二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高).pdf

(D)二次函数中的面积计算问题【典型例子】例如，如图所示，二次函数2yxbxc图像x在A和B两点（A在B的左边）与y轴相交，在C点与轴相交，顶点为M，MAB为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2x，该点P是两点之间抛物线上的移动点,A C，则PAC面积的最大值为（C）A.274B.112C。278D.3 二次函数中常见的面积问题类型：1.选择填空的简单应用 2.不规则三角形的面积用S=3.使用 4.使用相似的三角形 5.使用分割法将不规则图形转为规则图形 例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD的边长为 1，E,F,G,H为每边的点，AE=BF=CG=DH，设面积为小s正方形EFGH 为,AE为x,那么abouts的x函数图大致为(乙)示例 2.回答以下问题：如图1所示，抛物线的顶点坐标为C点(1,4)，与x轴相交于A点(3,0)，与y轴相交于B点。抛物线和直线AB 的解析公式；(2)求 CA AB和S CAB的垂直高度CD；(3)假设点P是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P，使得S PA B=89S CA B，如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请解释原因。思想分析 这个问题是二次函数中的常见面积问题。该方法不是唯一的。可以使用截补法，但是有点麻烦。如图第10题 xyABCOM图1 B C 铅垂高 水平宽 h a 图2 A x C O y A B D 1 1 图1 2所示，我们可以画出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21即三角形的面积等于水平宽度与前导垂直乘积的一半。掌握了这个公式之后，思路就直截了当，过程也比较简单，计算量也相对少了很多。答：（1）据已知，抛物线的解析公式可以设为y 1=a(x-1)2+4(a 0)。将A(3,0)代入解析表达式，得到a=-1，抛物线的解析公式为y 1=-(x-1)2+4，即y 1=-x 2+2 x+3。设直线AB的解析公式为y 2=kx+b，从y 1=-x 2+2 x+3得到的点B的坐标是(0,3)。将A(3,0)和B(0,3)代入y 2=kx+b，得到k=-1,b=3。直线AB的解析公式为y 2=x+3。(2)C(1,4),当x=1,y 1=4,y 2=2。C AB的垂直高度CD=4-2=2。S CAB=21 3 2=3（平方单位）。(3)解决方案：存在。设P点的横坐标为 x，PAB的垂直高度为h。那么h=y 1-y 2=(-x 2+2 x+3)-(-x+3)=-x 2+3 x 从S PA B=89S CA B:21 3 (-x 2+3 x)=89 3。排列为 4 x 2-12 x+9=0，解为x=23。x=23代入y 1=-x 2+2 x+3，我们得到y 1=415。P点坐标为(23,415)。例3.如图（省市），在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标为A(0,2),O(0,0),B(4,0)。O点逆时针旋转90 得到 COD（A点转C点），抛物线y=a 2+b +c（a 0）经过C、D、B三点。(1)求抛物线的解析公式；(2)若抛物线的顶点为P，求PAB的面积；(3)抛物线上是否有一点M使得MBC的面积等于PAB的面积？如果存在，则请求出口点M的坐标；如果不存在，请说明原因。x C O y A B D 1 1 图2 P-3 B A x y O 2-1-1 1 2 3 4 5-2 1 3 4 5 思路分析：根据题中给出的信息，很容易找到PAB的函数关系和面积。问题（3）是二次函数中常见的移动点问题。由于点 M 是抛物线上的一个不确定点，所以点 M 可以在不同的位置，而图的形状则以该点的不确定性为特征。因此，采用分类讨论的思想来解决问题。答案：(1)C(-2,0)和D(0,4)从问题中得知。抛物线经过B(4,0),C(-2,0)。抛物线的解析公式可以设置为y=a(x+2)(x-4)D(0,4)代入上式，得到a=-21。