高中数学1-1-1正弦定理(知识讲解).pdf

1 1.1.1 正弦定理（知识讲解）一、基础知识 1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin。(其中R为ABC的外接圆的半径)已知ABC，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，ABC的外接圆O的直径长为R2，借助ABC的外接圆推导出正弦定理，证明如下：如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则90BCD，BDCBAC，在BCDRt中，BDCBDBCsin，所以ARasin2，即RAa2sin，同理：RBb2sin、RCc2sin，RCcBbAa2sinsinsin。正弦定理的变形公式：ARasin2，BRbsin2，CRcsin2；RaA2sin，RbB2sin，RcC2sin；CBAcbasinsinsin：；CcBbAaCBAcbasinsinsinsinsinsin；2、三角形面积定理：AbcBacCabSABCsin21sin21sin21；rcbaSABC)(2121高底。(其中r为ABC的内切圆的半径)3、一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。4、三角形解的个数的讨论 A为锐角 A为钝角或直角 baAbsin Abasin或ba Abasin ba ba 两解 一解 无解 一解 无解 2 二、知识应用 1、正弦定理的概念 例 1-1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦定理不适用于钝角三角形。()(2)在ABC中，等式AbBasinsin总能成立。()(3)在ABC中，若BAsinsin，则三角形是等腰三角形。()例 1-2在ABC中，下列四个式子：CBAsin)sin(，CBAcos)cos(，CBA2sin)22sin(，CBA2cos)22cos(，其中为常数的是()。A、B、C、D、2、利用正弦定理解三角形 例 2-1在ABC中，4ABC，2AB，3BC，BACsin()。A、1010 B、510 C、10103 D、55 例 2-2在ABC中，若13AB，3BC，120C，则AC()。A、1 B、2 C、3 D、4 例 2-3在ABC中，4ABC，2AB，3BC，BACsin()。A、1010 B、510 3 C、10103 D、55 例 2-4在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若Babsin2，则角A的大小为 。例 2-5 在锐角三角形ABC中，若7a、8b，向量)cos21(Am，)23(sin，An，且nm，则ABC的面积为 。3、三角形形状和解的个数的判断 例 3-1设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AaBcCbsincoscos，则ABC的形状为()。A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定 例 3-2在ABC中，若18a，24b，45A，则符合条件的三角形的个数为()。A、0 B、1 C、2 D、不确定 例 3-3若cCbBaAcoscossin，则ABC的形状为()。A、等边三角形 B、等腰直角三角形 C、有一个角为30的直角三角形 D、顶角为30的等腰三角形 例 3-4在ABC中，D是BC中点，已知90CBAD，则ABC的形状为()。4 A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形 4、利用正弦定理解三角形 例 4-1ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，DCBD2。(1)求CBsinsin；(2)若60BAC，求B。例 4-2在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且AcbCacos)32(cos3。(1)求角A的大小；(2)求2sin2)25cos(2CB 的取值范围。