南省洛阳市偃师县2022年数学九年级第一学期期末考试模拟试题含解析.pdf

2022-2023 学年九上数学期末模拟试卷 考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题 4 分，共 48 分）1一个不透明的袋子中装有 10 个只有颜色不同的小球，其中 2 个红球，3 个黄球，5 个绿球，从袋子中任意摸出一个球，则摸出的球是绿球的概率为（）A15 B310 C13 D12 2如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点若3MN，6AB，则ACB的度数为（）A30 B35 C45 D60 3下列命题若ab，则22ambm相等的圆心角所对的弧相等各边都相等的多边形是正多边形 16的平方根是4其中真命题的个数是（）A0 B1 C2 D3 4如图，在 ABC与 ADE中，ACB=AED=90，ABC=ADE，连接 BD、CE，若 ACBC=34，则BDCE为（）A53 B43 C52 D23 5用配方法解方程22830 xx时，原方程可变形为（）A2522x B21122x C227x D227x 6一次函数 y3x2 的图象和性质，表述正确的是（）Ay随 x的增大而增大 B在 y轴上的截距为 2 C与 x轴交于点（2，0）D函数图象不经过第一象限 7如图，在 ABC中，M，N分别为 AC，BC的中点则 CMN 与 CAB的面积之比是()A1:2 B1:3 C1:4 D1:9 8先将抛物线213yx关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（）A213yx B213yx C213yx D213yx 9如图点D、E 分别在 ABC 的两边 BA、CA 的延长线上，下列条件能判定 EDBC 的是（）AADDEABBC；BADAEACAB；CAD ABDE BC；DAD ACAB AE 10如图，Rt ABC中，90C，4b，5c，则sin A的值是（）A34 B45 C35 D56 11正方形具有而菱形不具有的性质是（）A对角线互相平分 B对角线相等 C对角线平分一组对角 D对角线互相垂直 12如图，已知/ABCDEF，那么下列结论正确的是（）AADBCDFCE BBCDFCEAD CCDBCEFBE DCDADEFAF 二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13若 m1m3，则 m2+21m_ 14如果抛物线 y（k2）x2+k的开口向上，那么 k的取值范围是_ 15如图，已知O的半径为 10，ABCD，垂足为 P，且 ABCD16，则 OP_ 16如图，扇形 OAB，AOB=90，P 与 OA、OB 分别相切于点 F、E，并且与弧 AB 切于点 C，则扇形 OAB 的面积与P 的面积比是 17如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点为位似中心，将ABC缩小，使变换得到的DEF 与ABC 对应边的比为 12，则线段 AC 的中点 P 变换后对应点的坐标为_ 18 如图，AB是O的直径，C是O上一点，ACB的平分线交O于D，且10AB，则AD的长为_ 三、解答题（共 78 分）19（8 分）如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，CD是ABC的高 （1）求证：ACDCBD；（2）若 AD=2，CD=4，求 BD的长 20（8 分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线23yaxx（0a）交 x轴于 A、B两点，交 y轴于点 C，且对称轴为直线 x=-2.（1）求该抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）若点 P(0,t)是 y轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图 1，设PAD的面积为 S，令 WtS，当 0t4 时，W是否有最大值？如果有，求出 W 的最大值和此时 t的值；如果没有，说明理由；探究二：如图 2，是否存在以 P、A、D为顶点的三角形与 RtAOC相似？如果存在，求点 P的坐标；如果不存在，请说明理由 21（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OADB的顶点6,0,0,4AB，过点6,1C 的双曲线(0)kykx与矩形OADB的边BD交于点E(1)求双曲线kyx的解析式以及点E的坐标；(2)若点P是抛物线21522yxxt 的顶点；当双曲线kyx过点P时，求顶点P的坐标；直接写出当抛物线21522yxxt 过点B时，该抛物线与矩形OADB公共点的个数以及此时t的值 22（10 分）综合与探究 如图，抛物线2(0)yaxbxc a经过点A、B、C，已知点(0,4)C，AOCCOB，且12OCOA，点P为抛物线上一点（异于,A B）（1）求抛物线和直线AC的表达式（2）若点P是直线AC上方抛物线上的点，过点P作PFAB，与AC交于点E，垂足为F当PEEF时，求点P的坐标（3）若点M为x轴上一动点，是否存在点P，使得由B，C，P，M四点组成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 23（10 分）已知关于x的方程250 xkxk.