抛物线的解析公式为y=-21(x+2)(x-4)也就是说，y=-21x 2+x+4。(2)y=-21x 2+x+4=-21(x-1)2+29。抛物线顶点29P的坐标为(1,)。通过点P，使PE y轴在点E处，如图所示。则S PAB=S四边形PEOB-S AOB-S PEA=21(1+4)29-21 4 2-21(29-2)1=6。(3)假设存在一个坐标为M(x,y)的点M。那么S MBC=21|是|6=S PAB=6 那是21|是|6=6，y=2。当y=2,-21(x-1)2+29=2 时，解为x=51；当y=-2,-21(x-1)2+29=-2 时，解为x=131。存在一点M使得 MBC的面积等于 PAB的面积，其坐标为：M1（51，2），M2（51，2），M3（131，2），M4（，1312）例4.如图，抛物线与x轴相交于A(x1,0)、B(x2,0)点，且x1x2，y轴相交于C(0,4)点)，其中 x1,x 2 是方程 x 2-2 x-8=0的两个根。(1)求这条抛物线的解析公式；(2)P点为线段AB上的移动点，经过P点，做PEAC，与BC交于E点，连接CP，当CPE面积最大时，求P点坐标；（3）探究：如果点Q是抛物线对称轴上的一点，是否存在使 QBC成为等腰三角形的点Q，如果有，请直接写下所有满足的点Q的坐标条件；如果不是，请解释原因。-3 B A x y O 2-1-1 1 2 3 4 5-2 1 3 4 5 P E B A y O P E C x 解：(1)解方程x 2-2 x-8=0，得到x 1=-2，x 2=4。A(4,0),B(-2,0)。抛物线与x轴相交于A点和B点。抛物线的解析公式可以设置为y=a(x+2)(x-4)(a 0)抛物线与y轴相交于点C(0,4),a 2 (-4)=4,a=-21。抛物线的解析公式为y=-21(x+2)(x-4)，即y=-21x 2+x+4(2)设P点坐标为(m,0)，在G点通过E点使EGx轴，如图所示。A（4，0），B（2，0），AB 6，BP m 2 PE AC，BPE BAC COEG ABBP，4EG 62m，EG 34m2 S CPE S CBP S BPE 21BP CO 21BP EG 21(m 2)(4 34m2)31(m 1)2 3 且-2 m4,当 m=1 时，S CPE的最大值为 3。此时点P的坐标为(1,0)(3)有这样一个点Q使 QBC成为等腰三角形，点Q的坐标为：Q 1(1,1),Q 2(1,11),Q 3(1,11),Q 4(1,194),Q 5(1,194)设点 Q 的坐标为(1,n)。B(-2,0),C(0,4),BC 2=(-2)2+4 2=20。当QB=QC时，QB 2=QC 2。即(-2-1)2+y 2=(-1)2+(4-y)2,y=1。Q 1(1,1)当BC=BQ，则BQ 2=BC 2。即(-2-1)2+y 2=20,y=11。Q 2(1,11),Q 3(1,11)。当QC=BC，则QC 2=BC 2。即1 2+(4-y)2=20,y=194。Q 4(1,194),Q 5(1,194)。B A y O P E C x G B A y O C x Q1 Q2 Q4 Q3 Q5 示例 5.如图 1 所示，抛物线y=x 2-2 x+k在点A和B处与x轴相交，并在点C(0,-3)处与y轴相交。（图2和图3为答案备用图）(1)k=_，A点坐标为_，B点坐标为_；抛物线的顶点y=x 2-2 x+k 为M，求四边形ABMC的面积；x 轴下方的抛物线上是否有一个点D 使四边形ABDC的面积最大化？如果存在，请求点D的坐标；如果不存在，请说明原因；抛物线y=x 2-2 x+k上的点Q使得 BCQ是一个以 BC 为右侧的直角三角形。解：(1)-3,(-1,0),(3,0);(2)连接OM，如图1所示。y=x 2-2 x+k=(x-1)2-4 抛物线顶点M的坐标为(1,-4)。S四边形ABMC=S AOC+S COM+S MOB=21 1 3+21 3 1+21 3 4=9 注：也可以通过点M作为抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转换为 一个梯形和两个直角三角形。（3）设置D（m，m 2-2m-3），连接OD，如图2所示。那么 0 m 3，m 2-2m-3 0，x 0）。BC x-轴与y-轴相交于C点。运动点P从坐标原点O出发，沿O A B C匀速运动（图中“”表示的路线），终点是C。