广东省深圳外国语学校2019届高三上学期第一次月考数学(文)试题.pdf

拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！2018-2019 学年高三第一次月考 文科数学试题 第卷（选择题共 60 分）一选择题：（每小题只有一个选项，每小题 5 分，共计 60 分）1已知集合2log,1Ay yx x,1(),12xBy yx，则AB等于（）A102Byy B0By y C DR 2 已知命题1p：(0,)x，有312x，2p：R，3sincos2，则在命题1q：12pp；2q：12pp；3q：12pp和4q：12pp 中，真命题是()A1q，3q B2q，3q C1q，4q D2q，4q 3设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则（）Aabc Bacb Cbca Dbac 4设函数32()(1)f xxaxax，若()f x为奇函数，则曲线()yf x在点(0,0)处的切线方程为()A 2yx B yx C 2yx D yx 5若函数212()log(45)f xxx在区间(32,2)mm内单调递增，则实数m 的取值范围为()A.4,33 B.4,23 C.4,2)3 D.4,)3 6已知0，函数()sin()4f xx在(,)2上递减，则的取值范围是（）A1 32 4，B1 52 4，C1(02，D(0 2，7函数xeyx的图像大致是 ()拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！A.B.C.D.8 已知定义在R上的奇函数()f x满足(4)()f xf x，且在区间0,2上是增函数，则()A(25)(80)(11)fff B(80)(11)(25)fff C(11)(80)(25)fff D(25)(11)(80)fff 9已知函数 1sin,0,3f xxx x且001cos,0,3xx那么下列命题中真命题的序号是（）f x的最大值为 0f x；f x的最小值为 0f x；f x在上0,是减函数；f x在上0,x上是减函数.A B C D 10 定义域为R的函数()f x满足(1)1f，且()f x的导函数1()2fx，则满足2()1f xx的x的集合为 ()A11xx B 1x x C1,1x xx 或 D1x x 11如图所示，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x的函数 f(x)，则 yf(x)在0，上的图象大致为()xyO12-1-212-1-2xyO12-1-212-1-2拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！12已 知函数()lnaf xxxx，32()5g xxx，若对任意的1x，21,22x，都有12()()2f xg x成立，则a的取值范围是()A(0,)B1,)C(,0)D(,1 第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：（每小题 5 分，共计 20 分）13.若不等式2(1)logaxx在(1,2)x内恒成立，则实数a的取值范围为_ 14已知,a b是两个不共线的非零向量，且a与 b起点相同若a，tb，1()3ab三向量的终点在同一直线上，则t _.15 已知函数32()31f xaxx，若()f x存在唯一的零点0 x且00 x，则a的取值范围是 16 已知函数 f(x)4sin(2x6)(0 x916)，若函数 F(x)f(x)3 的所有零点依次记为 x1，x2，x3，xn，且 x1x2x3xn，则 x12x22x32xn1xn_ 三、解答题：（本大题 6 小题，17 题 10 分，1822 题每小题 12 分，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设向量(4cos,sin)a，(sin,4cos)b，(cos,4sin)c。（1）若a与2bc垂直，求tan()的值；（2）求|bc的最大值；18在ABC中，角,A B C的对边分别是,a b c,5c,且 2sinsin2sinbBAabA2 sincC.（）求C的值；（）若4cos5A，求b的值.拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！19设2()1xef xax，其中a为正实数（1）当43a 时，求()f x的极值点；（2）若()f x为 R 上的单调函数，求a的取值范围 20我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数()f x与第x天近似地满足8()8f xx（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费()g x近似地满足()14322g xx（元）(1)求该村的第 x 天的旅游收入()p x,并求最低日收入为多少？（单位：千元，130 x，*Nx）；(2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入计量依据，并以纯收入的5%税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？21已知定义在区间2，上的函数()yf x的图像关于直线4x对称，当4x时，函数sinyx （）求()()24ff，的值；（）求()yf x的表达式；（）若关于x的方程()f xa有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为aM，求aM的所有可能取值及相应a的的取值范围 拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！22已知函数2()ln(12)(0)f xxaxa x a(1)若0 x，使得不等式2()64f xaa成立，求实数a的取值范围；(2)设函数()yf x图象上任意不同的两点为11(,)A x y，22(,)B xy，线段AB的中点为00(,)C xy，记直线AB的斜率为k，证明：0()kfx 拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！文科数学参考答案 一、选择题 BCDDCB BABBBB 12解析 由于32()5g xxx，则2()32(32)g xxxxx，函数()g x在1 2,2 3上单调递减，在2,23上单调递增，11141()52848g，(2)8451g 由于任意1x，21,22x，12()()2f xg x恒成立，所以maxmax()()2()21f xg xg x，即1,22x时，()1f x 恒成立，即ln1axxx在1,22上恒成立，所以2lnaxxx在1,22上恒成立，令2()lnh xxxx，则()1 2 lnh xxxx，而()32lnhxx ，当1,22x时，()0hx，所以()1 2 lnh xxxx 在1,22单调递减，由于(1)0h，所以1(,1)2x时，()0h x，(1,2)x时，()0h x，所以()(1)=1h xh，即1a 二、填空题 13.