2019届长宁嘉定区高三二模数学Word版.pdf
上海市长宁嘉定区 2019 届高三二模数学试卷 一.填空题（本大题共12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1.已知集合1,2,3,4A，|26Bxx，则AB _ 2.已知复数z满足i34iz（i是虚数单位），则|z _ 3.已知线性方程组的增广矩阵为2012mn，解为11xy，则mn_ 4.在7(1)x的二项展开式中，5x项的系数为_ 5.已知圆锥的主视图为图所示，则该圆锥的侧面积是_ 6.已知实数x、y满足011xyyx，则2xy的最大值为_ 7.设函数()f xxa（其中a为常数）的反函数为1()fx，若函数1()fx的图像经过 点(0,1)，则方程1()2fx解为_ 8.学校从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 人到虹桥枢纽参加为期一天的春运志愿者服务 活动，则选出的 2 人中至少有 1 名女同学的概率为_（结果用数值表示）9.已知直线1cossinxtyt（t为参数）与抛物线24yx相交于A、B两点，若线段AB中 点的坐标为(,2)m，则线段AB的长为_ 10.在ABC中，已知2CDDB，P为线段AD上的一点，且满足49CPmCACB，若ABC的面积为3，3ACB，则|CP的最小值为_ 11.已知有穷数列na共有m项，记数列na所有项的和为(1)S，第二及以后所有项的和 为(2)S，第n（1nm）及以后所有项的和为(2)S，若(2)S是首项为 1 公差为 2 的等差数列前n项的和，则当1nm时，na _ 12.已知定义在R上的奇函数()f x满足：(2)()f xf x，且当01x时，2332()log()f xxa，若对于任意0,1x，都有221()1 log 32fxtx，则实数t的 取值范围为_ 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13.已知xR，则“11x”是“1x”的（）条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要 14.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率,工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标，下图为国家统计局发布的 2015 年至 2018 年第 2 季度我国工业产能利用率的折 线图 在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2016 年第二季度与 2015 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2015 年第二季度与 2015 年第一季度相比较.根据上述信息，下列结论中正确的是（）A.2015 年第三季度环比有所提高 B.2016 年第一季度同比有所提高 C.2017 年第三季度同比有所提高 D.2018 年第一季度环比有所提高 15.已知圆22(2)9xy的圆心为C，过点(2,0)M 且与x轴不重合的直线l交圆C于A、B两点，点A在点M与点B之间，过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（）A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 16.对于ABC，若存在111ABC，满足111coscoscos1sinsinsinABCABC，则称ABC为“V 类三角形”，“V类三角形”一定满足（）A.有一个内角为 30 B.有一个内角为 45 C.有一个内角为 60 D.有一个内角为 75 三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17.已知正四棱柱1111ABCDABC D的底面边长为 1，1AB与底面ABCD所成角为4.（1）求三棱锥1ABCD的体积；（2）求异面直线1AB与1BC所成角的大小.18.已知函数1()cos(sincos)2f xxxx.（1）若02，且2sin2，求()f的值；（2）求函数()f x的最小正周期，及函数()f x在0,2上的递减区间.19.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为 20 年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用 为 6 万元/毫米厚，且每年的能源消耗费用H（万元）与隔热层厚度x（毫米）满足关系：40()35H xx（010 x），设()f x为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.（1）解释(0)H的实际意义，并求()f x的表达式；（2）求隔热层喷涂多厚时，业主的所付总费用()f x最小并计算与不建隔热层比较，业主节省多少钱 20.已知椭圆22:143xy的左、右焦点分别为1F、2F,过2F的直线l与椭圆交于 P、Q两点.（1）求1FPQ的周长；（2）设点A为椭圆的上顶点，点P在第一象限，点M在线段2AF上，若1123FMFP，求点P的横坐标；（3）设直线l不平行于坐标轴，点R为点P关于x轴的对称点，直线QR与x轴交于点N.求2QF N面积的最大值.21.