通过P，使PM x轴，PN y轴，垂直脚分别为M和N。假设四边形OMPN 的面积为 S，点P 的运动时间为 t，则S关于t的函数图像大致为 3.如图，在四边形ABCD中，BAD=ACB=90，A B=A D，AC=4 BC，设CD的长度为 x，四边形ABCD的面积为y，则y与x的函数关系为 A B O t S O t S O t S O t S C D y x B A O C 图4 F Q2 A B C N O M P x y（第2题图）4、如图所示，两条抛物线y 1=-21 2+1，y 2=21 2-1 和两条平行线通过点(-2,0)、(2,0)并平行于y轴分别被包围的阴影部分的面积是 5.如图，在笛卡尔坐标系中，点A的坐标为(-2,0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转 120，得到线段OB。(1)求B点坐标；A、O、B三点的抛物线的解析公式；C在(2)中抛物线的对称轴上，它使 BOC 的周长最小化？如果存在，求点C的坐标；如果不是，请说明原因。(4)如果点P是(2)中抛物线上的一个移动点，并且在x轴的下方，那么 PAB是否有最大面积？如果是，求P点坐标和PAB的最大面积；如果不是，请说明原因。6、如图所示，抛物线y=-x 2+b x+c与x轴相交于A(1,0)和B(-3,0)两点。(1)求抛物线的解析公式；(2)假设(1)中的抛物线在C点与y轴相交。抛物线的对称轴上是否有一个点Q，使得 QAC的周长最小？如果存在，求点Q的坐标；如果不是，请说明原因；(3)(1)中抛物线的第二象限中是否存在使PBC的面积最大的点 P？，如果存在，求P点坐标与 PBC之间面积的最大值；如果不存在，请说明原因。(第3题)A B C D A x y B O O B A C y x 7、如图所示，已知抛物线y=a x 2+b x-4与直线y=x相交于A点和B点，A和B的横坐标分别为-1和4分别。(1)求这条抛物线的解析公式。(2)如果平行于y轴的直线x=m(0 m 5+1)在点M处与抛物线相交，在点N处与直线y=x相交，在点P处与x轴相交，求线段MN的长度（由包含m 的代数公式表示）。(3)在(2)的条件下，连接OM和BM，是否存在使 BOM的面积S最大的 m值？如果存在，请求m的值，如果不存在，请说明原因。8.二次函数y=x 2+a x+a-2 已知。(1)证明：不管是什么实数，这个函数的图形总是有两个与x轴相交的点；(2)设a 0，当函数图与x轴的两个交点的距离为 时，求二次函数的解析公式；13(3)如果二次函数的图形在点A和B处与x轴相交，函数图形上是否存在点P，使得PAB的面积为2133？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明原因。9.给定：t 1,t 2 是方程t 2+2 t-24=0的两个实根，并且t 1 t 2，抛物线y=32x 2+b x+c的图像通过点A(t 1,0),B(0,t 2)。(1)求这条抛物线的解析公式；(2)假设点P(x,y)是抛物线上的移动点，位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形。找出OPAQ的面积S与的函数关系，x并写出x自变量的取值范围；A B M P O N x y xm yx(3)在(2)的条件下，当OPAQ的面积为24 时，是否存在使OPAQ成为正方形的点 P？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明原因。10、如图所示，已知抛物线y=a x 2+b x+c与x轴相交于A、B点，与y轴相交于C点。A点在x轴的负半轴，C点在y轴的负半轴上。线段OA和OC(OA OC)的长度是方程x 2-5 x+4=0的两个根，抛物线的对称轴是线x=1。(1)求三点A、B、C 的坐标；(2)求这条抛物线的解析公式；(3)若D点为线段 AB 上的动点（与 A 点和B点不重合），过D点，DE BC与AC 交于E点，连接CD，设BD 的长度为 m，得 CDE的长度面积为S，求S与m的函数关系，写出自变量m的取值范围。S有最大值吗？如果存在，求最大值，求此时D点坐标；如果不存在，请说明原因。11.如图所示，在梯形ABCD中，DC AB，A=90 ，AD=6 cm，DC=4 cm，BC i=3:4的斜率。