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1/46 第 1 章 质点的运动与牛顿定律 一、选择题 易、对于匀速圆周运动下面说法不正确的是（）（A）速率不变；（B）速度不变；（C）角速度不变；（D）周期不变。易：、对一质点施以恒力，则；（）（A）质点沿着力的方向运动；（B）质点的速率变得越来越大；（C）质点一定做匀变速直线运动；（D）质点速度变化的方向与力的方向相同。易：、对于一个运动的质点，下面哪种情形是不可能的 （）(A)具有恒定速率，但有变化的速度；(B)加速度为零，而速度不为零；(C)加速度不为零，而速度为零。(D)加速度恒定(不为零)而速度不变。中：、试指出当曲率半径0 时，下列说法中哪一种是正确的（）(A)在圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心；(B)匀速率圆周运动的速度和加速度都恒定不变；(C)物体作曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法线分速度恒等于零，因此法问加速度也一定等于零；(D)物体作曲线运动时，一定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。难：、质点沿 x 方向运动，其加速度随位置的变化关系为:如在 x=0 处，速度，那么 x=3m 处的速度大小为 2/46 (A)；(B)；(C)；(D)。易：、一作直线运动的物体的运动规律是，从时刻 到间的平 均速度是 (A)；(B)；(C)；(D)。中 7、一质量为 m 的物体沿 X 轴运动，其运动方程为txxsin0，式中0 x、均为正的常量，t 为时间变量，则该物体所受到的合力为：（）（A）、xf2；（B）、mxf2；（C）、mxf；（D）、mxf2。中：、质点由静止开始以匀角加速度沿半径为 R 的圆周运动如果在某一时刻此质点的总加速度与切向加速度成角，则此时刻质点已转过的角度为 (A)；(B)；(C)；(D)。难、一质量为本 10kg 的物体在力 f=（120t+40）i（SI）作用下沿一直线运动，在 t=0 时，其速度v0=6i1sm，则 t=3s 时，它的速度为：（A）10i1sm；（B）66i1sm；（C）72i1sm；（D）4i1sm。难：1、一个在 XY 平面内运动的质点的速度为，已知 t=0 时，它通过(3，-7)位置处，这质点任意时刻的位矢为 (A)；(B)；3/46 图 16(C)；(D)。易1、下列说法正确的是：（）（A）质点作圆周运动时的加速度指向圆心；（B）匀速圆周运动的速度为恒量；（C）、只有法向加速度的运动一定是圆周运动；（D）直线运动的法向加速度一定为零。易：1、下列说法正确的是：（）（A）质点的速度为零，其加速度一定也为零；（B）质点作变加速直线运动，其加速度的方向与初速度的方向相同；（C）力是改变物体运动状态的原因；（D）质点作直线运动时，其位移的大小和路程相等。中；、某质点的运动方程为2569xtt（SI），则该质点作（）（A）匀加速直线运动，加速度沿 X 轴正方向；（B）匀变速直线运动，加速度沿 X 轴负方向；（C）变加速直线运动，加速度沿 X 轴正方向；（D）变减速直线运动，加速度沿 X 轴负方向。易：4、一质点沿 x 轴作直线运动，其运动方程为 x=3+3t2（米），则：在 t=2秒时的速度、加速度为；（）（A）12m/s，6m/s2；（B）2m/s ，12m/s2；（C）6m/s，2m/s2；（D）无正确答案。易：5、质点作半径为 R 的匀速圆周运动，经时间 T 转动一周。则在 2T 时间内，其平均速度的大小和平均速率分别为（）（A）、2 RT、2 RT；（B）、0，2 RT；（C）、0，0；（D）、2 RT，0。4/46 中、物体沿一闭合路径运动，经t 时间后回到出发点 A，如图 16 所示，初速度 v1,末速度 v2,则在t 时间内其平均速度v与平均加速度a分别为：（A）v=0,;0a （B）v=0,0a;（C）v;,00a （D）v.,00a 二、填空题 易：、某直线运动的质点，其运动方程为230 xxatbtct（其中 x0、a、b、c 为常量）。则质点的加速度为 ；初始速度为 。中 一质点从静止出发沿半径 R=1m 的圆周运动，其角加速度随时间 t 的变化规律是tt6122（SI）则 质点的角速度_；切向加速度at=_。