定积分中奇偶函数和周期函数处理方法.pdf
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法 The final edition was revised on December 14th,2020.定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法 一、基本方法(一)、奇偶函数和周期函数的性质 在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论 1、若 xf是奇函数（即 xfxf），那么对于任意 的常数 a，在闭区间aa,上，0aadxxf。2、若 xf是偶函数（即 xfxf），那么对于任意的常数a，在闭区间aa,上 aaadxxfdxxf02。3、若 xf为奇函数时，xf在aa,的全体原函数均为偶函数；当 xf为偶函数时，xf只有唯一原函数为奇函数即xdttf0.事实上：设 Cdttfxdxfx0，其中C为任意常数。当 xf为奇函数时，xdttf0为偶函数，任意常数C也是偶函数 xf的全体原函数Cdttfx0为偶函数；当 xf为偶函数时，xdttf0为奇函数，任意常数0C时为偶函数 Cdttfx0既为非奇函数又为非偶函数，xf的原函数只有唯一的一个原函数即xdttf0是奇函数。4、若 xf是以T为周期的函数（即 xfxTf），且在闭区间T,0上连续可积，那么 TaaTTTdxxfdxxfdxxf022。5、若 xf是以T为周期的函数（即 xfxTf），那么xdttf0以T为周期的充要条件是 00Tdttf 事实上：TxTxxTxxdttfdttfdttfdttfdttf0000，由此可得xTxdttfdttf00 Tdttf0。(二)、定积分中奇偶函数的处理方法 1.直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间。2.拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式，则分开积分会简化计算。3.拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以按照如下方法处理：设 xfxfxp ，xfxfxq，则 2xqxpxf，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。(三)、定积分中周期函数的处理方法 对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函数与复合的三角函数的周期），并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周期函数定积分的问题。二、典型例题 例 1 设 xff在aa,上连续可积，证明：(1)若f为奇函数则 0aadxxf(2)若f为偶函数，则 aaadxxfdxxf02。证明：(1)因为 xfxf，而 aaaadxxfdxxfdxxf00 aaaadxxfxdxfdxxfdxxf0000 对前一项中令xt，则 aaaadxxfdxxfdttfxdxf0000 所以 000aaaadxxfdxxfdxxf.(2)因为 xfxf，而 aaaadxxfdxxfdxxf00 aaaadxxfxdxfdxxfdxxf0000，对前一项中 令tx相似的有 aaadxxfdttfxdxf000，所以 aaadxxfdxxf02.例 2 设f在,上连续，且以T 为周期，证 TaaTTTdxxfdxxfdxxf022。证明：由 TaaaTTaTdxxfdxxfdxxfdxxf00，在上式右端最后一个积分中，令tTx则有 000aTaTaadxxfdttfdttTfdxxf，即有 TaaaTaTdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf0000，成立 再证 220TTTdxxfdxxf,因为 TTTTdxxfdxxfdxxf2200对于 TTdxxf2 令Txt 则 TTTTdtTtfdxxf22，因为 xfTxf所以有 0202TTdxxfdtTtf，202220TTTTTTdxxfdxxfdxxfdxxf。例 3 求定积分 dxxxxIcos2411。解：被积函数为偶函数，dxxxxdxxxxI10242411cos2cos 1sin158201sin3151235xxx 例 4 求定积分ndxxI0sin，其中n为自然数。解：注意到xsin是偶函数且以为周期，因此利用性质可以简化计算 nxdxndxxndxxndxxndxxIn2sin2sin2sinsinsin20202200.例 53 计算：20cossinxdxxmn（自然数n或m为奇数）。