(1,2 14.12 15.(,02 16.445 三、解答题 17设向量(4cos,sin)a，(sin,4cos)b，(cos,4sin)c。（1）若a与2bc垂直，求tan()的值；（2）求|bc的最大值；17 解：（1）a与2bc垂直，(2)4cossin8coscos4sincos8sinsinabc 4()8cos()0isn，tan()2。（2）由(sincos,4cos4sin)bc，得 拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！22|(sincos)(4cos4sin)1715sin 24 2bc，当sin21 即()4kkZ时，等号成立，所以|bc的最大值为4 2。18解：()2sinsin2sin2 sinbBAabAcC 2222ba bab ac 化简得 222abcab 2221cos22abcCab 0,C 23C ()4cos5A，0,A 4sin5A sinsinsincoscossinBACACAC 31434 33.525210 由正弦定理得4 335sin1043sin32cBbC 19解：对()f x求导得222(12)()(1)xaxax efxax，（1）当43a 时，令()0fx，则24830 xx，解得132x，212x，结合，可知x，()fx，()f x的变化情况如下：x 1(,)2 12 1 3(,)2 2 32 3(,)2()fx 0 0 ()f x 极大值 极小值 132x 是极小值点，212x 是极大值点（2）若()f x为 R 上的单调函数，则()fx在 R 上不变号，结合与条件0a，知2210axax 在 R 上恒成立，由此2444(1)0aaa a，0a，01a.拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！20我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数()f x与第x天近似地满足8()8f xx（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费()g x近似地满足()14322g xx（元）(1)求该村的第 x 天的旅游收入()p x,并求最低日收入为多少？（单位：千元，130 x，*Nx）；(2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入计量依据，并以纯收入的5%税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？解析 (1)依据题意，有8()()()(8)(14322)p xf xg xxx(130 x,*Nx)即*9688976,122,N()132081312,2230,Nxxxxp xxxxx (2)01当*122,Nxx时，968968()89762 89761152p xxxxx(当 且仅 当11x 时，等号成立)因此，min()(11)1152p xp(千元)02当*2230,Nxx时，1320()81312p xxx 考察函数132081312yxx 的性质，可知132081312yxx 在(22,30上单调递减，于是，min()(30)1116p xp(千元)又11521116，所以，日最低收入为1116千元 该村两年可收回的投资资金为111620%5%30 1228035.2(千元)=803.52(万元)因为803.52万元800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金 21已知定义在区间2，上的函数()yf x的图像关于直线4x对称，当4x时，函数sinyx 拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！（）求()()24ff，的值；（）求()yf x的表达式；（）若关于x的方程()f xa有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为aM，求aM的所有可能取值及相应a的的取值范围 21 解：（）()()sin02ff，332()()sin4442ff.（）设,2442xx则 ()()sin()cos22f xfxxx sin,4()cos,2 4x xf xx x （）作函数()f x的图像 显然，若()f xa有解，则0,1a。若202a，()f xa有两解，2aM；若22a，()f xa有三解，34aM；若212a，()f xa有四解，aM 拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！若1a，()f xa有两解，2aM。综上所述，当2012aa或时，()f xa有两解，2aM；当22a 时，()f xa有三解，34aM；当212a时，()f xa有四解，aM.22已知函数2()ln(12)(0)f xxaxa x a(1)若0 x，使得不等式2()64f xaa成立，求实数a的取值范围；(2)设函数()yf x图象上任意不同的两点为11(,)A x y，22(,)B xy，线段AB的中点为00(,)C xy，记直线AB的斜率为k，证明：0()kfx 22解析(1)2()ln(12)(0)f xxaxa x a，其定义域为(0,)，1(1)(21)()2(1 2)xaxfxaxaxx，0a，0 x，210ax ，所以当01x时，()0fx，()f x在(0,1)上单调递增；当1x 时，()0fx，()f x在(1,)上单调递减；从而当=1x时，()f x取得最大值(1)ln1(1 2)1faaa，由题意得2164aaa，解得1132a，即实数a的取值范围1 1(,)3 2(2)1()2(1 2)fxaxax，001201212()2(12)()(12)fxaxaa xxaxxx，又22212221112121()()ln(1 2)ln(1 2)f xf xxaxa xxaxa xkxxxx 2221212121lnln()(1 2)()=xxa xxa xxxx212121ln=(+)(12)xxa xxaxx 不妨设210 xx，要证明0()kfx，拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！即证明2121122112ln2(+)(12)()(12)xxa xxaa xxaxxxx，只需证明212112ln2xxxxxx，即证明22211211212(1)2()ln1xxxxxxxxxx，构造函数2(1)()=ln1xg xxx，则22214(1)()=0(1)(1)xg xxxx x，所以()g x在1,上是增函数，当1x 时，()(1)0g xg，又211xx，所以2212112(1)ln1xxxxxx，从而0()kfx成立