（1）求证：不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为3x，求该方程的另一个根.24（10 分）有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式1,1,3xx将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张第一次抽取的卡片正面的整式作为分子，第二次抽取的卡片正面的整式作为分母（1）请写出抽取两张卡片的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；（2）试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率 25（12 分）如图，平面直角坐标系中，一次函数 yx+b 的图象与反比例函数 y4x在第二象限内的图象相交于点 A，与 x 轴的负半轴交于点 B，与 y 轴的负半轴交于点 C （1）求BCO的度数；（2）若 y 轴上一点 M 的纵坐标是 4，且 AMBM，求点 A 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点 P 在 y 轴上，点 Q是平面直角坐标系中的一点，当以点 A、M、P、Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 Q 的坐标 26 如图，已知ABC中，ACB90，AC4，BC3，点 M、N分别是边 AC、AB上的动点，连接 MN，将AMN沿 MN所在直线翻折，翻折后点 A的对应点为 A （1）如图 1，若点 A恰好落在边 AB上，且 AN12AC，求 AM的长；（2）如图 2，若点 A恰好落在边 BC上，且 ANAC 试判断四边形 AMAN的形状并说明理由；求 AM、MN的长；（3）如图 3，设线段 NM、BC的延长线交于点 P，当35ANAB且67AMAC时，求 CP的长 参考答案 一、选择题（每题 4 分，共 48 分）1、D【解析】随机事件 A的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数【详解】解：绿球的概率：P51012，故选：D【点睛】本题考查概率相关概念，熟练运用概率公式计算是解题的关键 2、A【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，即可得到答案【详解】M，N分别为BC，OC的中点，MN 是OBC 的中位线，OB=2MN=23=6，四边形ABCD是矩形，OB=OD=OA=OC=6，即：AC=12，AB=6，AC=2AB，ABC=90，ACB=30 故选 A【点睛】本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等，是解题的关键 3、A【分析】根据不等式的性质进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系进行分析即可；根据正多边形的定义进行判断；根据平方根的性质进行判断即可【详解】若 m20，则22ambm，此命题是假命题；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，此命题是假命题；各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，此命题是假命题；16=4，4 的平方根是2，此命题是假命题.所以原命题是真命题的个数为 0，故选：A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 4、A【解析】因为ACB=90，ACBC=34，则53ABAC因为ACB=AED=90，ABC=ADE，得ABC ADE，得ABACADAE，,DAEBACDABEAC 则，则DABEAC，53BDABCEAC.故选A.5、B【分析】先将二次项系数化为 1，将常数项移动到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，结合完全平方公式进行化简即可解题【详解】22830 xx 228=3xx 234=2xx 234+4=+42xx 211(2)=2x 故选：B【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，其中涉及完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 6、D【解析】根据一次函数的图象和性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可【详解】A一次函数 y=3x2 的图象 y随着 x的增大而减小，即 A项错误；B把 x=0 代入 y=3x2 得：y=2，即在 y轴的截距为2，即 B项错误；C把 y=0 代入 y=3x2 的：3x2=0，解得：x23，即与 x轴交于点（23，0），即 C项错误；D函数图象经过第二三四象限，不经过第一象限，即 D项正确 故选 D【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，正确掌握一次函数图象的增减性和一次函数的性质是解题的关键 7、C【解析】由 M、N分别为 AC、BC的中点可得出 MNAB，AB2MN，进而可得出ABCMNC，根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】M、N分别为 AC、BC的中点，MNAB，且 AB2MN，ABCMNC，MNCABCSS（MNAB）214 故选 C【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出ABCMNC是解题的关键 8、C【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴对称的特点得出答案【详解】根据二次函数关于x轴对称的特点：两抛物线关于x轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，可得：抛物线213yx关于x轴对称的新抛物线的解析式为213yx 故选：C.