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专题平行线分线段成比例 Revised as of 23 November 2020 专题 14 平行线分线段成比例 阅读与思考 平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论 运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例 1】如图，在梯形 ABCD中，ADBC，ADa，BCb，E，F分别是 AD，BC的中点，且 AF交 BE 于 P，CE交 DF于 Q，则 PQ的长为（上海市竞赛试题）解题思路：建立含 PQ 的比例式，为此，应首先判断 PQ与 AD（或 BC）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系 【例 2】如图，在ABC 中，D，E是 BC 的三等分点，M是 AC 的中点，BM交 AD，AE 于 G，H，则 BGGH：HM等于（）A321 B421 C543 D532（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过 M作 BC 的平行线，构造基本图形 QABCDEFP 【例 3】如图，ABCD 中，P为对角线 BD 上一点，过点 P作一直线分别交 BA，BC的延长线于 Q，R，交 CD，AD于 S，T 求证：PQPTPRPS（吉林省中考试题）解题思路：要证 PQPTPRPS，需证PQPSPRPT，由于 PQ，PT，PR，PS 在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形 【例 4】梯形 ABCD 中，AD/BC，ABDC（1）如图 1，如果 P，E，F分别是 BC，AC，BD的中点，求证：ABPEPF；（2）如图 2，如果 P 是 BC 上的任意一点（中点除外），PEAB，PFDC，那么 ABPEPF这个结论还成立吗如果成立，请证明；如果不成立，说明理由（上海市闵行区中考试题）ABCDEFP图 2 ABCDEFP图 1 QARBCDSPABCDEGHM 解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明 ABPEPF，即要证明PEABPFAB1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明 【例 5】如图，已知 ABCD，ADCE，F，G分别是 AC 和 FD的中点，过 G的直线依次交 AB，AD，CD，CE 于点 M，N，P，Q 求证：MNPQ2PN 解题思路：考虑延长 BA，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式（浙江省竞赛试题）【例 6】已知：ABC 是任意三角形（1）如图 1，点 M，P，N 分别是边 AB，BC，CA的中点，求证：MPNA；（2）如图 2，点 M，N 分别在边 AB，AC 上，且AMAB13，ANAC13，点 P1，P2是 QABCDEFGMNP 边 BC 的三等分点，你认为MP1NMP2NA是否正确请说明你的理由；（3）如图 3，点 M，N 分别在边 AB，AC 上，且 P1，P2，P2009是边 BC 的 2010 等分点，则MP1NMP2NMP2009N（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质 能力训练 A 级 1设 Kabccabcbabca，则 K（镇江市中考试题）2如图，ADEFBC，AD15，BC21，2AEEB，则 EF ABCMNP图 1 ABCMN1P2P图 2 AMNBC1P2P2009P图 3 3如图，在ABC 中，AM与 BN 相交于 D，BM3MC，ADDM，则 BDDN（杭州市中考试题）4如图，ABCD 是正方形，E，F是 AB，BC 的中点，连结 EC 交 DB，交 DF于 G，H，则 EGGHHC（重庆市中考试题）5如图，在正ABC 的边 BC，CA上分别有点 E，F，且满足 BECFa，ECFAb（ab），当 BF平分 AE时，则ab的值为（）A512 B522 C512 D522 6如图，ABC 中，AD是 BC 边上的中线，F是 AD上的一点，且 AFFD15，连结 CF并延长交 AB 于 E，则 AEEB等于（）A110 B19 C18 D17 7如图，PQAB，PQ6，BP4，AB8，则 PC 等于（）A4 B8 C12 D16 8如图，EFBC，FDAB，BD35BC，则 BEEA等于（）ABCDEF第 6 题 QABCP第 7 题 ABCDEF第 8 题 ABCDEF第 2 题 ABCDMN第 3 题 ABCDEFGH第 4 题 ABCEFG第 5 题 A35 