易：、一质量为5kg的物体（视为质点）在平面上运动，其运动方程为r=6i-3t2j（SI），式中 i、j 分别为 X、Y 正方向的单位矢量，则物体所受的合外力 f 的大小为 ；其方向为 。易：4、一质量为 M 的木块在水平面上作直线运动,当速度为 v 时仅在摩擦力作用下开始减速,经过距离 S 停止,则木块的加速度大小为 ,木块与水平面的摩擦系数为 。中：5、一质点沿半径为R的圆周运动，其路程S随时间t变化的规律为212sbtct（其中 b，c 为大于零的常数，且2bRc），则：质点运动的切向加速度a ，法向加速度na ；质点运动经过 t 时，naa。易：6、质量为0.1kg的质点的运动方程为20.100.02rtit j，则其速度 为 ，所受到的力为 F 易：7、质量为 10kg 的物体沿 x 轴无摩擦地运动。设 t=0 时，物体位于原点，速度为零。物体在力的作用下，运动了 3s，则此时物体的加速度5/46=_，速度 =_。难：8、某质点在 XY 平面内的运动方程为：，则 t=1s 时，质点的切向加速度大小为_，法向加速度大小为 _。三、判断题 易、质点作匀速圆周运动的速度为恒量。（）易、在一质点作斜抛运动的过程中，若忽略空气阻力，则矢量 dv/dt 是不断变化的。（）易、物体作曲线运动时，必有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。（）易、惯性离心力是一种虚构力，它只能出现在非惯性系中。（）中、万有引力恒量 G 的量纲为TML2。（）中、质点作曲线运动，质点的加速度为一恒量，但各点加速度与轨道切线间夹角不一样，则该质点一定不能作匀变速率运动。（）中 、物 体 所 受 合 外 力 的 方 向 必 与 物 体 的 运 动 方 向 一 致。（）中、当na0,a0，为有限值,恒量，物体有可能作直线运动。（）中、质点在恒力作用下的运动一般都是平面运动。在一定条件下可以是直线运动。（）易、质点作匀速圆周运动的角速度方向与速度方向相同。（）四、计算 题 易 1、已知一质点的运动方程为23x6t2t(单位为 SI 制)，求：(1)第 2 秒内的平均速度；(2)第 3 秒末的速度；(3)第一秒末的加速度；6/46 中 2、已知一质点由静止出发，其加速度在x轴和y轴上分别为xa4t，2ya15t（a 的单位为SI 制），试求 t 时刻质点的速度和位置。易.3、质点的运动方程为2311(t)(35tt)(4tt)23rij，求 t 时刻，质点的速度和加速度 a 以及t=1s时速度的大小。易：4、质点沿半径为R的圆周运动，运动方程为223t(S1)，求:t时刻质点的法向加速度大小和角加速度大小。易 5、质量m=2kg 的物体沿 x 轴作直线运动，所受合外力，如果在处时速度，试求该物体移到时速度的大小。易 6、物体沿直线运动，其速度为32t3t2(单位为 SI 制)。如果 t=2(s)时，x=4(m)，求此时物体的加速度以及 t=3(s)时物体的位置。易 7 一质点作半径为 r=10(m)的圆周运动,其角坐标可用224t（单位为 SI制）表示，试问：（1）t=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当角等于多少时，其总加速度与半径成045？易 8、已知质点的运动方程21r(3t5)(t3t4)2ij(单位为 SI 制)。求 t=4s 时质点的速度、加速度、位矢。易 9、一质点作一维运动，其加速度与位置的关系为akx，k 为正常数。已知t=0 时，质点瞬时静止于0 xx处。试求质点的运动规律。中 10、一质量为 40kg 的质点在力F120t40N的作用下沿x轴作直线运动。在t=0 时，质点位于0 x2.0m处，速度为104.0m s，求质点在任意时刻的速度和位置。参考答案：一、选择题 1、B 2、D 3、D 4、D 5、A 6、A 7、D 8、D 9、C 10、B 11、D 12、C 13、B 14、A 15、B 16、B 7/46 二、填空题 1、26bct、a；2、3243tt、2126tt；3、30N、y 轴的负方向；4、22s、22sg；5、C、2()bctR、bcRc；6、0.010.04tij、0.004(N)j；7、1.52/m s、2.7/m s；8、6.42/m s、4.82/m s。三、判断题 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、四、计算 题 1、解：由23=62xtt 知质点在任意时刻的速度与加速度分别为：2126dxttdt；=12 12da=tdt（1）第 2 秒内的平均速度 2323_121(6 22 2)6 12 142 11xxxm st (2)第 3 秒末的速度 221312612 36 318tsttm s ，与运动方向相反。