【点睛】本题主要考查二次函数关于x轴对称的特点，熟知两抛物线关于x轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，对称轴不变是关键.9、D【分析】根据选项选出能推出ADEABC，推出DB 或EC的即可判断【详解】解：A、ADDEABBC，EADBAC，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理.无法判断ADE与ABC相似，即不能推出/DEBC，故本选项错误；B、ADAEACAB EADBAC，ADEACB，EB，DC，即不能推出/DEBC，故本选项错误；C、由AD ABDE BC可知ABDEBCAD，不能推出DAEBAC，即不能推出DB，即不能推出两直线平行，故本选项错误；D、AD ACAB AE，ADAEABAC，EADBAC，DAEBAC，DB，/DEBC，故本选项正确；故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似 10、C【分析】根据勾股定理求出 a，然后根据正弦的定义计算即可【详解】解：根据勾股定理可得 a=223cb 3sin5aAc 故选 C【点睛】此题考查的是勾股定理和求锐角三角函数值，掌握利用勾股定理解直角三角形和正弦的定义是解决此题的关键 11、B【分析】根据正方形和菱形的性质逐项分析可得解.【详解】根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直，故选 B【点睛】考点：1.菱形的性质；2.正方形的性质 12、A【分析】已知 ABCDEF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可【详解】ABCDEF，ADBCDFCE 故选 A【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案 二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13、1【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案【详解】解：21mmm22+21m9，m2+21m1，故答案为 1【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.14、k2【解析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数 k21【详解】因为抛物线 y（k2）x2k的开口向上，所以 k21，即 k2，故答案为 k2.【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型 15、62【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得 OP 的长，本题得以解决【详解】解：作 OEAB交 AB与点 E，作 OFCD交 CD于点 F，连接 OB，如图所示，则 AEBE，CFDF，OFPOEPOEB=90，又圆 O 的半径为 10，ABCD，垂足为 P，且 ABCD16，FPE90，OB10，BE8，四边形 OEPF是矩形，OE2222108OBBE=6，同理可得，OF6，EP6，OP22626=6，故答案为：6 2【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 16、32 24【详解】依题意连接 OC 则 P 在 OC 上，连接 PF,PE 则 PFOA,PEOB,由切线长定理可知四边形 OEPF 为正方形，且其边长即P 的半径（设P 的半径为 r）OP=2r 又 OC=OP+PC=2r+r=(1+2)r 即扇形 OAB 的(1+2)r,22290(12),360pOABrsrs扇形2(32 2)4r 32 24OABPss扇形 17、(1，32)或(1，32)【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k本题中 k1 或1【详解】解：两个图形的位似比是 1：（12）或 1：12，AC 的中点是（4，3），对应点是（1，32）或（1，32）【点睛】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律 18、5 2【分析】连接 OD，由 AB 是直径，得ACB=90，由角平分线的性质和圆周角定理，得到AOD 是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求出 AD 的长度.【详解】解：连接 OD，如图，AB是O的直径，ACB=90，AO=DO=1110522AB，CD 平分ACB，ACD=45，AOD=90，AOD 是等腰直角三角形，2222555 2ADAODO；故答案为：5 2.【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆周角定理进行解题.三、解答题（共 78 分）19、（1）证明见解析；（2）8BD 【分析】（1）由垂直的定义，得到90ADCCDB，由同角的余角相等，得到CADBCD，即可得到结论成立；（2）由（1）可知ACDCBD，得到ADCDCDBD，即可求出 BD.