微积分习题讲解与答案.pdf
.习题 8.1 1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程：(1)02)(2xyyyyx (2)02yyxyx (3)0)(sin42 yxyyx (4)2sindd pp 解(1)1 阶 非线性 (2)1 阶 线性 (3)3 阶 线性 (4)1 阶 线性 2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1)xxyxyyxsin,cos (2)2212,2)1(xCyxxyyx(C 为任意常数)(3)xCeyyyy,02(C 为任意常数)(4)xxeCeCyyyy21212121,0)(C1,C2为任意常数)(5)Cyxyxyxyyx22,2)2(C 为任意常数)(6)ln(,02)(2xyyyyyyxyxxy 解(1)是，左=xxxxxxxxcossinsincos2=右 (2)是，左=xxCxxCxx2)12(1)1(222=右 (3)是，左=02xxxCeCeCe=右 (4)是，左=0)()()(2121212121221121222211xxxxxxeCeCeCeCeCeC=右 (5)是，左=yxyxyxyx222)2(右 (6)是，左=xxyyxxyyyxxyyxxxyxyxyxyxxy2)()(22)(22332.=0)()(2()()(222222232xxyxxyyyxxyxyxxyxyxyxy =右 3.求下列微分方程的解 (1)2ddxy;(2)xxycosdd22;(3)0d)1(d)1(yyxy (4)yxxyy)1()1(22 解(1)Cxyxy2,d2d (2)1sin,dcosdCxyxxxy 211cos,d)(sindCxCxyxCxxy (3)xyyydd11 xyyydd12)1(解得 xyyydd12d 即 Cxyy|1|ln2 (4)dxxxdyyy)1(122 解得 2122)1ln()1ln(Cxy 整理得 22211Cxy 4.已知曲线)(xfy 经过原点，并且它在点),(yx处的切线的斜率等于22x，试求这条曲线的方程。解 已知 22xy 解得 Cxy332 又知曲线过原点，得0C 所求曲线方程为332xy .习题 8.2 1.用分离变量法求下列微分方程的解 (1)yxy4 (2)0lnyyyx (3)yxy10 (4)0dtansecdtansec22yxyxyx (5)1|,0d1d10 xyyxyxyx (6)0|,02xyxyey 解(1)xxddyy41 解得 22)(Cxy (2)xdxyydyln 解得 Cxey (3)dxdyxy1010 解得 Cxy1010 即 Cyx1010 (4)dxxxdyyytansectansec22 解得 1|tan|ln|tan|lnCxy 整理得 Cyxtantan (5)dxxxdyyy)1()1(解得 Cxxyy323231213121 由于 1|0 xy，解得 65C 则 65312131213232xxyy (6)dxedyexy2 解得 Ceexy221 由于 0|0 xy 则 23C 原方程解为 xyee232 2.求下列齐次方程的解 (1)xyyyxln (2)yxyxxydd (3)022xyyyx (4)xxxyyyxd)(d222.(5)dxdyxydxdyxy22 (6)1|,0)2(12xyyyyxx 解(1)令xyu，代入方程得 uuxuxulndd 分离变量得 xxuuud)1(lnd 两边积分得 1|ln|1ln|lnCxu 整理得|1ln|2xCu 将xyu 回代，即得原方程通解 Cxxy1ln(2)原式可化为 xyxyxy11dd 令xyu，代入方程得 uuxuxu11dd 分离变量得 xxuuud1)d-(12 两边积分得 将xyu 回代，即得原方程通解 12|ln)1ln(21arctanCxuu.Cxxyxy222ln)1ln(arctan2 整理得 Cyxxy)ln(arctan222(3)原式可化为 1dd2xyxyxy 令xyu，代入方程得 1dd2uxux 分离变量得 xxuud1d2 两边积分得 12|ln|1|lnCxuu 即|1|2xCuu 将xyu 回代，即得原方程通解 Cxxyxy12(4)原式可化为 1dd2xyxyxy 令xyu，代入方程得 1dd2uuxuxu 分离变量得 xxuuud12d2 两边积分得.1|ln11Cxu 即 uCex11 将xyu 回代，即得原方程通解 yxxCex(5)10)(22222xyxyxxyydxdydxdyxyxy 令 1,2uudxduxuuxy则 0)1(duuxudx 11Cxdxduuu 1|lnCuxu xyuuCceyceexu,1(6)原式可化为 xyxyxyxyxy212dd222 令xyu，代入方程得 uuxuxu21dd2 分离变量得 xxuuuud)d2(12 两边积分得 12|lnlnCxuu 即 xCuu2.