(3)第一秒末的加速度 2112 1212 12 1tsatm s 2、解：由4xat，215yat可知质点在任意时刻的速度分量式和位移分量式分别为：4xxdatdt，变形后再两边积分为：004xtxdtdt 22xt 215yydatdt，变形后再两边积分为：20015ytydt dt 35yt t 时刻质点的速度为：2325txyttijij 22xdxtdt，变形后再两边积分为：2002xtdxt dt 323xt 35ydytdt，变形后再两边积分为：ytdttdy0035 445ty t 时刻，质点的位置为：342534trxyttijij 3、解：质点在任意时刻的速度为：254dttdtrij 8/46 则 5xt，24yt 当 t=1(s)时，质点的速度大小为：22215441ttm s 质点在任意时刻的加速度为：=+2dtdtaij 4、解：（1）由于232t，则角速度d=4tdt，角加速度2d=4rad/sdt 在时刻，法向加速度和切向加速度的大小分别为：2216na=r=Rt 4arR 5、解：由牛顿第二定律得 22210653()2xFxaxm sm 由xxxxdddxadxdtdx 得 200053xtxxxxda dxxdx 质点在任意位置的速度：23102xxx 该物体移到 x=4.0m 时速度的大小为：3310210 42 4168/xxm s 6、解：由3232tt可知物体在任意时刻的加速度和位移分别为：2da=3t+6tdt 3232drttdt 上式变形后再两边积分为：3224(32)trttdtdr 4312124r=t+t+t 当 t=2(s)时，物体的加速度为：2=2=3+6=32+62=2422tsattm.s（）当 t=3(s)时物体的位置为：4343311=+212=3+3+23 12=41.344ts=rtttm（）7、解：（1）由于224t，则角速度8d=tdt，在=2ts时，法向加速度和切向加速度的数值分别为：9/46 223264 210=2.56 10()-nt=2sa=r=m.s 22=10 8=80ttsdarm sdt 当总加速度与半径成045时，此时应有：=naa 即：28=64rtr 21=8t 于是 2124242.5()8trad 8、此题的解在书中 P13：例题 11 9、此题的解在书中 P15：例题 13 10、解：由牛顿第二定律得 21204031()40 xFtatm sm 由xxdadt 得 4.00031xttxxda dttdt 质点在任意时刻的速度：234.02xtt 由xdxdt 得 22.00034.02xttxdxdtttdt 质点在任意时刻的位置：3211=+4.0+2.022xtttm（）第五章气体分子动理论 5-6 在容积为332.010 m的容器中，有内能为26.7510 J 的刚性双原子分子理想气体。求:（1）气体的压强；（2）若容器中分子总数为225.410个，则分子的平均平动动能及气体的温度为多少？分析：（1）由一定量理想气体的内能公式和理想气体物态方程可求出气体的压强，刚性双原子分子的自由度5i。（2）由分子数密度定义和pnkT求出 T，最后由气体分子的平均平动动能公式求出分子的平均平动动能。10/46 解：（1）由2M iERT和MpVRT得气体压强：（2）分子数密度NnV，则该气体的温度：53222231.35 102.0 103.62 10()5.4 101.38 10ppVTKnkNk 气体分子的平均平动动能为：2322133 1.38 103.62 107.49 10()22kkTJ 5-7 自行车轮直径为 71.12cm，内胎截面直径为 3cm。在03 C的空气里向空胎里打气。打气筒长 30cm，截面半径为 1.5cm。打了 20 下，气打足了，问此时胎内压强是多少？设车胎内最后气体温度为07 C。分析：可根据理想气体物态方程求解此题。