解：由周期函数积分性质得xdxxxdxxImnmnmncossincossin20,当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故0,mnI 当m为奇数时(设2,1,0,12kkm)时 mnI,0sinsinsin1sin2xRxdxxn 其中 uR为u的某个多项式（不含常数项）因此0,mnI 例 6 求定积分 dxxxxx44231sin。解：因为被积函数是为奇函数，且在对称区间故01sin4423dxxxxx 例 7 求定积分 I=dxxxxx2225242cos。解：I=dxxxxdxxx2225222242cos42，因为2542cosxxx是奇函数，而2242xx是偶函数，所以I=2dxxxxdxxx202222022422042 =28422202dxx 例 8 求定积分 I=dxxx3arctan3604。解：设3 xt则 I=dxxx3arctan3604=tdtt arctan334 因为 xxxfarctan4是奇函数所以0I 例 9 求定积分 I=02cos1sindxxxx。解：令tx2，则dtdx，因为,0 x，所以2,2t，dtttdttttdtttdttttI222022222222sin1cossin1cossin1cos2sin1cos2 4sinarctansinsin11220202ttdt 例 10 求定积分 I=1122231)1ln(dxxxxx。分析：若此题采用常规求法，会发现过程相当复杂，但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出。原函数可以看做一个奇函数f(x)=3)1ln(22xxx和一个偶函数 u(x)=3122xx之和。解：I=1122231)1ln(dxxxxx=11223)1ln(dxxxx+dxxx112231=02 dxxx102231=2dxx102)341(103arctan34 2xx 3942 例 11 求定积分 I=21212)11lncos41(dxxxx。分析：如果此题按照一般解法直接进行求解，那么会发现很繁琐，注意到 xxxf11lncos为奇函数在对称区间上积分为零，因此就可以简化积分，而241x在21,21上积分恰好是以原点为圆心，半径为21的上半圆周面积，s=2)21(21=8 解：I=21212)11lncos41(dxxxx=dxx2121241dxxx212111lncos =dxx2121241 0=2dxx2121241=28=4 例 12 设 xf在aa,0a上连续，证明 dxxfxfdxxfaaa0，并由此计算44sin11dxx。解：若记 xfxfxp，xfxfxq，显而易见 xp为偶函数，xq为奇函数，而且 2xqxpxf.所以有 dxxfxfdxxpdxxqdxxpdxxfaaaaaaaa002121 利用上述公式可得 2tan2sec2cos2sin11sin11sin11404024024440 xxdxdxxdxxxdxx 例 13 求定积分 I=22)1ln(dxexx。分析：此题的积分区间2,2关于原点对称，从这一点性质中我们可以联想到奇偶函数的性质，但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数，我们可以将其凑成奇偶函数。按照上一题的结果我们可以知道 21xfxfxu为奇函数，而 21xfxfxw为偶函数 解：2211ln1ln1ln2121xexexexxfxfxuxxx dxxexdxxxexdxexIxxx222222222211ln21211ln1ln 3821202102222xdxxdxx 例 14 求定积分nndxxxI0sin 其中Nn。分析：被积函数不是周期函数，无法直接用周期函数的定积分性质计算，采用分部积分比较繁琐，可以考虑还原。令txn 则dtdx nnndttntndxxxI00sinsin 0000sinsinsinsindxxnndxxxdttndtttnnn 移向得：202022sinsin2nxdxndxxnIn 所以 2nIn 例 15 求定积分 20sindxxxIn。解：000sinsin2sin2dxxdxxxdxxxIn 4222sincos2sinsin2000 xxxxdxxdxx 例 16 求定积分 02222cossindxxbxadxI 解：注意到被积函数是以为周期的偶函数，因此可用定积分中相应性质简化计算 2022222222202222tantan2cossincossindxxabxddxxbxadxdxxbxadxI abxbaabxbaabxd020202tanarctan2tan1tan2 例 17 求定积分22223cossinxdxxx。解：注意到是对称区间，函数可以应用定积分的奇偶性来计算 dxxxxdxxxdxxxdxxx20222222222322223sin1sin20cossincoscossin8sin2sin2204202xdxxdx 例 18 证 xf是以 T 为周期的周期函数，则 TnTdxxfndxxf00。