运动点P从A 出发，沿 AB方向以 2 cm/s 的速度运动到 B 点，运动点Q从B点出发，沿 B C D方向运动到 D 点，速度为3厘米/秒。点同时开始，当其中一个移动点到达终点时，另一个移动点也停止。设移动点的时间为t秒。(1)求边BC的长度；(2)当t值为t时，PC和BQ相互平分；(3)连接PQ，设 PBQ 的面积为y，求y与t的函数关系，寻找t的值，y的最大值是多少？最大值是多少？12 如图所示，已知抛物线y=a x 2+b x+3(a 0)在A点(1,0)和B点(-3,0)处与x轴相交，并在C点与y轴相交。_(1)求抛物线的解析公式；(2)假设抛物线的对称轴与x轴相交于点M，问对称轴上是否有点P，使得 CMP是等腰三角形？如果B A O Q P x y y x B D O A E C CDABQP存在，请直接写出所有满足条件的点 P的坐标；如果不是，请说明原因；(3)如图所示，如果E点是第二象限抛物线上的移动点，连接BE和CE，求四边形 BOCE面积的最大值，求此时E点的坐标。13、如图所示，已知抛物线y=a(x-1)2+(a 0)经过点A(-2,0 33)，抛物线的顶点为D，且射线OMAD经过O。通过顶点D并平行于轴x的直线OM在C点，B在x轴的正半轴上，连接BC。(1)求抛物线的解析公式；(2)若运动点P从O点开始沿射线 OM以每秒1个长度单位的速度运动，设P点运动的时间为 t(s)。问题：t的值是多少，四边形DAOP是平行四边形？直角梯形？等腰梯形?(3)若OC=OB，则移动点P和移动点Q同时从O点和B 点开始，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC和BO移动，当一个的点 当运动停止时，另一点也停止运动。设它们的运动时间为t(s)，连接PQ，四边形BCPQ的面积最小的t 值是多少？并求此时 PQ的最小值和长度。14、如图所示，OAB是一个边长为2的等边三角形，通过A点的直线y=-x+m在33E点与x轴相交。(1)求点E的坐标；A、O、E三点的抛物线的解析公式；(3)若点P 为(2)得到的抛物线 AE 段上的动点（与 A和E 不重合），设四边形OAPE 的面积为 S，求 S 的最大值。15.已知二次函数的图经过A(2,0)和C(0,12)两点，对称轴为直线x=4。设顶点为 点P，与 x 轴的另一个交点是点 B。(1)求二次函数的解析表达式和顶点P的坐标；(2)如图 1 所示，直线 y=2 x上是否有点 D使四边形OPBD成为等腰梯形？如果存在，求点D的坐标；O C A B x y M（图）O C A B x y（图）D C M y O A B Q P x y x B A O E A x y B O 图1 M 如果不是，请说明原因；(3)如图2所示，M点是线段OP上的一个移动点（O和P两点除外），它2以每秒单位长度的速度从P点移动到O点,并通过点 M 画直线M N x轴与PB在点N 相交。将 PMN沿直线MN对折得到 P 1 MN。在移动点M移动过程中，设 P 1 MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，移动时间为t秒。求S关于t的函数关系。二次函数中的面积计算题参考答案 1.D 2.A 252xy 3.4.8 5、解法：(1)如图1所示，通过B点，在M处画B M x轴。根据旋转特性，OB=OA=2。AOB=120 ，BOM=60。OM=OB cos60 =2 21=1,BM=OB sin60 =2 23=3 B点坐标为(1,3)。(2)设通过A、O、B三点的抛物线的解析公式为y=a x 2+bx+c 抛物线经过原点，c=0。3024baba解决33233ba 抛物线的解析公式为y=33x 2+332x。(3)存在。在图 2 中，连接AB，在C点穿过抛物线的对称轴，然后连接OC。OB的长度是一个固定值，为了使 BOC 的周长最小，BC+OC的长度必须是最小的。A点和O点关于抛物线的对称轴对称，OC=AC。O P C B A x y 图1 图2 M O A x P N C B y BC+OC=BC+AC=AB。_ 从“两点之间，线段最短”的原理可知，此时BC+OC最小，C点的位置就是想要的。设直线AB的解析公式为y=k x+m，将A(-2,0),B(1,3)代入，得 302mkmk解决方案必须33233mk 直线AB 的解析公式为y=33x+332。抛物线的对称轴为直线x=332332=-1，即x=-1。