解：设向自行车内胎所打的空气的摩尔数为由理想气体物态方程pVRT得：1 11pVRT 其中，22231111,20 30 10(1.5 10),3273270patm Vm TK 气 打 足 后，胎 内 空 气 的 体 积 22232371.12 10(10)2Vm温 度 2(7273)280TKK，压强为 2p，222RTpV 1 12522211 1 2222222 11.013 1020 30 10(1.5 10)280371.12 10(10)2702pVRTRTpVTpVV T 52.84 10()2.8()apatm 5-8 某柴油机的气缸充满空气，压缩前其中空气的温度为047 C，压强为48.61 10 Pa。25322 6.75 101.35 10()5 2.0 10EpPaiV11/46 当活塞急剧上升时，可把空气压缩到原体积的 1/17，其时压强增大到64.2510 Pa，求这时空气的温度（分别以 K 和0C 表示）分析：此题由理想气体过程方程求解。解：设压缩前空气的体积为 4111,(47273)320,8.61 10aVV TKK pP，压缩后空气的体积为 6221,4.25 1017aVV pP，对于一定质量的理想气体，由1 12212pVp VTT得：64214.25 108.61 1017320VVT 2929()TK 022273(929273)656()tTC 5-9 温度为027 C时，1mol 氦气、氢气和氧气各有多少内能？1g 的这些气体各有多少内能？分析：由理想气体内能公式求解此题。刚性双原子分子氢气的自由度5i，刚性单原子分子氦气的自由度3i。解：由22iM iERTRT理想气体的内能，得 1mol 氦气的内能 3318.31(27273)3.74 10()2eHEJ 1mol 氢气的内能 23518.31(27273)6.23 10()2HEJ 1mol 氧气的内能 23518.31(27273)6.23 10()2OEJ 1g 氦气的内能 2138.31(27273)9.35 10()42eHEJ 1g 氢气的内能 22158.31(27273)3.12 10()22HEJ 1g 氧气的内能 22158.31(27273)1.95 10()322OEJ 5-10 已知某理想气体分子的方均根速率为1400m s。当其压强为 1atm 时，气体的密度为多大？12/46 分析：由,NVnmVN得222111333NVpnmVN，而方均根速率21400m s 解：气体的密度为：532233 1.013 101.9(.)400pkg m 5-11 容器中贮有氧气，其压强 P=1atm，温度027tC。试求：(1)单位体积内的分子数；(2)氧分子质量m；(3)氧气密度；(4)分子的方均根速率；(5)分子的平均平动动能。分析：（1）由pnkT可求得单位体积内的分子数，压强 p 和热力学温度 T 换成国际单位制。（2）氧分子的质量由0mN摩尔质量阿伏伽德罗常数可解得。（3）由 510 题推出的213p和分子的方均根速率23RT可解得氧气密度pRT。（4）由分子的方均根速率公式求解。（5）由分子的平均平动动能公式求解。解：（1）单位体积内的分子数为：5253231 1.013 102.45 10()1.38 10(27273)pnmkT（2）氧分子的质量为：2326230325.31 10()5.31 10()6.02 10mgkgN（3）氧气密度为：5331 1.013 1032 101.30()8.31(27273)pkg mRT（4）分子的方均根速率为：21333 8.31(27273)4.83 10()32 10RTm s2（5）分子的平均平动动能2321331.38 10(27273)6.21 10()22kkTJ 5-12 某些恒星的温度可达到约81.0 10 K，这也是发生聚变反应（也称热核反应）所13/46 需的温度。在此温度下，恒星可视为由质子组成的。问：（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率为多大？分析：（1）将组成恒星的大量质子视为理想气体，质子可作为质点，其自由度 i=3，因此，质子的平均动能就等于平均平动动能。（2）由方均根速率公式求解。解：（1）质子的平均动能为 k23833(1.38 101.0 10)22kT152.07 10()J（2）质子的方均根速率为 8261333 8.31 1.0101.5810(.)1 10RTm s 5-13 摩尔质量为 89g/mol 的氨基酸分子和摩尔质量为 5.0410g/mol 的蛋白质分子在037 C的活细胞内的方均根速率各是多少？分析：由方均根速率公式求解。