学生宿舍设计方案的评价模型.pdf

1 基于层次分析法的学生宿舍设计方案的评价模型 摘要 本文针对学生宿舍的四种设计方案进行统计分析，分别从经济性、舒适性和安全性三个方面的多项指标进行研究，利用层次分析法建立了线性加权的数学评价模型。对于经济性，我们主要考虑建设成本、运行成本和收费标准三个指标。建设成本通过单位面积的墙体长度来刻画，运行成本通过各种设施的种类和数量来刻画，而收费标准则通过人均建筑面积来刻画。对于舒适性，我们主要考虑人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风四个指标。人均面积通过人均寝室面积来刻画，使用方便通过寝室离盥洗室、开水房等基础设施的平均距离以及卫生间共用指标进行刻画，互不干扰通过盥洗室共用人数指标、卫生间共用人数指标及寝室同住人数指标等来刻画，采光和通风则通过人均阳台面积和人均楼道面积来刻画。对于安全性，我们主要考虑人员疏散和防盗二个指标。人员疏散通过安全疏散宽度及安全疏散距离来刻画，防盗则通过楼层混乱度来刻画。我们对各项指标的数据进行了合理的量化方法进行数据处理。利用层次分析法确定权重。最后就宿舍的经济性、舒适性和安全性三个指标分别建立评价模型及综合评价模型。通过计算，我们得到以下结论：经济性方面 方案一方案二方案四方案三 舒适性方面 方案二方案四方案三方案一 安全性方面 方案二方案四方案三方案一 综合 方案二方案四方案三方案一 关键词：层次分析法 线性加权 人均 2 一、问题的重述与分析 1.1、问题的重述 学生宿舍事关学生在校期间的生活品质,直接或间接地影响到学生的生活、学习和健康成长。学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理,同时要考虑成本和收费的平衡,这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。经济性：建设成本、运行成本和收费标准等。舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等。安全性：人员疏散和防盗等。要求我们用数学建模的方法对四种学生宿舍的设计方案就它们的经济性、舒适性和安全性等方面作出综合量化评价和比较。1.2、问题的分析 在经济性方面，我们主要考虑建设成本、运行成本和收费标准三个指标。建设成本通过单位面积的墙体长度来刻画。运行成本通过各种设施的种类和数量来刻画。而收费标准则通过人均建筑面积来刻画。事实上若墙体长度越长，那么会使得建筑成本增加；在设施的种类和数量繁多的情况下，宿舍的运行成本也会相应地增加；而在人均建筑面积越小的情况下，相对而言宿舍的收费标准也会适当的下降。我们对数据进行了合理的量化并运用规范化等方法进行处理。在舒适性方面，我们主要考虑人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风四个指标。人均面积通过人均寝室面积来刻画。使用方便通过寝室离盥洗室、开水房等基础设施的平均距离以及卫生间共用指标进行刻画。互不干扰通过盥洗室共用人数指标、卫生间共用人数指标及寝室同住人数指标等来刻画。采光和通风则通过人均阳台面积和人均楼道面积来刻画。我们对数据进行了合理的量化并运用规范化、偏大型柯西分布隶属度函数等方法进行处理。在安全性方面，我们主要考虑人员疏散和防盗二个指标。人员疏散通过安全疏散宽度及安全疏散距离来刻画。防盗则通过楼层混乱度来刻画。我们同样对数据进行了合理的量化并运用规范化等方法进行处理。最后，我们对这三方面分别建立了线性加权评价模型及综合线性加权评价模型。权重的处理上则采用层次分析法。二、问题的假设与变量说明 2.1、问题的假设 1）假设四种学生宿舍的设计方案中所运用到的材料、价格和设备标准相同。2）假设不考虑城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平的差异。3）假设所有指标是站在学生的立场定的。2.2、变量说明 1）ijw表示第i方面第j个指标的权重；2）ijc表示第i方面第j个指标的量化值；3 3）ijc表示对应ijc的规范化值；4）表示层次分析法中B层元素相对于A层的权向量值，且i表示的第i个分量；5）i表示层次分析法中C层元素相对于B层各元素的权向量值，且 ji表示i的第j个分量；6）Y表示宿舍设计方案的综合评价指标；7）1Y表示宿舍设计方案的经济性评价指标；8）2Y表示宿舍设计方案的舒适性评价指标；9）3Y表示宿舍设计方案的安全性评价指标；三、模型的建立和求解 3.1、学生宿舍设计方案评价指标体系的构建 学生宿舍设计方案评价指标体系包括三个方面，即经济性、舒适性及安全性。其中，经济性包括建设成本、运行成本和收费标准三个指标；舒适性包括人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等四个指标；而安全性则包括人员疏散和防盗二个指标。根据上述评价指标体系及层次分析法的原理，我们建立如下递阶层次结构图。图（1）学生宿舍设计方案评价 A 经济性 1B 舒适性 2B 安全性 3B 建设成本 11C 运行成本 12C 收费标准 11C 人均面积 21C 使用方便 22C 采光通风 24C 人员疏散 31C防 盗32C互不干扰23C 4 3.2、权重的确立 3.2.1、成对比较判断矩阵的建立 以B层（准则层）元素1B,2B,3B 针对A层（目标层）两两比较并按重要程度评定等级建立判断矩阵。