2012高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义教案新人教A版必修.pdf

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 一、教学内容分析 实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。二、教学目标设计 1掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。三、教学重点与难点 重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。四、教学用具准备 多媒体、实物投影仪 五、教学流程设计 六、教学过程设计 1设置情境：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系F m a，位移与速度的关系 sv t。这些公式都是实数与向量间的关系。师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出aaa和()()()aaa向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：aaa的长度是a的长度的 3 倍，其方向与a的方向相同，()()()aaa的长度是a长度的 3 倍，其方向与a的方向相反。师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）2探索研究 1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）可根据小学算术中333333 5的解释，类比规定：实向量平行的充要条件 情境设置 引入定义 数乘向量的运算律 运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题)数与向量a的积就是a，它还是一个向量，但要对实数与向量a相乘的含义作一番解释才行。实数与向量a的积是一个向量，记作a.它的长度和方向规定如下：（1）|a a.（2）0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；特别地，当0或0a时，0a.2）运算律：问：求作向量2(3)a和6a（a为非零向量）并进行比较，向量2()ab与向量22ab相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）生：2(3)6aa，222()abab.师：设a、b为任意向量，、为任意实数，则有：（1）()aaa；（2）()()aa；（3）()abab.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。小练习 1：计算：（1）(3)4a；（2）3()2()ababa；（3）(23)(32)abcabc.3）向量平行的充要条件：请同学们观察amn，22bmn，回答a、b有何关系？生：因为2ba，所以a、b是平行向量.引导：若a、b是平行向量，能否得出ba？为什么？可得出ab吗？为什么？生：可以！因为a、b平行，它们的方向相同或相反.师：由此可得向量平行的充要条件：向量b与非零向量a平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得ba.对此定理的证明，是两层来说明的：其一，若存在实数，使ba，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知b与a平行，即b与a平行.其二，若b与a平行，且不妨令0a，设|ba（这是实数概念）接下来看a、b方向如何：a、b同向，则ba，若a、b反向，则记ba，总而言之，存在实数（或）使ba.小练习 2：如图：已知3ADAB，3DEBC，试判断AC与AE是否平行 解：333()3AEADDEABBCABBCAC AE与AC平行.4）单位向量：单位向量：模为 1 的向量.向量a（0a）的单位向量：与a同方向的单位向量，记作0a.思考：0a如何用a来表示？（0|aaa01|aaa）3例题与练习：题 1：如图，在ABC中，D是AB的中题1EDCBA点，E是BC延长线上的点，且2BEBC，是根据下列要求表示向量DE：（1）用BA、BC表示；（2）用CA、CB表示.题 2：如图，在ABC中，已知M、N分别是AB、AC的中点，用向量方法证明：12MNBC/题 3：如图，已知1OAkOA，1OBkOB，1OCkOC，求证：ABC111ABC 练习：P145 1、2、3、4 4课堂小结：（1）与a的积还是向量，a与a是共线的；（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。5作业布置：练习部分 P88-89 习题 3 A 组 2、3、4、5.P89 习题 3 B 组 2、3.6拓展思考题：设a、b是两个不共线向量，已知2ABamb，3CBab，若A、B、C三点共线，求m的值。七、教学建议与说明 1从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣。如可以通过物理中力与加速度的关系F m a，位移与速度的关系 sv t等实际问题引入实数与向量的积。2实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方向和大小。3由于学生已理解平行向量，因此可以让学生观察平行向量间的关系，可以提示从方向和大小两个方面来考虑。然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的。给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平面中直线间的平行的区别。