解：氨基酸分子的方均根速率为：22138.31(37273)1.731.732.9 10()89 10RTm s 蛋白质分子的方均根速率为：21438.31(37273)1.731.7312()5.0 1010RTm s 5-14 求温度为0127 C时的氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率及最概然速率。分析：由平均速率、方均根速率、最概然速率的公式求解。氢气的摩尔质量2312 10Hkg mol，氧 气 的 摩 尔 质 量 为2123.2 10,okg mol气 体 温 度400TK 解：氢气分子平均速率为：2231388 8.31 4002.06 10()3.142 10HHRTm s 氢气分子方均根速率为：22231333 8.31 4002.23 10()2 10HHRTm s 氢气分子最概然速率为：14/46 图 5-15 习题 5-10 图解 2231()322 8.31 4001.82 10()2 10p HHRTm s 氧气分子平均速率为：2212288 8.31 4005.16 10()3.14 3.2 10oRTm so 氧气分子方均根速率为：22212233 8.31 4005.58 10()3.2 10ORTm so 氧气分子最概然速率为：221(0)2222 8.31 4004.55 10()3.2 10pRTm so 5-15 有 N 个质量均为 m 的同种气体分子，它们的速率分布如图 5-15所示。（1）说明曲线与横坐标所包围面积的含义；（2）由 N 和0 求 a 值；（3）求在速率0/2 到 30/2 间隔内的分子数；（4）求分子的平均平动动能。分析：（1）由速率分布函数()/fdN Nd得，分子所允许的速率在 0 到02的范围内，曲线与横坐标所包围的面积的含义；（2）由速率分布函数的归一化条件0()1fd 可求解；（3）由003/2/2()NNfd可求解；（4）由分子速率平方的平均值定义和分子的平均平动动能求解。解：（1）分子所允许的速率在 0 到02的范围内，曲线与横坐标所包围的面积020()SNfdN （1）即曲线与横坐标所包围的面积的含义是表示系统分子总数 N。（2）从图中可知，000 (0)(2)0aNf()=a 15/46 由（1）式得000022000()aN fddadN 02/3aN（3）速率在0/2到03/2间隔内的分子数为 00003/2/207/12aNdadN（4）分子速率平方 22200/()dN Nfd 故分子的平均平动动能为 0002232200011312236kaammddmNN 5-16 设有 N 个粒子，其速率分布函数为 0000 0 20 200aaf()=2a-(1)作出速率分布曲线；（2）由 N 和0，求 a；（3）求最概然速率p；（4）求 N 个粒子的平均速率；（5）求速率介于 0 0/2 之间的粒子数；（6）求0/2 0区间内分子的平均速率。分析：（1）水平方向的轴表示速率，纵轴表示速率分布函数，用描点法可作出速率分布曲线；（2）可根据归一化条件求解；（3）根据最概然速率p的定义求解；（4）由平均速率的定义求解；（5）由速率分布函数()/fdN Nd取积分可求解；（6）先由速率分布函数取积分求/2oo区间内分子总数，然后由分子的平均速率的定义求解。解：（1）速率分布曲线如图（1）所示：16/46 图（1）(2)根据归一化条件 0()1fd得：2(2)01oooaaadd0o 即：211122oooaa 1oa（3）根据最概然速率的定义，由速率分布曲线得 po（4）N 个粒子的平均速率为：0()odNfdN 22(2)ooooooaadad 322142()333ooooaa 221ooooa（5）在速率 0/2o之间的粒子数/2/2211111()()22888ooooooooooaaNNfNdNdaNNN（6）/2oo区间内分子总数为：22/2/20113()()228oooooooaaNNfNdNdN/2oo区间内分子的平均速率为：/2/2/2()8338ooooooodNfNdadNN 17/46 33381187()3323 38oooooaa 2277170.778999oooooa 5-17 设氮气分子的有效直径为-1010m，（1）求氮气分子在标准状态下的碰撞频率；（2）若温度不变，气压降到41.3310Pa，求碰撞频率。分析：标准状态下，51.013 10,273app Tk，（1）和（2）可由平均自由程公式、平均速度公式、碰撞频率的定义求解。