「高考数学——不等式的证明策略」.pdf
不等式的证明策略 1.已知 a,b0，且 a1.求证：(a+a1)(+b1)425.2.证明不等式nn2131211(N).求使yx ayx（x,y0)恒成立的 a 的最小值 一、填空题 1.已知 x、是正变数,、是正常数，且ybxa=1,x+y 的最小值为_ 2.设正数 a、b、c、满足 a+=b，且|d|b-c|,则 a与 b的大小关系是_ .若 mn，pq，且(m)(-n),(q-m）(n),则 m、p、q 的大小顺序是_.二、解答题 4.已知 a，b，c 为正实数,abc1.求证：(1)a2b+231 (2)232323cba6 5.已知，y，zR，且+y+1,x2+y2+z2=21，证明:x,y，z0，32 .证明下列不等式：(1)若 x，y,R,，b，cR+,则cbaybacxacb22z22(y+yzz)（2)若 x，y，z+,且 x+y+z=xy，则zyxyxzxzy(zyx111)7.已知 i,、是正整数，且 1imn.（1)证明:niAim(1n)m 8若0，b，+b3=2,求证:a+b2,ab1.参考答案.：(分析综合法)欲证原式,即证(ab）2+4（a2b2）-5+40,即证 4(ab)23（ab)+80，即证ab41或 ab8.a0,b0,ab=,ab8 不可能成立 1a+b2ab，ab41，从而得证.证法二:(均值代换法）设 a=21+t1，b=21t2 ab=1,a0,b,1t2=0，t121,|t|21.4254116254123162541)45(41)141)(141()21)(21()141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122tttttttttttttttttttttbbaabbaa 显然当且仅当 t=0，即 a=b21时，等号成立.证法三：(比较法)a+b，a，0，a+b2ab,a41 425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222bbaaabababababbabbaabbaa 证法四：（综合法)a+b1，a0,b，a+b2ab,41 4251)1(41 16251)1(169)1(434111222abababababab 425)1)(1(bbaa即 证法五:（三角代换法)0，b0，a+b1,故令 a=in,bcos2，(0，2).425)1)(1(4252sin4)2sin4(412sin125162sin24.3142sin4,12sin2sin416)sin4(2sin42cossin2cossin)cos1)(cossin1(sin)1)(1(2222222222222442222bbaabbaa即得2 2.证法一:(1)当 n 等于 1 时，不等式左端等于 1,右端等于 2,所以不等式成立;(2)假设 n=k()时,不等式成立,即k13121k,1211)1(11)1(21121131211kkkkkkkkkk则 当 n=k+1 时，不等式成立.综合(1）、(2)得:当 n*时,都有 1+n13121(n1)f（1）=1，.2131211nn 3.解法一：由于 a 的值为正数,将已知不等式两边平方，得：xy+2xy2（y),即 2xy(a2-)(xy)，x,y0，+y2xy,当且仅当 x=y 时,中有等号成立.比较、得的最小值满足 a2-1,a2=2，=2(因 a0)，a 的最小值是2.解法二：设yxxyyxxyyxyxyxyxyxu212)(2.,0,+2xy(当 x=时“=”成立)，yxxy21，yxxy2的最大值是 1.从而可知，u 的最大值为211，又由已知,得 a，a 的最小值为2 解法三：y0，原不等式可化为yx+11yx,设yxtan，(0,2).tan+11tan2;即 tan+1sec asn+os=2sin(4),又sin（4)的最大值为 1(此时=4).由式可知 a 的最小值为2 一、1.解析:令xac2，yb=sin2,则 x=asec2，ycsc2,xy=sec+2=a+batan2+bot2a+b+2abbaba2cottan22 答案：+ab 2解析：由|a-|-c|(ad)（b-c)2(a+b)4d(b+)24bc a+db+，4adb.答案:adb 解析:把、q 看成变量，则pn，mn.答案:mp 二、4.（1)证法一:a+b2c23131(3a2+b3c1)=313a23b2+32-(+c)2=313232+3c2a2b2-c2ab2ac2b 31(ab)2+(b-c)2+（ca)20 a2+bc231 证法二：(+c)2a22+c+2b+2ac+2ba+b2+c2+2+b2+a2+c+b2+c2 3(2+2c)(a+)21 a2+2c231