将xyu 回代，即得原方程通解 Cxxyy2 将1|1xy代入得 C=2 于是，特解为 xxyy22 习题 8.3 1.求下列微分方程的通解 (1)xeyy (2)232xxyyx (3)2242)1(xxyyx (4)1212yxxy (5)0d)ln(dlnyyxxyy (6)yyyx2)2(2 解(1)这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程 0dd yxy 的通解。分离变量得 xyydd 两端同时积分，得 1|lnCxy 得通解为 xCey 用常数变易法，把 C 换成 C(x)，即 xexCy)(两边微分，得 xxexCexCxy)()(dd 代入原方程，得 1)(xC.两端同时积分，得 CxxC)(故所求微分方程通解为 xeCxy 其中 C 为任意常数。(2)xxxQxxP23)(,1)(则 CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(CxxxxCxxxeCxexxexxxxx223311d)23(d23232|lnd1d1 或：这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程 0ddxyxy 的通解。分离变量得 xxyydd 两端同时积分，得 1|ln|lnCxy 得通解为 xCy 用常数变易法，把 C 换成 C(x)，即 xxCy)(两边微分，得 2)()(ddxxCxxCxy 代入原方程，得.23)(2xxxC 两端同时积分，得 CxxxxC22331)(23 故所求微分方程通解为 xCxxxy2233123 其中 C 为任意常数。(3)14)(,12)(222xxxQxxxP 则 CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(CxxCxxeCxexxexxxxxxx322)1ln(d1222d123411d4d14222(4)1)(,21)(2xQxxxP 则 CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(xxxxxxxxxxxxxxxxxCexCeexCxeexCxexexCxeeCxee1211211212121ln1lnd21d2111dd1dd2222(5)原式可化为 yyyxyx1lndd yyQyyyP1)(,ln1)(则 CyeyQexyyPyyPd)(d)(d)(.CyyCyyyyCyeyeCyeyeyyyyyyyy2|ln|ln|ln|lndln1dln1ln21ln1dln1ln1d1d1(6)原式可化为 2ddyyxyx 2)(,1)(yyQyyP 则 CyeyQexyyPyyPd)(d)(d)(CyyCyyyyCyeyeCyeyeyyyyyy21d|12|d2d2|ln|lnd1d1 2.某种商品的消费量 X 随收入 I 的变化满足方程 IaeXdIdX （a 是常数）当0I时，0XX，求函数)(IXX 的表达式。解原式可化为 IaeXIXdd IaeIQIP)(,1)(则 CIeIQeXIIPIIPd)(d)(d)(CaIeCIaeCIeaeeIIIIIdd1d1d 又当0I时，0XX，得 0XC 则原方程解为 0XaIeXI 习题 8.4 1.某商品的需求函数与供给函数分别为 dPcQbPaQsd,(其中 a,b,c,d,均为正常数)假设商品价格 P 是时间 t 的函数，已知初始价格0)0(PP，且在任一时刻 t，价格 P(t)的.变化率与这一时刻的超额需求sdQQ 成正比（比例常数为 k0）(1)求供需相等时的价格eP（均衡价格）（2）求价格 P(t)的表达式（3）分析价格 P(t)随时间的变化情况 解（1）当sdQQ时，即 dPcbPa，得dbcaPPe （2）由于)()()(dddPcbPakQQktPsd，即)()(ddcakPdbktP 方程通解为 tdbketdbkCePCedbcaP)()(已知价格0)0(PP，代入得 ePPC0，于是 tdbkeeePPPtP)(0)()(（3）由于 etdbkeettPePPPtP)(lim)(lim)(0 2.已知某种商品的需求价格弹性为1peQp，其中 p 为价格，Q 为需求量，且当p=1 时，需求量 Q=1，试求需求函数关系。解 设需求关系式为)(pQQ，则由题设知 1)()()(pepQppQpQp 即 ppepQppQ)(1)(此微分方程通解为.CeppCpeeepQpppppp)1(1d)(d1d1 将 Q(1)=1 代入，得 C=1，故所求需求函数为 pepppQp11)(3.设某厂生产某种产品，随产量的增加，其总成本的增长率正比于产量与常数 2 之和，反比于总成本，当产量为 0 时，成本为 1，求总成本函数。解 设产量为 x，总成本为 C，比例系数为 1，则依题意有 1|2dd0 xyyxxy 解此微分方程，得 Cxy22)2(把初始条件1|0 xy代入解得3C 于是总成本函数为 3)2(22 xy 4.