x=-1代入直线AB 的解析表达式，得到y=33(-1)+332=33。C点坐标为(-1,33)。(4)PAB面积最大。如图3所示，一条平行线通过点P作为y轴与AB相交于点D。S PAB=S PAD+S PBD=21(y D-y P)(x B-x A)21(33x 332)(33x 2 332x)(1 2)23x 2 23x 3 23(x 21)2 839 当x=-时，21PAB的面积有最大值，最大值为839。此时y P=33(-21)2+332(-21)=-43。此时P点坐标为(-21,-43)。6、解法：（1）将A(1,0)和B(-3,0)代入y=-x2+bx+c得到 03901cbcb解决方案必须32cb 抛物线的解析公式为y=-x 2-2 x+3。(2)存在。A x y B O 图2 C A x y B O 图3 D P 轴是x=-)(122=-1 抛物线在点A和B处与x轴相交，两点A和B关于抛物线的对称轴 x=-1是对称的。由轴对称性质可知，直线BC与x=-1的交点为期望点Q，此时 QAC的周长最小，如图1所示。x=0代入y=-x 2-2 x+3得到y=3。C点坐标为(0,3)。设直线BC的解析公式为y=k x+b 1，将B(-3,0)和C(0,3)代入，我们得到 30311bbk解决方案必须311bk 直线BC的解析公式为y=x+3。同时31xxy解决21yx 点Q的坐标是(-1,2)。(3)存在。设P点坐标为(x,-x 2-2 x+3)(-3 x 0)，如图 2所示。S PBC=S四边形PBOC-S BOC=S四边形PBOC-21 3 3=S四边形PBOC-29 当S四边形PBOC有最大值时，S PBC为最大值。S四边形PBOC=S Rt PBE+S直角梯形PEOC=21BE PE+21(PE+OC)OE 21(x 3)(x 2 2 x 3)21(x 2 2 x 3 3)(x)23(x 23)2 29827 当x=-时，23S四边形的PBOC最大值为29+827。S PBC最大值=29+827-29=827 当x=-23,-x 2-2 x+3=-(-23)2-2 (-23)+3=415.P点坐标为(-23,415)7.解：(1)由题中知道A(-1,-1),B(4,4)，代 入 y=a x 2+b x-4，得 4441614 baba解决方案必须21 ba 抛物线的解析公式为y=x 2-2 x-4 3 点 O B A C y x Q 1x 图1 O B A C y x Q 图2 E P A C B P O N x y xm yx 由x=m和y=x得到交点N(m,m)_ 同样，我们可以得到M(m,m 2-2m-4),P(m,0)PN|m|，MP|米2 2m 4|0 m 5 1 MN MP PN m m 2 2m 4 m 2 3m 4(3)通过B使BC MN到 C 那么BC=4-m,OP=m S=S MON+S BMN=21MN OP+21MN BC=21MN(OP+BC)=2(-m 2+3m+4)=-2(米-23)2+225 -2 0 不管a 是一个实数，这个函数的图形总是有两个与x 轴的交点。(2)令x 1和x 2为y=x 2+a x+a-2=0的两个根 然后x 1+x 2=-a，x 1 x 2=a-2。该函数的图形与x轴的两个交点的距离为13，(x 1-x 2)2=13。即(x 1+x 2)2-4 x 1 x 2=13。(-a)2-4(a-2)=13，整理出(a+1)(a-5)=0 后，解为a=-1或a=5。a 0,a=-1。这个二次函数的解析公式是y=x 2-x-3。(3)设点P 的坐标为 (x p,y p)函数图和x轴的两个交点是13,AB=13。S PAB 21AB|和p|2133，即213|和p|2133|和p|3，和p 3 当y p=3,x p 2-x p-3=3 时，解为x p=-2或x p=3；当y p=-3,x p 2-x p-3=-3时，解为x p=0或x p=1。综上所述，函数图 上有一个点 P，使得2133PAB的面积为，点P的坐标为：P1(-2,3)、P2(3,3)、P3(0,-3)或P4(1,-3)。_ _ _ 9、解：（1）从t 2+2 t-24=0，解为t 1=-6，t 2=4。t 1 t 2,A(-6,0),B(0,4)。抛物线y=32x 2+b x+c的图像经过点A和B 4062 4ccb解决4314 cb 这个抛物线的解析公式是y=32x 2+314x+4。(2)点P(x,y)在抛物线上，位于第三象限，y 0。