记无穷数列na的前n项中最大值为nM，最小值为nm，令2nnnMmb.（1）若23nnan，写出1b、2b、3b、4b的值；（2）设2nnan，若33b ，求的值，及4n 时数列 nb的前n项和nS；（3）求证：“数列na是等差数列”的充要条件是“数列 nb是等差数列”.参考答案 一.填空题 1.3,4 2.5 3.3 4.21 5.3 6.2 7.1x 8.710 9.8 10.43 11.21n 12.0,3 二.选择题 13.A 14.C 15.C 16.B 三.解答题 17（本题满分 14 分，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分）解：（1）因为1111ABCDABC D是正四棱柱，所以底面ABCD 为正方形，1A A 平面ABCD，1 分 所以1ABA就是1AB与底面ABCD所成角，即14ABA.3 分 进而得11A A，4 分 111136ABCDBCDVA A S 8 分（2）因为11/ADBC，所以1BA D就是异面直线1AB与1BC所成角，2 分 由112ADDBAB知，13BAD 所以异面直线1AB与1BC所成角为3 4 分 18（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（1）因为02，且2sin2，所以2cos1 sin2，3 分 所以 22211()22222f 6 分（2）21sincoscos2f xxxx 11sin2cos222xx 1 分 2sin(2)24x 3 分 所以 f x的最小正周期为 5 分 当02x时，52444x，再由52244x得，82x，函数 f x在0,上的递减区间为,8 2 7 分 19（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）解：（1）08H表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年 8 万元2 分 设隔热层建造厚度为x毫米，则 40800()20660103535f xxxxxx 7 分（2）800(610)102 600107035fxxx 3 分 当80061035xx，即5x时取等号 所以当隔热层厚度为5cm时总费用最小 70 万元.5 分 如果不建隔热层，20 年业主将付能源费20 8160 万元，所以业主节省 90 万元.7 分 20（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）解：（1）椭圆22:143xy的长轴长为 4，由椭圆定义知，1FPQ的周长为 8；4 分（2）由椭圆方程得0,3A，11,0F，20,1F，2 分 设11,P x y，22,M xy，由1123FMFP，得212113xx，2123yy，3 分 点M线段2AF上，所以22,xy满足方程为2231yx 4 分 将式代入，得1132yx，5 分 代入椭圆方程，得21156120 xx，因为10 x，所以165x.6 分（3）设11,P x y，33,Q x y，,0N n，直线l的方程为1yk x.则点R的坐标为11,xy，直线QR的方程为313331yyyxxyxx，3311 3133113331311322yxxx xxxx yx ynxyyyyxx 3 分 将直线方程代入椭圆方程得：22223484120kxk xk，则2132834kxxk，213241234kx xk，所以2222222(412)8343448234kkkknkk，5 分 1313 34 122QF NSy 所以2QF N面积的最大值为3 32.6 分 21（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）解：（1）因为23nnan，所以11a ，22a ，31a ，44a.所以11b ，232b ，332b ，41b.4 分（2）12a，242a，383a.当2时，123aaa，13332aab，无解；当23时，213aaa，23332aab，无解；当34时，231aaa，12332aab，解得4；当4时，321aaa，13332aab，无解.2 分 此时24nnan，12a ，24a ，34a ，40a，当4n 时，1240nnnaa，所以当4n 时 na递增，132222nnnaabn，4 分 12b ，23b ，33b，42b ，所以当4n 时，2232nnSnn 6 分（3）必要性：数列 na是等差数列，设其公差为d.当0d 时 na是递增数列；当0d 时 na是常数列；当0d 时，na是递减数列；都有12nnaab，1111222nnnnaaaadbb，所以数列 nb是等差数列.2 分 充分性：数列 nb是等差数列，设其公差为*d.则*11122nnnnnnMMmmbbd，由题意知，1nnMM，1nnmm.3 分 当*0d 时，1nnMM对任意*nN都成立，即11nnnnMaMa，所以 na是递增数列，nnMa，1nma，*111222nnnnnnMMmmaad 所以 na是公差为*2d的等差数列 .5 分 当*0d 时，1nnmm，进而11nnnnmama，所以 na是递减数列，1nMa，nnma，*111222nnnnnnMMmmaad，所以 na是公差为*2d的等差数列 6 分 当*0d 时，11022nnnnMMmm，因为1nnMM与1nnmm中至少有一个为 0，所以二者都为 0.进而得 na为常数列.综上，充分性成立.8 分