在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入 y，国民储蓄 S 和投资 I 均是时间 t 的函数，且储蓄额 S 是国民收入的101，投资额为国民收入增长率的31。若当 t=0 时，国民收入为 5 亿元，试求国民收入函数（假定在时间 t 的储蓄额全部用于投资）解 依题意得 tyIySdd31,101 因为储蓄额全部用于投资，故有 IS 即国民收入函数应满足方程 yty101dd31 解得tCey103 将初始条件5|0ty代入上式，得5C 于是tey1035 习题 8.5.1、求下列微分方程通解 (1)2 y (2)xysin (3)0)(2 yy (4)02)1(2 yxyx 解(1)12d2Cxxy 2121d)2(CxCxxCxy (2)1cosdsinCxxxy 211sind)cos(CxCxxCxy(3)令pypy,，原方程降阶为 0dd2 pxp 分离变量得 xppdd2 两边积分得 11Cxp xCp11 即 xCy11 所以 211|lnd1CxCxxCy(4)令pypy,，原方程降阶为 012dd2pxxxp 分离变量得 xxxppd12d2 两边积分得 Cxp)1ln(|ln2.)1(21xCp 即)1(21xCy 所以 23121311)d(CxxCxxCy 2 求解初值问题(1)1)3(,1)3(232yyyy.(2)0)0(,0)0()1ln()1(yyxyyx 解(1)设py，则yppydd，代入原方程，得 223ddyypp 分离变量得 yyppd23d2 积分得 Cyp32，即 Cyy32 由 1)3(,1)3(yy 得 0C 则 23yy，由0 y知y单调增加，于是23yy 再积分一次，可得通解 1212Cxy 由 1)3(y 得 51C 即 252xy(2)令pypy 则,原方程化为 )1ln()1(xppx.1)1ln(11xxpxp 属于一阶线性方程 111111)1ln(Cdxexxepdxxdxx 1)1ln()1ln(1111xxCxCdxxx 由0)0(y得 01C 21)1ln(Cdxxxxy 2)1ln(2)1ln()1(Cxxxx 又由 0)0(y 得 02C 初值问题的解为)1ln(2)1ln()1(xxxxy 习题 8.6 1.求下列方程通解 (1)032 yyy (2)0127 yyy(3)096 yyy (4)0 yyy 解(1)032 yyy 解 特征方程为 0322 解得两个不同实根1,321，所求方程的通解为 xxeCeCy231 其中21,CC是任意常数 (2)0127 yyy 解 特征方程为 01272 解得两个不同实根4,321，所求方程的通解为 xxeCeCy4231.其中21,CC是任意常数(3)096 yyy 解 特征方程为 0962 其特征根321为二重实根，所求方程通解为 xexCCy321)(其中21,CC是任意常数(4)0 yyy 解 特征方程为 012 解得两个共轭虚根ii2321,232121，所求方程通解为 xexCxCy2121)23sin23cos(其中21,CC是任意常数 2.求方程032 yyy满足初始条件1|,1|00 xxyy的特解 解 特征方程为 0322 解得两个共轭虚根ii21,2121，所求方程通解为 xexCxCy)2sin2cos(21 由初始条件1|,1|00 xxyy得11C 又由)2cos22sin()2sin22(cos )2sin()2cos(22xxeCxxexeCxeyxxxx 由1|0 xy，得22C 于是满足初始条件的特解为.xexxy)2sin22(cos 3.求微分方程1332 xyyy的一个特解 解 xexxxf0)13(13)(，其中0,1n不是特征方程0322的根，得 baxy 为所给方程的一个特解，直接将y代入原方程，得 13323xbaax 比较系数得 13233baa 解得31,1ba 所以31xy即为所求特解 4.求微分方程xxeyyy122 的通解 解 xxexf12)(，其中1,1n对应的齐次方程为 02 yyy 特征方程0322有二重特征根1 齐次方程通解为 xxxeCeCy21 由于1是重特征根，所以设非齐次方程特解为 xebaxxy)(2 直接将y代入原方程，得 xxxeeaxb12)62(比较系数得 02126ba.解得0,2ba，因此xexy32为所给方程的一个特解，从而所求方程通解为 xxxexxeCeCy3212 其中21,CC是任意常数 5.求方程xyyy2cos44 的通解 解 对应齐次方程为 044 yyy 它的特征方程0442有重根 221 故对应齐次方程的通解为)(212xCCeyx 由于i 20不是特征根，因此设所给方程的特解为 xbxay2cos2sin 代入原方程得 xxaxb2cos2cos82sin8 比较系数得 1808ab 解得0,81ba，因此xy2sin81为所给方程的一个特解，从而通解为 xxCCeyx2sin81)(212 习题 8.7 1.