 t，即可【解答】解：如图 1，作 AGBC 于 G，作 QHBC 于 H，QHAG，=，AGBC，AB=AC=10，BC=12，BG=BC=12=6，AG=8，BQ=t，=，QH=t，PEAB，=，PF=t，BC=12，AG=8，S ABC =BCAG=48，（1）BP=AE=BCPC=12 t，QH=t，2 第 31 页（共 33 页）S BPQ=BPQH=（12t）t，y=S 四边形 AQPE=S 四边形 ABPESBPQ=（12t）8（12t）t=t t+96，（0t10）（2）解：假设存在某一时刻 t，使四边形 AQPE 的面积为平行四边形 ABCD 面 积的一半，由（1）由 S 四边形 AQPE=t t+96，t t+96=48，t=16 ，（不 合题意），t=162 ，存在这样某一时刻 t=，使四边形 AQPE 的面积为平行四边形 ABCD 面积的一半；（3）解：假设存在某一时刻 t，使 PQPE，PEAB，BQP=90，BQP=AGB，B=B，BQPBGA，BG=6，BQ=t，BP=12t，AB=10，=，t=，存在 t=，使 PQPE；（4）假设存在某一时刻 t，使线段 PQ 的垂直平分