还有 S 2 S APO 2|办公自动化|和|21|办公自动化|和|6|和|S=-6和分钟_ 6(32x 2 314x 4)4(x 2 7 x 6)4(x 27)2 25 设y=0，则32x 2+314x+4=0，解为x 1=-6,x 2=-1。抛物线与x轴的交点坐标为(-6,0),(-1,0)x的取值范围是-6 x -1。(3)当S=24,-4(x+27)2+25=24 时，解为：x 1=-4,x 2=-3。代入抛物线的解析公式：y 1=y 2=-4。点P的坐标为(-3,-4),(-4,-4)。当点P为(-3,-4)时，满足PO=PA，此时OPAQ为菱形。当点P为(-4,-4)时，PO=PA不满足，此时OPAQ不是菱形 要使OPAQ为正方形，则必须有OA PQ，OA=PQ，此时该点的坐标为(-3,-3)，且(-3,-3)不在抛物线上y=32x 2+314x+4，所以没有这个点P，使得OPAQ是一个正方形。10.解：(1)OA和OC的长度是方程 x 2-5 x+4=0,OA OC的两个根。OA=1，OC=4。A点在x轴的负半边，C点在y轴的负半边 A(-1,0),C(0,-4)。抛物线的对称轴y=a x 2+b x+c 是x=1 可以得到点 B 的坐标为(3,0)。、B、C三点坐标为：A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-4)。(2)点C(0,-4)在抛物线上y=a x 2+b x+c图像，c=-4。A(-1,0)和B(3,0)代入y=a x 2+b x-4 得到 043904 baba解决方案必须3834 ba 这条抛物线的解析公式是y=34x 2-38x-4。(3)BD=m,A D=4-m。y x B D O A E C F 在 Rt BOC中，B C 2=OB 2+OC 2=3 2+4 2=25，BC=5。DE BC,ADE ABC BCDE=ABAD，即5DE=44m 。DE=4520m .通过点E，使EF AB在点F，则 sin EDF=sin CBA=BCOC=54。DEEF 54，EF 54DE 54 4520m 4-m S S CDE S ADC-S ADE 21(4 米)4 21(4 米)(4 米)21米2 2m 21(m 2)2 2（0 m 4）210 当m=2 时，S的最大值为 2。此时OD=OB-BD=3-2=1。_ _ 此时D点坐标为(1,0)。11.解法：(1)如图1所示，通过C，在E点使CE AB，则四边形AECD是一个矩形。AE=CD=4，CE=DA=6。i=3:4,EBCE=43。EB=8,AB=12。在 Rt CEB中，由勾股定理：公元前=22EBCE=10。(2)假设PC和BQ相互平分。DCAB,四边形PBCQ是一个平行四边形（此时Q在CD中），如图2所示。CQ=BP，即3 t-10=12-2 t。求解t=522，即当t=522秒时，PC和BQ相互平分。(3)Q在BC上时310，即0t 16,当t=3秒时，y的最大值为581cm 2。12个解决方案：（1）从033903 baba问题 求解21 ba所需抛物线的解析公式为y=-x 2-2 x+3；(2)有一个点P 满足条件，其10坐标为P(-1,)或P(-1,10)或P(-1,6)或P(-1,);35(3)方案一：使EF x轴在F点通过E点，令E(m,-m 2-2m+3)(-3 a 0)那么EF=-m 2-2m+3,BF=m+3,OF=-m。S四边形BOCE=S BEF+S梯形FOCE=21BF EF+21(EF+OC)OF=21(m+3)(-m 2-2m+3)+21(-m 2-2m+6)(-m)。9分=-23m 2-29m+29=-23(m+23)2+863 当m=-23时，S四边形BOCE最大，最大值为863。此时y=-(-23)2-2 (-23)+3=415（310 t 314）（0 t 310）E F O C A B x y 此时E点坐标为(-23,415)。解决方案2：使EF x轴在F点通过E点，设E(x,y)(-3 x 0)则S四边形BOCE=S BEF+S梯形FOCE 21BF EF 21（EF OC）OF 21(3 x)y 21(3 y)(x)=23(y-x)=23(-x 2-3 x+3)=-23(x+23)2+863 当x=-23时，S四边形BOCE最大，最大值为863。此时y=-(-23)2-2 (-23)+3=415 此时E点坐标为(-23,415)。