以C层（具体指标层）元素11C、12C、13C、21C、22C、23C、24C、31C、32C针对B层各指标两两比较并按重要程度评定等级建立判断矩阵。在对同层元素两两比较以确定相对重要性时，用 1 至 9 标度来衡量元素之间的相对重要性，建立矩阵如下所示：A=1322123131231 1B=1322123131231 2B=1213221214323233413232311 121213B 3.2.2、权重的计算及一次性检验 通过软件 Matlab 的内部函数进行计算（具体程序见附录），我们得到矩阵A的 最 大 特 征 值 为0092.3A以 及B层 元 素 相 对 于A层 的 权 向 量 值 为t2970.0,5396.0,1634.0。同理，通过上述方法可分别算出矩阵1B、2B和3B 的最大特征值以及C层元素相对于B层各元素的权向量值：0735.31B，t3408.0,2402.0,4190.01；1664.42B，t1534.0,2778.0,3741.0,1947.02；00.23B，t3333.0,6667.03。在建立两两对比矩阵时，由于不同评价者在价值取向、评价方法和对重要性等级赋值的非等比性等原因，可能会出现不协调和相互矛盾的情况，因此，要知道计算得出的权向量值是否科学合理，必须通过一致性检验。5 Saaty 将1maxnaCI(式中n为判断矩阵的阶数)定义为一致性指标，若值越大，则不一致性越严重，并取一致性指标（CI）对随机一致性指标（RI）的比一致性比率（CR）作为一致性检验判别式，RICICR。如果CR0.1，检验通过，否则需对判断矩阵进行调整，重新计算，直到通过计算使CR在规定的容许范围之内。我们通过计算得到：1.00079.0ACR，1.00633.01BCR,1.00617.02BCR,1.003BCR。说明以上权重值是可以接受的。接下来我们来计算第i方面第j个指标的权重ijw，具体计算公式为：jiwiij，其中i表示权向量的第i个分量，ji表示权向量i的第j个分量。具体结果见下表。具体指标层（C层）在目标层（A层）中的权重,即ijw A ijC 1B 2B 3B ijw 0.1634 0.5369 0.2970 11C 0.41900.1634 0.0684 12C 0.24020.1634 0.0392 13C 0.34080.1634 0.0393 21C 0.19470.5369 0.1045 22C 0.37410.5369 0.2009 23C 0.27780.5369 0.1492 24C 0.15340.5369 0.0824 31C 0.66670.2970 0.1980 32C 0.33330.2970 0.0990 表（1）3.3、评价指标的刻画、数据量化及数据处理 3.3.1、经济性方面 经济性方面我们主要考虑建设成本、运行成本和收费标准三个指标。我们分 6 别对这三个指标进行了刻画、数据量化及数据处理。1）建设成本 我们从平面形状对建筑成本的影响的角度分析，一般说来，在相同的建筑面积条件下，建筑物的外形越简单，外墙长度就越短，单位造价也就越低；相反，建筑平面外形复杂而且不规则，则外墙周长和建筑面积之间的比例必将增加，这将引起单位造价的提高。所以我们用单位面积的墙体长度来刻画建设成本这个指标，由于建设成本越小越好，为了统一指标我们用其倒数表示，通过计算整理得到下表。11c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 单位面积的墙体长度11c 0.355m 0.318m 0.357m 0.341m 单位面积的墙体长度的倒数111c 2.817 3.145 2.801 4.695 表（2）为了便于做统一的比较，我们用规范化方法分别对相应的指标值作规范化处理：4111111111icicic 4.3.2.1i。11c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 单位面积的墙体长度11c 0.209 0.234 0.208 0.349 表（3）2）运行成本 一般情况宿舍的运营成本包括清洁支出、日常维护和垃圾处理等方面。所以我们以设备的种类数量的多少来评估运行成本的数目，即设备越多，其宿舍楼的清洁支出、日常维护和垃圾处理等状况出现的概率就会越大，反之则越小，为了统一指标我们用其倒数表示。12c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 设备种类数量12c 3 种 7 种 5 种 4 种 设备种类数量倒数121c 31 71 51 41 表（4）7 为了便于做统一的比较，我们用规范化方法分别对相应的指标值作规范化处理：4112121211icicic 4.3.2.1i。121c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 设备种类数量121c 0.359 0.154 0.216 0.270 表（5）3）收费标准 影响宿舍收费标准的因素为有无室内卫生间，有无书桌、微机桌、衣柜、电话、电扇等设备。但最主要的因素是宿舍的人均建筑面积。所以我们选用人均建筑面积刻画收费标准这个指标。