【详解】（1）证明：AB是O的直径，90ACB CDAB，90ADCCDB 90CADACDACDBCD，CADBCD ADCCDB,CADBCD,ACDCBD（2）解：由（1）得，ACDCBD ADCDCDBD，即244BD，8BD 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.20、（1）2134yxx，D（-2，4）（2）当 t=3 时，W 有最大值，W最大值=1存在只存在一点 P（0，2）使 RtADP 与 RtAOC 相似【解析】（1）由抛物线的对称轴求出 a，就得到抛物线的表达式了；（2）下面探究问题一，由抛物线表达式找出 A，B，C 三点的坐标，作 DMy 轴于 M，再由面积关系：SPAD=S梯形OADM-SAOP-SDMP得到 t 的表达式，从而 W 用 t 表示出来，转化为求最值问题 难度较大，运用分类讨论思想，可以分三种情况：（1）当P1DA=90时；（2）当P2AD=90时；（3）当 AP3D=90时。【详解】解：（1）抛物线 y=ax2-x+3（a0）的对称轴为直线 x=-2 122a 14a 2134yxx D（-2，4）（2）探究一：当 0t4 时，W 有最大值 抛物线2134yxx 交 x 轴于 A、B两点，交 y 轴于点 C，A（-6，0），B（2，0），C（0，3），OA=6，OC=3 当 0t4 时，作 DMy 轴于 M，则 DM=2，OM=4 P（0，t），OP=t，MP=OM-OP=4-t S三角形PAD=S梯形OADM-S三角形AOP-S三角形DMP 111()222DMOAOMOA OPDM MP 111(26)462(4)222tt =12-2t W=t（12-2t）=-2（t-3）2+1 当 t=3 时，W 有最大值，W最大值=1 探究二：存在分三种情况：当P1DA=90时，作 DEx 轴于 E，则 OE=2，DE=4，DEA=90，AE=OA-OE=6-2=4=DE DAE=ADE=45，24 2ADDE P1DE=P1DA-ADE=90-45=45 度 DMy 轴，OAy 轴，DMOA，MDE=DEA=90，MDP1=MDE-P1DE=90-45=45 度 P1M=DM=2，122 2PDDM 此时13 24OCOAPDAD 又因为AOC=P1DA=90，RtADP1RtAOC，OP1=OM-P1M=4-2=2，P1（0，2）当P1DA=90时，存在点 P1，使 RtADP1RtAOC，此时 P1点的坐标为（0，2）当P2AD=90时，则P2AO=45，26 2cos45OAP A 26 226P AOA 4 23ADOC 2P AADOCOA P2AD 与AOC 不相似，此时点 P2不存在 当AP3D=90时，以 AD 为直径作O1，则O1的半径2 22ADr 圆心 O1到 y 轴的距离 d=4 dr，O1与 y 轴相离 不存在点 P3，使AP3D=90 度 综上所述，只存在一点 P（0，2）使 RtADP 与 RtAOC 相似 21、（1）6yx，3(,4)2E；（2）1,6P；三个，65t 【分析】（1）将 C 点坐标代入kyx求得 k的值即可求得反比例函数解析式，将4y 代入所求解析式求得 x 的值即可求得 E 点坐标；（2）将抛物线化为顶点式，可求得 P 点的横坐标，再根据双曲线解析式即可求得 P 点坐标；根据 B 点为函数与 y轴的交点可求得 t 的值和函数解析式，再根据函数的对称轴，与 x 轴的交点坐标即可求得抛物线与矩形OADB公共点的个数【详解】解:(1)把点(6,1)C 代入kyx，得6k ，6yx 把4y 代入6yx，得32x ，3(,4)2E；(2)抛物线2211352(1)5222yxxtxt 顶点P的横坐标1x ，顶点P在双曲线6yx 上，6y，顶点1,6P，当抛物线21522yxxt 过点B时，524t，解得65t，抛物线解析式为2211914(1)(2)(4)2222yxxxxx ，故函数的顶点坐标为9(1,)2，对称轴为1x ，与 x 轴的交点坐标分别为(2,0),(4,0)所以它与矩形OADB在线段 BD 上相交于(0,4)B和(2,4)，在线段 AB上相交于(4,0)，即它与矩形OADB有三个公共点，此时65t 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和求二次函数解析式，二次函数的性质在求函数解析式时一般该函数有几个未知的常量就需要代入几个点的坐标，本题（2）（3）中熟练掌握二次函数一般式，交点式，顶点式三种表达式之间的互相转化是解决此题的关键 22、（1）213442yxx，142yx；（2）点P的坐标为2,6；（3）存在，点P的坐标为6,4或(41 3,4)或(413,4)【分析】（1）12OCOA，则 OA=4OC=8，故点 A（-8，0）；AOCCOB，则ABC 为直角三角形，则 CO2=OAOB，解得：OB=2，故点 B（2，0）；即可求解；（2）PE=EF，即213114444222mmmm；即可求解；（3）分 BC 是边、BC 是对角线两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）AOCCOB，12OCOA，12OCOBOAOC 由点C的坐标可知4OC，故8OA，2OB，则点8,0A，点2,0B 设抛物线的表达式为(8)(2)ya xx,代入点C的坐标，得(0 8)(02)4a，解得14a 故抛物线的表达式为2113(8)(2)4442yxxxx 设直线AC的表达式为ykxb,代入点A、C的坐标，得4,80,bkb，解得4,1,2bk 故直线AC的表达式为142yx（2）设点P的坐标为213,442mmm，则点,E F的坐标分别为1,42mm，(,0)m，80m PEEF，213114444222mmmm，解得2m 或8m （舍去），则2134642mm，故当PEEF时，点P的坐标为2,6（3）设点P（m，n），n=213442mm，点 M（s，0），而点 B、C 的坐标分别为：（2，0）、（0，4）；当 BC 是边时，点 B 向左平移 2 个单位向上平移 4 个单位得到 C，同样点 P（M）向左平移 2 个单位向上平移 4 个单位得到 M（P），即 m-2=s，n+4=0 或 m+2=s，n-4=0，解得：m=-6 或41-3，故点 P 的坐标为：（-6，4）或（41-3，-4）或（-41-3，-4）；当 BC 是对角线时，由中点公式得：2=m+s，n=4，故点 P（-6，4）；综上，点 P 的坐标为：（-6，4）或（41-3，-4）或（-41-3，-4）【点睛】此题考查二次函数综合运用，一次函数的性质，平行四边形的性质，三角形相似，解题关键在于注意（3），要注意分类求解，避免遗漏 23、（1）证明见解析；（2）另一根为-2.