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可测函数与连续函数 实变大作业 2011/4/27 可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。【关键词】：可测函数、连续函数、关系 这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。一、基本概念 1、几乎处处：给定一个可测集 E，假如存在 E 的一个子集1，(1)=0，且使得性质 P在1上处处成立，则称性质 P 在 E 上几乎处处成立。2、可测函数：设 是 Lebesgue 可测集，是上的实值函数。假如对于任意实数()=:()都是可测集，则称是上的 Lebesgue可测函数（简称是上的可测函数）。3、几乎处处有限的可测函数：设 是 Lebesgue 可测集，给定一个可测集 E，存在 E 的一个子集1，(1)=0，在1上有限，假如对于任意实数()=:()都是可测集，则称是上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数 4、连续函数：设 ，是定义于的函数，假如 lim,()=()则称沿D在连续；假如沿D内任意一点都连续，则称沿D连续。5、预备定理、引理 定理 2.2 设 f 是一个紧集，fnn1 是一列沿 F 连续的函数。若fn 在 F 上一致收敛于 f，则 f 也沿 F 连续。定理 2.3（Egoroff）设 f 和fn(n 1)都是测度有限的集 D 上的几乎处处有限的可测函数。若fn在 D 上几乎处处收敛于 f，则对任何 0，有 D 的闭子集 F，使 m(D F)0，有沿 D 连续的函数f使 m(f f)，则由连续性假设，存在x的某邻域U(x)，使U(x)E E(f )。因此，令G=U(x)xE(f)，则：G E=U(x)xE(f)E=U(x)xE(f)(f )反之，显然有E(f )G，因此：()()从而：()=()但 G 是开集（因为它是一族开集这并），而 E 为可测集，故其交 仍为可测集，即()为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。但可测函数不一定连续例 例：可测函数 Dirichlit 函数在0,1上处处间断 2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性 引理 1：设 F 是 R 中的闭集，函数 f 没 F 连续，则 f 可以开拓成 R 的连续函数f，并且：supxR|f(x)|=supxR|f(x)|证明：此时Fc=(an,bn)是开集，其中开区间族(an,bn)两两不相交。今定义 f(x)=f(x),若 x F 线性,若 x an,bn,且an,bn有界f(an),若 x an,bn),其中bn=f(bn),若 x (an,bn,其中an=则显然f(x)是 R 上的连续函数，它是 f 的开拓。引理得证。引理 2：设 f 是可测集 D 上的简单函数。则对任何 0，有没 D 的连续的函数f使m(E(f f)证明：不妨设f(D)=ak1kn,其中ak都是实数且两两不同。令Ek=E(f=ak),则Ek1kn两两不相交且D=Eknk=1.现对每一k，令Fk是Ek的闭子集且m(Ek Fk)n,k=1,2,n.此时易知 f 沿闭集F=Eknk=1连续。由引理 1，f 作为 F 上的函数可以开拓成沿 D 连续的函数f，此时 m(E(f f)m(D F)=m(Eknk=1 Fknk=1)m(Ek Fk)nk=1)m(Ek Fk)nk=1 0，有沿连续的函数使()，并且max|f(x)|sup|f(x)|。（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）证明：不失一般性设 f 在 D 上处处有限。先设 D是有限可测集。由定理 2.3，有 D 上的简单函数列 fn,使fn(x)f(x)(x D)。现对每一 n 1,由引理 2.2，存在沿 D连续的函数fn，使 m(f f)2n+1，n=1,2,令 E=fn fnn=1,则 m(E)2 并且在 D E 上fn(x)f(x)。由于 D 有界,所以存在 D E 的有界闭子集 F,使得fn在 F 上一致收敛于 f 并且 m(D E F)2。再由定理 2.2，f 沿 F 连续.这样由引理 2.1，f 作为 F上的函数可以开拓成沿 D 连续的函数f。此时 m(f f)m(D F)。这样我们在 D 有界的条件下证明了定理。对一般的 D R，此时对每一整数 n，令 Dn=D n,n+1)，n=0,1,2,则 Dn都是有界的。从而由上段证明，对每一 n，存在Dn的闭子集Fn,使 f 沿Fn连续，并且 m(Dn Fn)2|n|+1，n=0,1,2,此时 F=Fnn=是闭集，并且 f 沿 F 连续。由引理 2.1，f 作为 F上的函数可以开拓成 D 上的连续的函数f，并且 m(f f)m(D F)=m(Dn Fn)m(Dn Fn)m(Dn Fn)n=2|n|+1n=0，有,上连续函数，使()0，存在闭集 ，使f在上连续，且()0，存在闭集 ，及R上的连续函数()，使(1)在上()=()。(2)()。如果在 E 上|()|，还可要求|()|.证明：由定理 1，有闭集 ，使()，而()是上的连续函数，因此问题在于扩张上的()，使其在整个空间上连续。是有界闭集，因此是从一闭区间,(,)中去掉有限个或可数多个互不相交的开区间而成，设这些开区间是(,)，现在我们定义一个函数()，使()=0,当 或 时f(x),当 x F 时 此外，当 (,)时，令()的图形是联(,()，(,()的直线，当 (,)及(,)时，分别联(,0),(,()及(,0),(,()的直线，于是()是整个直线上的连续函数，且满足定理的各项要求。三、小结 一方面，可测集上的连续函数是可测的，另一方面，Lusin定理表明，Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近。可测集E上的连续函数一定为可测函数，但可测函数不一定连续。如Dirichlet函数,Riemann函数都是可测函数但都不连续。显然，可测函数要比连续函数更加广泛。参考文献：周性伟，实变函数，科学出版社，2007.江泽坚，实变函数论，高等教育出版社，1994.戴培良，可测函数与连续函数的关系，常熟理工学院学报，2008 年 2 月。Love is not a maybe thing.You know when you love someone.