由于收费标准越小越好，为了统一指标我们用其倒数表示:13c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人均建筑面积13c 4.768人2m 12.090人2m 9.776人2m 14.293人2m 人均建筑面积的131c 0.2097 0.0827 0.1023 0.0700 表（6）为了便于做统一的比较，我们用规范化方法分别对相应的指标值作规范化处理：41131313icicic 4.3.2.1i。13c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人均建筑面积13c 0.4513 0.178 0.2201 0.1506 表（7）8 3.2.2、舒适性指标 舒适性方面我们主要考虑人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风四个指标。我们对这四个指标进行了刻画、数据量化及数据处理。1）人均面积 我们定义人均面积为人均寝室面积，即寝室面积和人数的比。通过计算整理得如下表。21c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人均面积21c 3.19人2m 6.25人2m 4.48人2m 5.45人2m 表（8）为了便于做统一的比较，我们用规范化方法分别对相应的指标值作规范化处理：41212121icicic 4.3.2.1i。21c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人均面积21c 0.1647 0.3227 0.2313 0.2814 表（9）2）使用方便 我们把使用方便这个因素转化成最远的寝室离盥洗室、开水房等基础设施的距离以及卫生间共用指标，并对其做量化处理。22332222221122chchchc 其中，1321hhh且31321hhh；22c表示使用方便指标数值；221c表示最远寝室离盥洗室的距离指标，222c表示卫生间合用状况指标，223c表示最远寝室离开水房的距离指标，根据各指标以及设计图的上的数据资料，通过计算整理得下表。方案 指标类别 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 离盥洗室最大距离 27.2m 64.8m 54.8m 6.6m 卫生间共用情况 所有人共用 一寝室共用 两寝室共用 一寝室共用 9 离开水房最大距离 无开水房（设为 0）72m 54.8m 无开水房（设为 0）表（10）对所确定的主要影响因素进行量化处理,从而给出影响因素的量化值,不妨设卫生间共用情况集合为 一寝室共用 两寝室共用 所有人共用,对应的 5,3,1。代入计算可得：方案 卫生间 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 卫生间222c 0.0714 0.3571 0.2143 0.3571 表（11）同理可得：方案 开水房 A 方案 B 方案 C 方案 D 方案 开水房223c 0 0.4322 0.5678 0 表（12）由于离盥洗室距离越小越好，为了统一指标我们用其倒数表示 方案 指标类别 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 离盥洗室最大距离的倒数221y 0.037 0.015 0.018 0.152 表（13）为了便于做统一的比较，我们用规范化方法分别对相应的指标值作规范化处理：41221221221iyiyic 4.3.2.1i 方案 盥洗室 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 盥洗室221c 0.1667 0.0676 0.0811 0.6847 表（14）通过计算我们可得使用方便指标22c，如下表所示：22c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 使用方便指标22c 0.2381 0.8569 0.8632 1.0418 表（15）10 为了便于做统一的比较，我们用规范化方法分别对相应的指标值作了处理：方案 22c 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 使用方便指标22c 0.0794 0.2856 0.2877 0.3473 表（16）3）互不干扰 学生的宿舍是日常学习生活的重要场所，更是学校社会主义精神文明的重要窗口和阵地。在一天的紧张学习后，正要回到温馨的小天地里小憩一番，却被人打扰，这样便会使得学生们得不到最好的休息，不但会造成学习效率的下降，也会影响到学生的情绪，所以我们以同住人数和共用设施作为参照指标对其进行量化处理。