初中经典几何证明练习题含答案.pdf
.1 初 中 几 何 证 明 题 经 典 题一 1、：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO 求证：CDGF 初二 证明：过点 G 作 GHAB 于 H，连接 OE EGCO，EFAB EGO=90，EFO=90 EGO+EFO=180 E、G、O、F 四点共圆 GEO=HFG EGO=FHG=90 EGOFHG FGEO=HGGO GHAB，CDAB GHCD CDCOHGGO CDCOFGEO EO=CO CD=GF 2、：如图，P 是正方形 ABCD 部的一点，PADPDA15。求证：PBC 是正三角形 初二 证明：作正三角形 ADM，连接 MP MAD=60，PAD=15 MAP=MAD+PAD=75 BAD=90，PAD=15 BAP=BAD-PAD=90-15=75 BAP=MAP MA=BA，AP=AP MAPBAP BPA=MPA，MP=BP 同理CPD=MPD，MP=CP PADPDA15 PA=PD，BAP=CDP=75 BA=CD BAPCDP BPA=CPD BPA=MPA，CPD=MPD MPA=MPD=75 BPC=360-754=60.1 MP=BP，MP=CP BP=CP BPC 是正三角形 3、：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于E、F 求证：DENF 证明:连接 AC，取 AC 的中点 G,连接 NG、MG=DN，CG=DG GNAD，GN=21AD DEN=GNM AM=BM，AG=CG GMBC，GM=21BC F=GMN AD=BC GN=GM GMN=GNM DEN=F 经 典 题二 1、：ABC 中，H 为垂心各边高线的交点，O 为外心，且 OMBC 于 M 1求证：AH2OM；2假设BAC600，求证：AHAO 初二 证明：1延长 AD 交圆于 F，连接 BF，过点 O 作 OGAD 于G OGAF AG=FG AB=AB F=ACB 又 ADBC，BEAC BHD+DBH=90 ACB+DBH=90 ACB=BHD F=BHD BH=BF 又 ADBC DH=DF AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2GH+DH=2GD 又 ADBC，OMBC，OGAD 四边形 OMDG 是矩形 OM=GD AH=2OM 2连接 OB、OC BAC=60BOC=120 OB=OC，OMBC BOM=21BOC=60OBM=30 BO=2OM 由1知 AH=2OMAH=BO=AO.1 2、设 MN 是圆 O 外一条直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条割线交圆 O 于 B、C 及 D、E，连接 CD 并延长交 MN 于 Q，连接 EB 并延长交 MN 于 P.求证：APAQ 证明：作点 E 关于 AG 的对称点 F，连接 AF、CF、QF AGPQ PAG=QAG=90 又GAE=GAF PAG+GAE=QAG+GAF 即PAE=QAF E、F、C、D 四点共圆 AEF+FCQ=180 EFAG，PQAG EFPQ PAF=AFE AF=AE AFE=AEF AEF=PAF PAF+QAF=180 FCQ=QAF F、C、A、Q 四点共圆 AFQ=ACQ 又AEP=ACQ AFQ=AEP 3、设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q 求证：APAQ 初二 证明：作 OFCD 于 F，OGBE 于 G，连接 OP、OQ、OA、AF、AG C、D、B、E 四点共圆 B=D，E=C ABEADC DFBGFD2BG2DCBEADAB ABGADF AGB=AFD AGE=AFC AM=AN，OAMN 又 OGBE，OAQ+OGQ=180 O、A、Q、E 四点共圆 AOQ=AGE 同理AOP=AFC AOQ=AOP 又OAQ=OAP=90，OA=OA OAQOAP AP=AQ 4、如图,分别以ABC 的 AB 和 AC 为一边,在ABC 的外侧作正方形 ABFG 和正方形 ACDE，点 O 是DF 的中点，OPBC 求证：BC=2OP初二 在AEP 和AFQ 中 AFQ=AEP AF=AE QAF=PAE AEPAFQ AP=AQ.1 证明：分别过 F、A、D 作直线 BC 的垂线，垂足分别是 L、M、N OF=OD，DNOPFL PN=PL OP 是梯形 DFLN 的中位线 DN+FL=2OP ABFG 是正方形 ABM+FBL=90 又BFL+FBL=90 ABM=BFL 又FLB=BMA=90，BF=AB BFLABM FL=BM 同理AMCD CM=DN BM+=FL+DN BC=FL+DN=2OP 经 典 题三 1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F 求证：CECF 初二 证明：连接 BD 交 AC 于 O。