【精品】2016年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学试卷)含答案.pdf

2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试题卷共5页，24题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利 注意事项:1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B铅笔将答题卡上试卷类型 A后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。题目要求的。某公司的班车在 7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘 坐班车，且到达发车站的时候是随机的，则他等车时间不超过 10分钟的概率是 一、1 1 2 3 绝密启用前 试题类型：A 2B铅笔涂黑。答案、选择题：本题共 12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合(1)设集合 xx2 4x 3 0,B x2x(2)(3)(A)3,2)（B）（3；(C)-1)（D）3）设(1(A)i)x 已知等差数列(A)100 yi,其中x,y是实数,(B)2 an前9项的和为27,(B)99 yi(C)3 a10 8,则 a100(C)98(D)97(D)2（A）匚（B）二（C）匚（D）-3 2 3 4 (5)2-4一 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则n的 3m n 取值范围是(A)(1,3)(B)(1,拓)(C)(0,3)(6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中 色，则它的 3 两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 表面积是(A)17(B)18(C)20(D)28 函数 y 2x2 ex在2,2的图像大致为(B)(A)c y 1 L/2 O J y k 1-2 O W 2 (D)c c c b(B)ab ba(C)a log b c b log a c(D)logac logbC(9)执行右面的程序框图，如果输入的 1,则输出x,y的值满足(A)y 2x(B)y 3x(C)y 4x(D)5x(10)以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于A,B两点,C的准线于D,E两点，已知 AB 4 J2,DE 2 J5，则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8(11)平面 过正方体ABCD A1B1C1D1 的顶点 A,/平面 CB1 D1,平面ABCD m,平面 ABBIA n,贝U m,n所成角的正弦值为、3 2、3 1(A)(B)(C)(D)2 2 3 3 (12)已知函数 f(x)sin(x)(0,一)，x 一为 f(x)的零点，x 一为 2 4.4 5 y f(x)图像的对称轴，且 f(x)在(佰，说)单倜，贝U 的取大值为(A)11(B)9(C)7(D)5 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作 答。第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 3小题，每小题5分。(13)设向量 a(m,1),b(1,2),且|a b|2|a|2|b|2,则 m.(14)(2x%&)5的展开式中，x3的系数是.(用数字填写答案)(15)设等比数列(an)满足a1 a3 10,a2 a4 5,则a1a2 an的最大值为-(16)某高科技企业生产产品 A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A需要 甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品 A的利润为2100元，生产一件产品 B的利润为900元.该企业 现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品 A、产品B的 利润之和的最大值为 元.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2cosC(acosB bcosA)c.(I)求 C;3、3(n)若c V7,ABC的面积为，求 ABC的周长.(18)(本小题满分12分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形，AF 2FD,AFD 90,且二面 角D AF E与二面角C BE F都是60.(I)证明：平面 ABEF 平面EFDC;(口)求二面角 E BC A的余弦值.(19)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购 进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200元.在机器使用期间，如果备件不足 再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理 了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替 记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，件数.(I)求X的分布列；(H)若要求 P(X n)0.5，确定n的最小值;(m)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n 19与n 20之中选其一,应选用哪个？(20)(本小题满分12分)一 一 2 2 设圆x y 2x 15 0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A 于C,D两点，过B作AC的平行线交 AD于点E.(I)证明 EA EB为定值，并写出点 E的轨迹方程；(n)设点E的轨迹为曲线 C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与 圆A交于P,Q两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围.(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)(x 2)ex a(x 1)2有两个零点.1台机器更换的易损零件数发生的概率，n表示购买2台机器的同时购买的易损零(I)求a的取值范围；(n)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1 x2 2.请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图，OAB是等腰三角形，AOB 120.以 1 1OA为半径作圆.2(I)证明：直线 AB与O相切；(n)点C,D在。上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB/CD.(I)说明C1是哪一种曲线，并将 G的方程化为极坐标方程;0,其中满足tan 0 2，若曲线CI与C2的公 共点都在C3上，求a.(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)x 1 2x 3.(I)在答题卡第(24)题图中画出(H)求不等式 f(x)1的解集.y f(x)的图像;y 1 O 1 A (23)(本小题满分 10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 _ .x xOy中，曲线C1的参数方程为 acost,(t为参数，a 0).在 以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2:4cos(H)直线。3的极坐标方程为 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只:合题目要求的.(1)D(2)B(3)C(4)B(5)A(6)A(7)D(8)C(9)C(10)B(11)A(12)B 二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分(13)2(14)10(15)64(16)216000 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分为12分)解：(I)由已知及正弦定理得，2cosC sin cos sin cos sinC,即 2cosCsin sinC.