【分析】（1）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答；（2）将3x 代入方程得到k的值，再根据根与系数的关系求出另一根【详解】（1）1a，bk，5ck，24bac 245kk 2420kk 22160k 不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将3x 代入方程250 xkxk得，9350kk，解得：1k；原方程为：260 xx，设另一根为1x，则有131x，解得：12x ，所以方程的另一个根为2.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程20axbxc（a0）的根与24bac有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根 24、（1）见解析；（2）23【分析】（1）用树状图或列表法把所有的情况表示出来即可；（2）根据树状图找到所有的情况数以及能组成分式的情况数，利用能组成分式的情况数与总数之比求概率即可【详解】（1）树状图如下：（2）总共有 6 种情况，其中能组成分式的有 4 种，所以 P（组成分式）4263【点睛】本题主要考查用树状图或列表法求随机事件的概率，掌握树状图或列表法和概率公式是解题的关键 25、（1）BCO45；（2）A(4，1)；（3）点 Q 坐标为(4，4)或(4，6)或(4，316)或(4，1)【分析】（1）证明OBC 是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图 1 中，作 MNAB 于 N根据一次函数求出交点 N 的坐标，用 b 表示点 A 坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（3）分两种情形：当菱形以 AM 为边时，当 AM 为菱形的对角线时，分别求解即可【详解】（1）一次函数 yx+b 的图象交 x 轴于 B，交 y 轴于 C，则 B(b，0)，C（0，b），OBOCb，BOC90 OBC 是等腰直角三角形，BCO45（2）如图 1 中，作 MNAB 于 N，M（0，4），MNAC，直线 AC 的解析式为：yx+b，直线 MN 的解析式为：yx+4，联立4yxyxb ，解得：4242bxby，N(42b，42b)，MAMB，MNAB，NABN，设 A(m，n)，则有4220422mbbnb，解得：44mnb，A(4，b+4)，点 A 在 y4x上，4（b+4）4，b3，A（4，1）；（3）如图 2 中，由（2）可知 A(4，1)，M(0，4)，AM22345，当菱形以 AM 为边时，AQAQ5，AQOM，可得 Q(4，4)，Q(4，6)，当 A，Q 关于 y 轴对称时，也满足条件，此时 Q(4，1)，当 AM 为菱形的对角线时，设 P(0，b)，则有（4b）242+（b1）2，b16 AQMP256，Q(4，316)，综上所述，满足条件的点 Q 坐标为(4，4)或(4，6)或(4，316)或(4，1)【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合以及菱形的性质定理，根据题意添加辅助线画出图形，数形结合，式是解题的关键 26、（1）52；（2）菱形，理由见解析；AM=209，MN4 109；（3）1【分析】（1）利用相似三角形的性质求解即可（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可 连接 AA交 MN于 O设 AMMAx，由 MAAB，可得MAABCMCA，由此构建方程求出 x，解直角三角形求出 OM即可解决问题（3）如图 3 中，作 NHBC于 H想办法求出 NH，CM，利用相似三角形，确定比例关系，构建方程解决问题即可 【详解】解：（1）如图 1 中，在 RtABC中，C90，AC4，BC3，AB2222435ACBC，AA，ANMC90，ANMACB，ANACAMAB，AN12AC 125AM，AM52 （2）如图 2 中，NAAC，AMNMNA，由翻折可知：MAMA，AMNNMA，MNAAMN，ANAM，AMAN，AMAN，四边形 AMAN是平行四边形，MAMA，四边形 AMAN是菱形 连接 AA交 MN于 O设 AMMAx，MAAB，ABCMA C MAABCMCA，5x44x，解得 x209，AM209 CM169，CA22MACM2220169943，AA22ACCA224434103，四边形 AMAN是菱形，AAMN，OMON，OAOA2 103，OM22AMAO22202 10932 109，MN2OM4 109 （3）如图 3 中，作 NHBC于 H NHAC，ABCNBH NHACBNAB3BH NH4253BH NH85，BH65，CHBCBH36595，AM67AC247，CMACAM424747，CMNH，CPMHPN PCPHCMNH，PC9PC54785，PC1 【点睛】本题考查了相似三角形的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点