解 （1）氮气分子在标准状态下的平均自由程为：237210251.38 102738.4 10()223.14(10)1.013 10KTmd p 氮气分子的平均速度 21388 8.31 2734.54 10()3.1428 10RTm sm 氮气分子在标准状态下的碰撞频率 28174.54 105.43 10()8.4 10zs（2）当温度 273TK，压强 41.33 10app时，氮分子的平均自由程：232210241.38 102736.37 10()223.14(10)1.33 10KTmd p 所以氮气分子的碰撞频率为：2124.54 100.71()6.37 10zs 5-18 目前实验室获得的极限真空约为111.3310Pa，这与距地球表面41.010 km处的压强大致相等。试求在027 C时单位体积中的分子数及分子的平均自由程。（设气体分子的有效直径83.010 cm）分析：由理想气体压强公式pnkT和平均自由程公式求解此题。解：分子数密度为：18/46 1193231.33 103.21 10()1.38 10(27327)pnmkT 分子的平均自由程为：2382102111.38 10(27327)7.8 10()223.14(3.0 10)1.33 10kTmd p 可见分子间几乎不发生碰撞。5-19 一架飞机在地面时机舱中的压力计指示为51.01 10 Pa，到高空后压强为48.11 10 Pa。设大气的温度均为027 C。问此时飞机距地面的高度为多少？（设空气的摩尔质量为212.8910 kg mol1）分析：当温度不变时，大气压强随高度的变化主要由分子数密度的改变而确定，且气体分子在重力场中的分布满足玻耳兹曼分布。利用地球表面附近气压公式可求此题。解：由地球表面附近气压公式0e(/)ppmgh kT 即可得飞机距地面的高度为：00ln(/)ln(/)kTRThppppmgg 54328.31(27327)ln(1.01 10/8.11 10)1.93 10()2.89 109.8m 5-20 一圆柱形杜瓦瓶的内外半径分别为1R=9cm和2R=10cm，瓶中贮有00 C的冰，瓶外周围空气的温度为020 C，求杜瓦瓶两壁间的空气压强降到何值以下时，才能起保温作用？（设空气分子的有效直径为 3-1010 m，壁间空气温度等于冰和周围空气温度的平均值。）分析：先求得杜瓦瓶两壁间的空气温度，再由平均自由程公式和pnkT求得压强。由于当杜瓦瓶没有分子碰撞时，它才能起到保温作用。而杜瓦瓶两壁间分子的平均自由程越大，它起到的保温效果就越好。解：杜瓦瓶两壁间的空气温度为 202730273283()2TK 22122kTn dpd 22kTpd 19/46 即1p，压强越低，分子间平均自由程越大。当2(109)10m时，22kTpd 故杜瓦瓶两壁间空气的最大压强为：23max21021.38 102830.997223.14(3 10)1.0 10aakTpppd 所以，当杜瓦瓶两壁间的空气压强降到0.997ap以下时，才能起保温作用。5-21 真空管的线度为210m，其中真空度为31.3310Pa，设空气分子的有效直径为3-1010 m，求027 C时单位体积内的空气分子数、平均自由程和平均碰撞频率。分析：由理想气体压强公式pnkT求单位体积内的空气分子数，由求平均自由程的定义求平均自由程，再由平均速率的公式和平均碰撞频率的定义求解平均碰撞频率。解：单位体积内空气分子数为：3173231.33 103.21 10()1.38 10(27273)pnmKT 空气分子的平均自由程：23231021.38 10(27273)7.79()22 1.33 10(3 10)KTmp d 7.79m真空管的线度210m，故真空管中分子间很难发生碰撞。空气分子的平均速率2138.31(27273)1.601.604.69 10()29 10RTm sm 空气分子的平均碰撞频率 214.69 1060.2()7.79zs 20/46 图 6-23 习题 6-21 图解 第六章 热力学基础 6-21 一热力学系统由如图 623 所示的状态 a 沿 acb 过程到达状态 b 时，吸收了 560J的热量，对外做了 356J 的功。(1)如果它沿 adb 过程到达状态 b 时，对外做了 220J的功，它吸收了多少热量?(2)当它由状态 b 沿曲线 ba 返回状态 a 时，外界对它做了 282J 的功，它将吸收多少热量？是真吸了热，还是放了热?分析：由于内能是状态函数，与系统所经过的过程无关，acbadbabbEEEE a ，根据热力学第一定律 QEW 就可求此题，其中，吸收热量 Q 取正，放出热量 Q 取负，外界作功 W 取负，系统作功 W 取正，内能增加E取正，内能减小E取负。