证明：因为 1010nkTkkTnTdxxfdxxf 故只需证明 TTkkTdxxfdxxf01 由题设可知 kTxfxf 现令kTtx，当kTx 时，0t；当Tkx1时，Tt 且dtdx TTTkkTdttfdtkTtfdxxf001所以有 TnkTnTdxxfndxxfdxx01000 例 19 设 xf是以为周期的周期函数，证明 0202sindxxfxdxxfxx。分析:0202sindxxfxdxxfxx等价于 dxxfxx0sin 022sindxxfxdxxfxx 所以 2sindxxfxx=0sindxxfxx即 02sinsindxxfxxduufuu由题设 xfnxf 可令 xu 证明：20sindxxfxx 2020sinsinsinsinduufuudxxfxxdxxfxxdxxfxx令 xu，则 002sinsinsindxxfxxdxxfxxduufuu 0020sinsinsindxxfxxdxxfxxdxxfxx 02dxxfx 例 20 设函数 xdttxs0cos(1)当 n 为正整数，且1nxn时，证明 122nxsn；(2)求 xxsxlim 证明：(1)因为0cosx，且1nxn，所以 1000coscoscosnxndxxdxxdxx，又因为具有周期，在长度的积分区间上积分值相等：0coscosdxxdxxaa，从而00coscosdxxndxxn nnxdxxdxn211coscos220 同理可得到12cos10ndxxn(2)由(1)有 nnxxsnn1212，当n去极限，由夹逼定理得，2limxxsx 例 21 设函数 xf在,上连续，而且 dttftxxFx02。证明：(1)若 xf为偶函数，则 xF也是偶函数；(2)若 xf单调不减，则 xF单调不减(1)证明：令ut，则 xFduufuxduufuxdttftxxFxxx000222 故 xF为偶函数。(2)由于被积函数连续，所以 xF可导，且 xxfdttfxfxxdttfdtttfdttfxxFxxxx000022 00 xdtxftf，因此 xF在,上单调不减 例 22 设 xf在,上连续，以T 为周期，令 xdttfxF0，求证：(1)xF一定能表成：xkxxF，其中k 为某常数，x是以T 为周期的周期函数；(2)TxxdxxfTdttfx0011lim；(3)若有,0 xxf，n 为自然数，则当TnxnT1时，有 TxTdxxfndttfdxxfn0001。证明:(1)即确定常数k，使得 kxxFx以 T 为周期，由于T 因此，取TdttfTk01，kxxFx，则 x是以T 为周期的周期函数。此时 xxdttfTxFT01(2)xdttfTxdttfTx00.且 x在,上连续并以 T 为周期，于是 x在 x在T,0有界，在,也有界。因此 TxTxxdttfTxxdttfTdttfx00011lim11lim(3)因0 xf，所以当TnxnT1时，ToTnxonTTdttfndttfdttfdttfdttfn11000 例 23 设 xf是,上的连续函数，试运用周期函数性质证明 222220sin2sincosdxxbafdxxbxaf。证明：因为xbaxbxasinsincos22，其中batan，令tx，222202220sinsinsincosdttbafdxxbafdxxbxaf 2222222sinsindttbaftdbaf 令tx2，则0222222sinsindttbafdttbaf，所以左端 2022sindxxbaf，按照周期函数的性质知202332cc 所以 左端=232222222sinsindxxbafdxxbaf，xt，知 dxxbafdxxbaf222223222sinsin 故2222sin2dxxbaf 例 24 设 2sinxxdttxf，证明（1）xfxf；（2）求出 xf的最大最小值。证明：(1)23sinxxdttxf，设 ut，当 xt时，xu；当23 xt时，2 xu，则 xfduudttxfxxxx232sinsin(2)因为右端连续，故 xf可导，xxxfsincos，又 xf为周期函数，故只讨论一个周期内即可，现讨论,0 x 当40 x时，0 xf，当434 x时，0 xf，当 x43时，0 xf 所以当4x时取最大值，2sin4434dttf；当43x时取最大值，2sin434543dttf。参考文献 1曹绳武，王振中，于远许 高等数学重要习题集 大连理工大学出版社 2001 2郝涌，卢士堂 考研数学精解 华中理工大学出版社 1999 3李永乐，李正元 考研复习全书 国家行政出版社 2012 4林益，邵琨，罗德斌等 数学分析习题详解 2005 课程论文成绩考核表 学生姓名 专业班级 题 目 评 审 者 考 核 项 目 评分 指 导 教 师 1 平时态度与遵守纪律的情况（满分 20 分）2 掌握基本理论、专业知识、基本技能的程度和水平（满分 20分）3 抽签答题的正确性（满分 20 分）4 完成任务的情况与水平（按规范化要求）（满分 20 分）5 答辩时讲述的条理性与系统性（满分 20 分）总评成绩 总评成绩等级（优、良、中、及格、不及格）指导教师签字：