23332322231123cqcqcqc 其中，1321qqq且31121qqq 23c表示互不干扰指标数值；231c表示每个盥洗室共用人数指标；232c表示每个卫生间共用人数指标；233c表示每个寝室同住人数指标；根据各指标以及设计图的上的数据资料，通过计算整理得下表（17）方案 指标类别 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 盥洗室共用人数 184个人 110个人 114个人 6个人 盥洗室共用人数倒数 1841 1101 1141 61 卫生间共用人数 184个人 4个人 12个人 6个人 卫生间共用人数倒数 1841 41 121 61 寝室同住人数 8寝室人/4寝室人/6寝室人/6寝室人/寝室同住人数倒数 81 41 61 61 表（17）11 为了便于做统一的比较，我们用规范化方法分别对相应的指标值作规范化处理：4123232311iyiyic 4.3.2.1i 方案 指标类别 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 盥洗室共用人数231c 0.0286 0.0478 0.0462 0.8774 卫生间共用人数232c 0.0108 0.4946 0.1649 0.3297 寝室同住人数233c 0.1765 0.3529 0.2353 0.2353 表（18）由此我们可得互相干扰指标23c，如下表所示：23c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 互相干扰指标23c 0.2169 0.8953 0.4464 1.4424 表（19）为了便于做统一的比较，我们用规范化方法分别对相应的指标值作规范化处理：23c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 互相干扰指标23c 0.0723 0.2983 0.1488 0.4806 表（20）4）采光和通风 针对宿舍采光和通风问题，我们从人均阳台面积与人均楼道面积两方面进行考虑，若人均阳台面积和人均楼道面积的数值越大，那么该宿舍楼的采光以及通风的性能比较好。2422241124cpcpc 其中121 pp，5.021 pp;12 24c表示采光和通风指标数值；241c表示人均阳台面积指标数值；242c表示人均楼道面指标数值；方案 指标类别 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人均阳台面积 0.55人2m 0.36人2m 0.78人2m 0人2m 人均楼道面 0.754人2m 0.852人2m 1.834人2m 3.433人2m 表（21）为了便于做统一的比较，我们用规范化方法分别对相应的指标值作规范化处理：41242424iyiyic 4.3.2.1i 方案 指标类别 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人均阳台面积241c 0.3254 0.213 0.4615 0 人均楼道面242c 0.1097 0.124 0.2668 0.4995 表（22）由此我们可得采光和通风的指标24c，如下表所示：方案 24c 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 采光和通风24c 0.4351 0.337 0.7283 0.4995 表（23）为了便于做统一的比较，我们用规范化方法分别对相应的指标值作规范化处理：方案 24c 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 13 采光和通风24c 0.2175 0.1685 0.3641 0.2498 表（24）3.3.3、安全性指标 安全性方面我们主要考虑人员疏散情况和防盗二个指标。我们对这二个指标进行了刻画、数据量化及数据处理。1）人员疏散 人员疏散的主要问题在于安全疏散距离过长，避难人员不能在安全时间内逃离火场。安全疏散通道宽度设置过窄，火灾时人员会大量拥挤在疏散门口和楼梯口处，给人员生命造成严重威胁。所以我们选用安全疏散宽度，安全疏散距离等指标对人员疏散情况进行评价。考虑实际情况和便于处理我们以楼道使用率（即楼道宽度和楼梯数量与住宿人数之比）和最远的寝室到达楼梯的距离进行量化。221131cncnc 其中121 nn，1n=0.75 31c表示人员疏散指标数值；1c表示楼道使用率指标数值；2c表示最远的寝室到达楼梯的距离指标数值；根据各指标以及设计图的上的数据资料，我们计算整理 方案 指标类别 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 楼道使用率 0.026 0.029 0.052 0.091 到达楼梯的距离 17m 28.8m 27.9m 30.15m 表（25）其中到达楼梯的距离是越小越好的，为了统一指标，我们以到达楼梯的距离的倒数计算，到达楼梯的距离倒数值如下表所示：311y 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 14 到达楼梯的距离倒数311y 0.059 0.035 0.036 0.033 表（26）为了便于做统一的比较，我们用规范化方法分别对相应的指标值作规范化处理：41313131iyiyic 4.3.2.1i 方案 指标类别 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 楼道使用率的倒数311c 0.1313 0.1465 0.2626 0.4596 到达楼梯的距离312c 0.362 0.214 0.2209 0.2025 表（27）由上我们可得人员疏散指标31c，如下表所示：31c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人员疏散31c 0.4933 0.3605 0.4836 0.6621 表（28）为了便于做统一的比较，我们用规范化方法分别对相应的指标值作规范化处理：31c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人员疏散31c 0.2467 0.1803 0.2419 0.3311 表（29）2）防盗因素 对于防盗因素，我们建立楼层混乱度（通道面积与人数的比值）因为人越多越复杂，同用通道越多也会越复杂，所以我们以此来评价防盗因素。