设某种产品就要推向市场，t 时刻的销量为 x(t)，由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，t 时刻产品销售的增长率txdd与 x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量 N，统计表明txdd与尚未购买该产品的潜在顾客的数量 N-x(t)也成正比，试给出 x(t)的方程，并求销量达到多少时最为畅销。解.)(ddxNkxtx 其中 k 为比例系数，分离变量积分，可得 kNtCeNtx1)(由 22)1(ddkNtkNtCekeCNtx 以及 22322)1()1(ddkNtkNtkNtCeCeekCNtx 当Ntx)(时，有0ddtx，即销量)(tx单调增加；当2)(Ntx时，0dd22tx；当2)(Ntx时，0dd22tx；当2)(Ntx时，0dd22tx；即当销量达到最大需求量 N 的一半时，产品最为畅销，当销量不足 N 的一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减少。2、某商品的价格由供求关系决定，若供给量S与需求量Q均是价格P的线性函数：PQPS4,31 若价格P是时间 t(年)的函数，且已知在时刻 t 时，价格P的变化率与过剩需求SQ 成正比，比例系数为 2，试求价格P与时间 t(年)的函数关系，且已知初始价格20P元，问当3.0t年时价格应为多少？解 依题意，得)45(2)(2ddPSQtP 解得 tCeP845 由已知20P，代入得43C.于是teP84345 则当3.0t时，32.1)3.0(P 习题 8.8 1、计算下列各题的差分（1）nnnnfy3)(2 （2）)1()2)(1(mnnnnyn 解(1)362(333)1(2212nnnnynnnn (2)1()2)(1(mnnnnyn 解)1()2)(1()2()1()1(mnnnnmnnnnyn)2()1()1()1)(2()1(mnnmnmnnmnnn 2、求下列差分方程的通解（1）31nyynn （2）12221nyynn（3）nnnyy2321 （4）151nnyy 解（1）因1a，对应齐次方程通解为 CCyn1（C 为任意常数）设nanany120)(代入原方程，有 3)1()1(120120nnananana 比较系数得25,2110aa，所以nnny2521)(2 所求方程通解为 nnCny2521)(2 C 为任意常数（2）因2a，对应齐次方程通解为 nCy2（C 为任意常数）设2120)(ananany代入原方程，有 1222)1()1(221202120nananaanana.比较系数得 5,4,2210aaa 故有542)(2nnny 所求方程通解为 5422)(2nnCnyn（3）对应齐次方程通解为 nCy)2(（C 为任意常数）又nnf23)(，即2,3db，且04 da，因此，原方程的特解为 nnddabny243)(故原方程通解为 nnCy243)2(（4）对应齐次方程通解为 nCy)5(（C 为任意常数）又1)(nf，即0,1db，且0 da，因此，原方程的特解为 61)(nddabny 故原方程通解为 nCny)5(61)(3、求下列二阶差分方程的通解（1）0212nnnyyy （2）02212nnnyyy（3）3212nnnyyy （4）nnnnyyy2154412 解(1)特征方程 0122得特征根 21,121 从而得到方程的通解.nnnCCy21)1(21 其中21,CC为任意常数。（2）原方程对应的特征方程为 0222 特征方程有两个共轭复根 ii1,121 且1tan,2r，即4,22cos,22sin 知方程有两个特解 nnynnynn4sin2)(,4cos2)(21 于是原方程通解为 nCnCnyn4sin4cos2)(21 其中21,CC为任意常数。（3）特征方程为0122 解得重根121，于是原方程通解为 nnnCCy1)(21 其中21,CC为任意常数。下面求非齐次方程特解 因为3)(nf，则1q，且不是特征根 则形式特解为 nnnAy101，代入原方程 32111AAA 比较系数得 431A 于是43ny.原方程通解为 nnnCCnyyny)1)(43)()(21 其中21,CC为任意常数。（4）特征方程为01442 解得重根2121，于是原方程通解为 nnnCCy21)(21 其中21,CC为任意常数。下面求非齐次方程特解 因为nnf215)(，则21q，是重根 则形式特解为nnnAy2121，代入原方程 nnnnnAnAnA2152121)1(421)2(421121221 比较系数得 251A 于是nnny21252 原方程通解为 nnnnCCnnyyny21)(2125)()(212 其中21,CC为任意常数。