13 解：(1)将A(-2,0)代入y=a(x-1)2+33，得到0=a(-2-1)2+33。a=-33 抛物线的解析公式为y=-33(x-1)2+33 即y=-33x 2+332x+338。(2)设点D的坐标为(x D,y D)，因为D是抛物线的顶点 x D=-)(332332=1,y D=-33 1 2+332 1+338=33。D点坐标为(1,33)。N处画DN x-轴通过点D，则D N=33,A N=3,AD=22333)(=6。DAO=60 OM AD 当AD=OP时，四边形DAOP为平行四边形。OP=6 t=6(s)当DP OM 时，四边形DAOP为直角梯形。使E处的OE AD轴通过O点。在 Rt AOE中，AO=2，EAO=60 ，AE=1。AE=1 也可由 Rt AOE Rt AND 得到）四边形DEOP是一个矩形，OP=DE=6-1=5。t=5(s)当PD=OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP=AD-2 AE=6-2=4。t=4(s)D C M y O A B Q F N E P x 综上所述，当t=6 s、5 s和 4 s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形和等腰梯形。(3)DAO=60 ，OM AD，COB=60 。OC=OB，COB是等边三角形，OB=OC=AD=6。BQ=2 t,OQ=6-2 t(0 t 3)通过点P，使PF x轴在F中，则PF=23t。S四边形BCPQ=S COB-S POQ=21 6 33-21(6-2 t)23t=23(t-23)2+8363 当t=23(s)时，S四边形BCPQ的最小值为8363。此时OQ=6-2 t=6-2 23=3,OP=23,OF=43,QF=3-43=49,PF=433。PQ 22QFPF 2249433)()(233_ 14.解法：(1)使AF x-轴在F处通过A点。那么OF=OA cos 60=2 21=1，AF=OA sin 60=2 23=3。A(1,3)代入线性解析公式，我们得到m133=3,m=334。y=33x+334令y=0，得到33x+334=0，x=4。E(4,0)(2)设通过A、O、E三点的抛物线的解析公式为y=a x 2+bx+c 抛物线经过原点，c=0。04163baba解决33433ba 抛物线的解析公式为y=33x 2+334x。(3)使PG x轴在G 过P 点，令P(x 0,y 0)。S=PGEAFGPAOFSSS梯形 y x B A O E F G P=2)4(2)1)(3(230000yxxy=21(3x 0+3 y 0)=21(-3x 0 2+35x 0)=23(x 0 25)2+3825 当x 0=25时，S最大=3825。15.解：二次函数的解析式为y=x 2-8 x+12 2分 P点为(4,-4)3 点(2)有一点D使四边形OPBD成为等腰梯形。原因如下：当y=0,x 2-8 x+12=0 x 1=2,x 2=6 B 点坐标为 (6,0)设直线BP 的解析公式为 y=kx+m 直线BP的解析公式为 y=2 x-12 直线外径BP 4点 顶点坐标P(4,-4)OP=42 设D(x,2 x)则BD 2=(2 x)2+(6 x)2 当BD=OP时，(2 x)2+(6 x)2=32 解：x 1=52,x 2=26分 当x 2=2，OD=BP=52时，四边形OPBD为平行四边形，丢弃 当x=7 分时，四边形52OPBD是等腰梯形 当D(52,54)时，四边形OPBD是等腰梯形.8 分(3)当 0 t 2 时，移动速度为2单位长度每秒，移动时间为t秒，那么MP=2t PH=t,MH=t,HN=21t MN=23t S=23t t 21=43t 2 10 分 当 2 t 4,P 1G=2t-4,P 1 H=t MN OB EFP1MNP1 211)(11HPGPSSMNPEFP_22)42(431tttSEFP EFPS1=3 t 2-12 t+12 S=43t 2-(3 t 2-12 t+12)=-49t 2+12 t-12 x P1 M A O B C P N y H x P1 M A O B C P N G H E F y DO x A O B C P y 当0 t 2时，S=43t 2 当2 t 4时，S=-49t 2+12 t-12.12点