解：根据热力学第一定律 QEW （1）a 沿 acb 过程达到状态 b，系统的内能变化是：560356204()acbacbacbEQWJ 系统由 a 沿 adb 过程到达状态 b 时204()adbEJ 系统吸收的热量是：204220424()adbabacbQEWJ （2）系统由状态 b 沿曲线 ba 返回状态 a 时，系统的内能变化：204()baabEEJ 204(282)486()bababaQEWJ 即系统放出热量 486J 6-22 64g 氧气（可看成刚性双原子分子理想气体）的温度由 0升至 50，1保持体积不变；(2)保持压强不变。在这两个过程中氧气各吸收了多少热量?各增加了多少内能？对外各做了多少功？分析：（1）在体积不变时，理想气体吸收的热量由热量公式解，其中，刚性双原子分子理想气体.52V mCR，理想气体不做功，理想气体的内能由热力学第一定律求出内能的增量VE。（2）保持压强不变时，理想气体吸收的热量由热量公式求解，其中，刚性双原21/46 子分子理想气体.72p mCR。由于理想气体的内能只是温度的函数，所以pVEE，再由热力学第一定律求出PW。解：（1）体积不变时，3.6458.31(500)2.08 10()322VV mMQCTJ 0VW 由热力学第一定律QEW 得 32.08 10()VVEQJ （2）压强不变时，3.64528.31(500)2.91 10()322pp mMQCTJ 32.08 10()pVEEJ 33(2.912.08)100.83 10()pppWQEJ 6-23 l0g 氦气吸收 103 J 的热量时压强未发生变化，它原来的温度是 300K，最后的温度是多少？分析：保持压强不变时，由理想气体吸收的热量公式可求出2T，其中，刚性单原子分子理想气体.52p mCR。解：由.21215()()2pp mMMQCTTRTT 得3321322 104 10300319()55 8.31 10 10PQTTKRM 6-24 一定量氢气在保持压强为 4.00510Pa 不变的情况下，温度由 00 升高到500时，吸收了 6.0104 J 的热量。(1)求氢气的量是多少摩尔?(2)求氢气内能变化多少?(3)氢气对外做了多少功?(4)如果这氢气的体积保持不变而温度发生同样变化、它该吸收多少热量?分析：（1）保持压强不变时，由理想气体吸收热量的公式可求出氢气的摩尔数，其中，刚性双原子分子理想气体.72p mCR。（2）由内能变化公式求出氢气的内能变化，其中5i。22/46 图 6-24 习题 6-25 图解（3）由热力学第一定律QEW 求出PW。（4）因为理想气体的内能只是温度的函数，所以 VPEE，由热力学第一定律可求出VQ，其中0VW。解：（1）由,22pp miQvCTvR T 得 氢气的量422 6.0 1041.3()(2)(52)8.31 50QmoliR T （2）氢气内能变化为 4541.38.31 504.29 10()22piER TJ （3）44(6.04.29)101.71 10()pppWQEJ（4）44.29 10()VPEEJ 故氢气的体积保持不变而温度发生同样变化时，它吸收的热量为 444.29 1004.29 10()VVVQEWJ 6-25 使一定质量的理想气体的状态按图 6-24 中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的 BC 段是以 P 轴和 V 轴为渐近线的双曲线。（1）已知气体在状态 A 时的温度AT300K，求气体在 B，C 和 D 状态时的温度。（2）从 A 到 D 气体所做的总功是多少？分析：（1）由于 AB、CD 为等压过程，由TV常数可求得 B、D 状态时的温度；BC 为等温过程，CBTT。（2）由 热 力 学 功21VVWpdV和 理 想 气 体 状 态 方 程pVRT可求出各个过程所做的功，然后将各个过程所做功代数和相加就是从 A 到 D 气体所做的总功。解：（1）AB 为等压过程：2030060010BBAAVTTKV（）BC 为等温过程：600,CBTTK（）23/46 CD 为等压过程：2060030010DDCCVTTKV（）（2）21VVWpdV 23()ln()()ln()402(20 10)2 20 ln1(2040)1.01 10202.81 10ABCDABBCCDCABABCDCBCABABBCDCBWWWWVP VVRTP VVVVP VVPVP VVVJ （）6-26 3 mol 氧气在压强为 2atm 时体积为 40L。