故 2sin Ccos C sin C 一-1 十，可得cosC，所以C，、一 1，.-(II)由已知，一absinC 2 又C，所以ab 6.由已知及余弦定理得，a2 2 2 故a b 13,从而a 所以 C的周长为5曰.(18)(本小题满分为12分)解：(I)由已知可得 F DF,F F,所以 F 平面 FDC.又 F 平面 F,故平面 F 平面 FDC.,项是符 3 3.3.2 b 2ab cosC 7.2 (II)过 D 作 DG F，垂足为G,由(I)知DG 平面 10,11的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2,从而 uur 以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向,uuu GF为单位长度，建立如图所示的空间直角 坐标系G xyz.由（I）知 DF 为二面角D F 的平面角，故 DF 60，则|DF|2,|DG|3,可得 1,4,0,3,4,0,3,0,0,D 0,0,J3 由已知，/F,所以/平面 FDC 又平面 CD I平面 FDC DC,故 由/F，可得 平面 FDC,所以 C F 60.从而可得 C 2,0,J3.uuu-uuu UULT 所以 C 1,0,73,0,4,0,C-T 设n x,y,z是平面 C 的法向重，贝U uur nuC,即x、3z,n 0 4y 0 所以可取n 3,0,右.m ULC 设m是平面CD的法向量，贝u m LUUT m T 同理可取 m 0,j3,4.则 cs（n,m）:n 2、19 19 学科&网 故二面角 C 的余弦值为（19）（本小题满分12分）/CD,CD/F-C F为二面角C F的平面角,-uujr 0 0 m 2、而 m 19 10,11的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2,从而 解：（1）由柱状图并以频率代替概率可得,台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,P(X 16)0.2 0.2 0.04;P(X 17)2 0.2 0.4 0.16;P(X 18)2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.24;P(X 19)2 0.2 0.2 2 0.4 0.2 0.24;P(X 20)2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.2;P(X 21)2 0.2 0.2 0.08;P(X 22)0.2 0.2 0.04.所以X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (H)由(I)知 P(X 18)0.44,P(X 19)0.68,故 n 的最小值为 19.(m)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n 19 时，EY 19 200 0.68(19 200 500)0.2(19 200 2 500)0.08(19 200 3 500)0.04 4040.学科&网 当n 20时，EY 20 200 0.88(20 200 500)0.08(20 200 2 500)0.04 4080.可知当n 19时所需费用的期望值小于 n 20时所需费用的期望值，故应选 n 19.20.(本小题满分12分)解：(I)因为|AD|AC|,EB/AC，故 EBD ACD ADC,所以|EB|ED|,故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x 1)2 y2 16,从而|AD|4,所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0),B(1,0),|AB|2,由椭圆定义可得点 E的轨迹方程为：2 2 王七1(y 0).4 3 可得当l与x轴不垂直时，四边形 MPNQ面积的取值范围为12,8侦3).当l与x轴垂直时，其方程为x 1,|MN|3,|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,83).(21)(本小题满分12分)解：(I)f(x)(x 1)ex 2a(x 1)(x 1)(ex 2a).(i)设 a 0，则 f(x)(x 2)ex,f(x)只有一个:令点(ii)设 a 0,则当x(,1)时，f(x)0;当 x(1,)时，f(x)0.所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1,)上单调递增.a 又 f(1)e,f(2)a,取 b 满足 b 0 且 b lna，则 2,a 2 2 3 f(b)(b 2)a(b 1)2 a(b2-b)0,(n)当1与x轴不垂直时，设1的方程为y k(x 1)(k 0)，M(Xi,yi),N(x2,y2).y k(x 1)由 x2 y2 得(4k2 3)x2 8k2x 4k2 12 0.二二 1 则 x1 x2 8k2 2-,为 x2 2 _ 4k2 12 所以|MN|.1 k2|x1 x2-2 12(k 1)4k2 3 过点B(1,0)且与1垂直的直线 m:y-(x 1),A到m的距离为,2，所以 k.k2 1.故四边形MPNQ的面积 1|MN|PQ|12.1 1 4k2 3.学科&网|PQ|2 42 2 4 4k 3,k2 1 故f(x)存在两个零点.(iii)设 a 0,由 f(x)0 得 x 1 或 x ln(2a).e 若a 二则ln(2a)1,故当x(1,)时，f(x)0,因此f(x)在(1,)上单调 2 递增.又当x 1时，f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.学科&网 e 若 a 二则 ln(2a)1,故当 x(1,ln(2a)时，f(x)0；当 x(ln(2a),)时，2 f(x)0.因此f(x)在(1,ln(2a)单调递减，在(ln(2a),)单调递增.又当x 1时，f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0,).(H)不妨设 x1 x2,由(I)知 x1(,1),x2(1,),2 x2(,1),f(x)在(，1)上单调递减，所以 X 由 2等价于f(x)f(2 x2)，即f(2 x2)0.由于 f(2 x2)x2e2 x2 a(x2 1)2，而 f(x2)(x2 2)ex2 a(为 1)2 0,所以 f(2 x2)x2e2 x2(x2 2)ex2.设 g(x)xe2 x(x 2)ex，则 g(x)(x 1)(e2 x ex).所以当 x 1 时，g(x)0,而 g(1)0,故当 x 1 时，g(x)0.从而 g(x2)f(2 x2)0,故 x1 x2 2.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题 号(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 解：(I)设E是AB的中点，连结OE,因为 OA OB,AOB 120，所以 OE AB,AOE 60.1 .在Rt AOE中，OE AO，即O到直线AB的距离等于圆O的半径，所以直线AB 2 与。O相切.(n)因为OA 2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心，A,B,C,D四点所在圆的圆心，作直线 OO.由已知得O在线段 AB的垂直平 分线上，又O在线段AB的垂直平分线 OO AB.同理可证，OO CD.所以AB/CD.(23)(本小题满分10分)C2:4cos学科&网 2 2 2 2 两边同乘 得 4 cos Q x y,cos 2 y 4x 即 x 22 y2 C3:化为普通方程为y 2x 设O是 x acost 解：y 1 asint(t 均为参数)x2 y 1 2 a2 CI为以0,1为圆心,a为半径的圆.方程为 x2 y2 2y 1 a2 0 2 2/x y 2,y sin 2 2 sin 1 a2 0 即为CI的极坐标方程 由题意：C1和 C2的公共方程所在直线即为 C3 一得：4x 2y 2 1 a 0,即为 C3 解：如图所示:(24)(本小题满分 10分）x 4,x -2 f x 1 当 x 1,|x 4|1,解得 x 5 或 x 3 x -,I4 x|1,解得 x 5 或 x 2 x 3 或 x 5 2 1 综上，x-或 1 x 3 或 x 5 3|f x 1,解集为，1 U 1,3 U 5,