B25 C23 D32 9（1）阅读下列材料，补全证明过程 已知，如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点 O，OEBC 于 E，连结 DE交 OC 于点 F，作 FGBC 于 G求证：点 G是线段 BC 的一个三等分点（2）请你依照上面的画法，在原图上画出 BC 的一个四等分点（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10如图，已知在ABCD 中，E为 AB边的中点，AF12FD，FE与 AC 相交于 G 求证：AG15AC 11如图，梯形 ABCD 中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点 O，且 EFAD（1）求证：OEOF；（2）求OEADOEBC的值；（3）求证：1AD1BC2EF（宿迁市中考试题）ABCDEFGO第 9 题 ABCDEG第 10 题 ABCDEFO第 11 题 12如图，四边形 ABCD 是梯形，点 E是上底边 AD上的一点，CE的延长线与 BC 的延长线交于点 F，过点 E 作 BA的平行线交 CD的延长线于点 M，MB与 AD 交于点 N 求证：AFNDME（全国初中数学联赛试题）B 级 1如图，工地上竖立着两根电线杆 AB，CD，它们相距 15cm，分别自两杆上高出地面 4m，6m 的 A，C 处，向两侧地面上的 E，D和 B，F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P离地面的高度为m（全国初中数学联赛试题）QABCDEFMNP 2如图，ABCD的对角线交于 O点，过 O任作一直线与 CD，BC 的延长线分别交于 F，E点设 BCa，CDb，CFc，则 CE（黑龙江省中考试题）3如图，D，F分别是ABC 边 AB，AC 上的点，且 ADDBCFFA23，连结 DF交 BC 边的延长线于点 E，那么 EFFD（“祖冲之杯”邀请赛试题）4如图，设 AF10，FB12，BD14，DC6，CE9，EA7，且 KLDF，LMFE，MNED，则 EFFD（江苏省竞赛试题）5如图，ABEFCD，已知 AB20，CD80，那么 EF的值是（）A10 B12 C16 D18（全国初中数学联赛试题）6如图，CE，CF分别平分ACB，ACD，AECF，AFCE，直线 EF分别交AB，AC 于点 M，N若 BCa，ACb，ABc，且cab，则 EM的长为（）A2ca B2ab C2cb D2abc ABCDEF第 5 题 ABCDEFLKMN第 4ABCDEFM第 6题 ABCDEFO第 2 题 ABCDEF第 3 题 QABCDEF第 1 题 （山东省竞赛试题）7如图，在ABCD 的边 AD延长线上取一点 F，BF分别交 AC 与 CD 于 E，G若 EF32，GF24，则 BE等于（）A4 B8 C10 D12 E16（美国初中数学联赛试题）8如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB3CD，E是对角线 AC 的中点，直线 BE交 AD于点 F，则 AFFD 的值是（）A2 B53 C32 D1（黄冈市竞赛试题）9如图，P是梯形 ABCD 的中位线 MN 所在直线上的任意一点，直线 AP，BP分别交直线 CD于 E，F 求证：MNNP1()2AEBFEPFP（宁波市竞赛试题）10如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD相交于 O，直线l平行于 BD 且与 AB，DC，BC，AD及 AC 的延长线分别交于点 M，N，R，S和 P 求证：PMPNPRPS（山东省竞赛试题）ABCDEFG第 7 题 ABCDEF第 8 题 ABCDEFMNP第 9 题 11如图，ABBC，CDBC，B，D是垂足，AD和 BC 交于 E，EFBD于F我们可以证明：11ABCD1EF成立（不要求证出）以下请回答：若将图中垂直改为 ABCDEF，那么，（1）11ABCD1EF还成立吗如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 （2）请找出 SABD，SBED和 SBDC的关系式，并给出证明（黄冈市竞赛试题）ABCDEF第 11 题 SARBCDMNOPl第 10 题 12在 RtABC 中，BAC90，AD平分BAC，过 D点的直线 PQ 交边 AC 于点 P，交边 AB的延长线于点 Q（1）如图 1，当 PQAC 时，求证：11AQAP2AD；（2）如图 2，当 PQ不与 AD垂直时，（1）的结论还成立吗证明你的结论；（3）如图 3，若BAC60，其它条件不变，且11AQAPnAD，则n（直接写出结果）AQBCDP图 1 AQBCDP图 2 AQBCDP图 3