先将它绝热压缩到一半体积，接着再令它等温膨胀到原体积。(1)求这过程的最大压强和最高温度；(2)求这一过程中氧气吸收的热量、对外做的功以及内能的变化。分析：（1）因为最大压强和最高温度出现在绝热过程的终态，由pV常量，得max2112(/)ppp V V，其中，摩尔热容比1.4；再由pVRT得，22max2p VTTR（2）由于在绝热过程中，氧气吸收的热量为 0，在等温过程中内能的增量为 0，所以根据热力学第一定律QEW 得122lnTTVQWRTV，即这一过程中氧气吸收的热量TQQ。在这一过程中的总功为在绝热过程中所做的功1 1221()1WpVp V绝热与在等温过程中所做的功的代数和。根据热力学第一定律就可求出这一过程中内能的增量。解：（1）1.4max2112(/)2(40/20)5.28ppp V Vatm（）5322max25.28 1.013 1020 104293 8.31p VTTKR（）（2）3122400ln3 8.31 429 ln7.41 1020VQRTJV（）11 122221()ln1VWpVp VRTV总 24/46 图 6-25 习题 6-27 图解 图 6-26 习题 6-28 图解 2140(2405.2820)1.013 103 8.31 429ln1.4120 30.93 10J（）33(7.410.93)106.48 10EQWJ（）6-27 如图 6-25 所示，一定量的理想气体经历 ACB 过程时吸热 200J，则经历 ACBDA过程时吸热又为多少？分析：由图中所知，AABBP VP V 即 A 状态和 B 状态的温度相同，由于理想气体内能变化只与温度变化有关，故ACB 过程中气体的内能变化为零，理想气体经历 ACBDA 过程内能变化也为零。根据热力学第一定律，理想气体经历 ACBDA过程吸收的热量就等于此过程气体所做的总功，而每一过程中气体所做的功用热力学功21VVWpdV求出。解：由图可知，0ACBE 根据QEW 得：200()ACBACBWQJ 在等容过程 BD 中，0BDW 在等压过程 DA 中，53()4 1.0 10(14)1.0101200()DAADWP VVJ 所以 2000(1200)1000()ACBDAACBBDDAWWWWJ 又因为气体经历 ACBDA 过程，0ACBDAE 根据热力学第一定律得 1000()ACBDAACBDAQWJ 即气体经历 ACBDA 过程时放热 1000J。6-28 如图 626 为一循环过程的 TV 图线。该循环的工质是 mo1 的理想气体。其,V mC和均已知且为常量。已知 a 点的温度为1T，体积为1V，b 点的体积为2V，ca 为绝热过程。求：25/46 图 6-27 习题 6-30 图解(1)c 点的温度；(2)循环的效率。分析：（1）c a 为绝热过程，工质吸收的热量为零，由绝热过程方程1VT常量可求出c 点的温度。（2）ab 是等温膨胀过程，工质吸热，其内能的增量为零，故QWTTQ 吸，bc 为等容降温过程，工质放热QVQ放，由循环效率公式即可求出循环效率。解：（1）c 点的温度为：11112rracacVVTTTVV （2）ab 等温过程，工质吸热22111211WlnVVTVVRTVQpdVdVvRTVV吸 bc 为等容过程，工质放热为：11.1.112Q()11rcVV mbcV mV mTVQvCTTvCTvCTTV放 循环过程的效率 1111.1122.2211111111lnlnrrV mV mVVCTTVVQCVVQRRTVV 放吸 6-29 有可能利用表层海水和深层海水的温差来制成热机。已知热带水域表层水温约为25，300m 深处水温为 5。求这两个温度之间工作的卡诺热机的效率多大？分析：由卡诺热机的循环效率公式求解。2T、1T分别是低温和高温热源的热力学温度。解：这两个温度之间工作的卡诺热机的效率：21278116.7%298TT 6-30 1mol 氮气的循环过程如图 627 所示，ab 和 cd 为绝热过程，bc 和 da 为等体过程。求：（1）a，b，c，d 各状态的温度。（2）循环效率。分析：（1）a，b，c，d 各状态的温度由图中给出的数据分别根据理想气体状态方程求出。（2）由于 ab 和 cd为绝热过程，吸收的热量为零，bc 为等容升温过程，氮26/46 图 6-28