15 32c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 楼层混乱度倒数32c 1.1364 4.3478 3.2258 5.5556 表（30）为了便于做统一的比较，我们用规范化方法分别对相应的指标值作规范化处理：41323232icicic 4.3.2.1i 32c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 楼层混乱度32c 0.0797 0.3048 0.2261 0.3894 表（31）最后,将各个具体指标用规范化方法得到的结果放在同一张表中，如下表所示：方案 具体指标 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 建筑成本11c 0.209 0.234 0.208 0.349 运行成本12c 0.359 0.154 0.216 0.270 收费标准13c 0.4513 0.178 0.2201 0.1506 人均面积21c 0.1647 0.3227 0.2313 0.2814 使用方便22c 0.0794 0.2856 0.2877 0.3473 互相干扰23c 0.0723 0.2983 0.1488 0.4806 采光通风24c 0.2175 0.1685 0.3641 0.2498 人员疏散31c 0.2467 0.1803 0.2419 0.3311 16 防 盗32c 0.0797 0.3048 0.2261 0.3894 表（32）3.4、综合评价模型的建立 通过以上权重的确定以及具体指标的量化和数据处理，我们建立如下线性加权模型：模型一：综合评价模型 jiijijwcY 即:323231312424232322222121131312121111wcwcwcwcwcwcwcwcwcY 其中ijc表示第i方面第j个指标的量化值的规范化值，ijw表示第i方面第j个指标的权重；模型二：经济性评价模型 1Yicii1311 即：1Y1111c 2112c 3113c。其中i1表示1的第i个分量，且1表示前面层次分析法中C层元素相对于1B层元素的权向量值。模型三：舒适性评价模型 2Yicii2412 即：2Y1221c 2222c 3223c 4224c。其中i2表示2的第i个分量，且2表示前面层次分析法中C层元素相对于2B层元素的权向量值。模型四：安全性评价模型 3Yicii3213 即：3Y1331c 2332c。其中i3表示3的第i个分量，且3表示前面层次分析法中C层元素相对 17 于3B层元素的权向量值。通过计算我们得到如下结果（数据越大越好）：方案 指标 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 经济性指标 0.556 0.44 0.13 0.30 舒适性指标 0.23 0.75 0.40 0.61 安全性指标 0.33 0.915 0.42 0.66 总指标 0.1505 0.816 0.3567 0.574 表（33）通过如上表格，我们能够很清晰地看出四种设计方案在经济性、舒适性、安全性以及综合性等方面中的优劣情况。从我们计算的结果来看：在经济性方面，方案一最好，方案二第二，方案四第三，方案三最差。在舒适性方面，方案二最好，方案四第二，方案三第三，方案一最差。在安全性方面，方案二最好，方案四第二，方案三第三，方案一最差。综合三方面因素来看，方案二最好，方案四第二，方案三第三，方案一最差。四、模型的评价和推广 4.1 模型的评价 优点 1)本文利用层次分析法建立线性加权模型，结构清楚、思路清晰、模型通俗易懂。2)对各种具体指标做了全面地分析量化，使得模型具有很强的普遍性和实用性，可以用来求解同一类问题。缺点 1）对于一些具有相关性的指标处理得不是太妥当；数据提取、转换存在一定的误差。2）为了建模的需要和问题解决的方便，在建模过程中我们做的某些假设可能与事实不太相符，存在一定的误差。另外，该模型的变量较多，操作起来比较繁琐。4.2 模型的推广 对于权重的取值，除了考虑宿舍的设计与三大主要因素的关系之外，还可以考虑更多方面的影响因素，这样根据不同要求可以更好地增加校方的满意度。此外，我们应该尝试实现数据的自动化处理；做大量的调查，获取数据对自定义的各种系数进行修正，使其更好的反映宿舍方案中的各项指标。五、参考文献 1姜启源、谢金星、叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003.2戴明强，数学模型及其应用，北京：科学出版社，2007 年.3赵焕臣，许树柏，金生.层次分析法一种简单的新决策方法M.北京：科学出版社，1986 年 18 4徐萃微计算方法引论【M】北京：高等教育出版社，2003.5朱仁峰，精通 Matlab7，北京：清华大学出版社，2006 年.