过点 E 作 EGAC 于 G ABCD 是正方形 BDAC 又 EGAC BDEG 又 DEAC ODEG 是平行四边形 又COD=90 ODEG 是矩形 EG=OD=21BD=21AC=21AE EAG=30 AC=AE ACE=AEC=75 又AFD=90-15=75 CFE=AFD=75=AEC CE=CF 2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F 求证：AEAF 初二 证明：连接 BD，过点 E 作 EGAC 于 G ABCD 是正方形 BDAC，又 EGAC BDEG 又 DEAC ODEG 是平行四边形 又COD=90 ODEG 是矩形 EG=OD=21BD=21AC=21CE CAE=CEA=21GCE=15 在AFC 中F=180-FAC-ACF =180-FAC-GCE=180-135-30=15 F=CEA AE=AF.1 QCABPGCE=30 AC=EC 3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE 求证：PAPF 初二 证明：过点 F 作 FGCE 于 G，FHCD 于 H CDCGHCGF 是矩形 HCF=GCFFH=FG HCGF 是正方形 CG=GF APFP APB+FPG=90 APB+BAP=90 FPG=BAP 又FGP=PBA FGPPBA FG：PB=PG：AB 4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D 求证：ABDC，BCAD 初三 证明：过点 E 作 EKBD，分别交 AC、AF 于 M、K，取 EF 的中点 H，连接 OH、MH、EC EH=FH OHEF，PHO=90 又 PCOC，POC=90 P、C、H、O 四点共圆 HCO=HPO 又 EKBD，HPO=HEK HCM=HEM H、C、E、M 四点共圆 ECM=EHM 又ECM=EFA EHM=EFA HMAC EH=FH 经典题(四)1、：ABC 是正三角形，P 是三角形一点，PA3，PB4，PC5 求APB 的度数 初二 解：将ABP 绕点 B 顺时针方向旋转 60得BCQ，连接 PQ 则BPQ 是正三角形 BQP=60，PQ=PB=3 在PQC 中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 PQC 是直角三角形 PQC=90 BQC=BQP+PQC=60+90=150 APB=BQC=150 2、设 P 是平行四边形 ABCD 部的一点，且PBAPDA 设 AB=*，BP=y，CG=z z：y=*-y+z：*化简得*-y y=*-y z*-y0 y=z 即 BP=FG ABPPGF EM=KM EKBD KMODAMAOEMOB OB=OD 又 AO=CO 四边形 ABCD 的对角线互相平分 ABCD 是平行四边形 AB=DC，BC=AD.1 EPBACDECBAD求证：PABPCB 初二 证明：过点 P 作 AD 的平行线，过点 A 作 PD 的平行线，两平行线相交于点 E，连接 BE PEAD，AEPD ADPE 是平行四边形 PE=AD，又 ABCD 是平行四边形 AD=BC PE=BC 又 PEAD，ADBC PEBC BCPE 是平行四边形 BEP=PCB ADPE 是平行四边形 ADP=AEP 3、设 ABCD 为圆接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD 初三 证明：在 BD 上去一点 E，使BCE=ACD CD=CD CAD=CBD BECADC ACBCADBE ADBC=BEAC BCE=ACD BCE+ACE=ACD+ACE 即BCA=ECD BC=BC,BAC=BDC BACEDC CDACDEAB ABCD=DEAC 4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P，且 AECF求证：DPADPC 初二 证明：过点 D 作 DGAE 于 G，作 DHFC 于 H，连接 DF、DE SADE=12AEDG，SFDC=12FCDH 又 SADE=SFDC=12SABCD AEDG=FCDH 又 AE=CF 又ADP=ABP AEP=ABP A、E、B、P 四点共圆 BEP=PAB PAB=PCB+得 ABCD+ADBC=DEAC+BEAC =DE+BE AC =BDAC HGFDACBEP.1 GFEBCADPGDFEABCPDG=DH 点 D 在APC 的角平分线上 DPADPC 经 典 题五 1、设 P 是边长为 1 的正ABC 任一点，LPAPBPC，求证：3L2 证明：1将BPC 绕 B 点顺时针旋转 60的BEF，连接 PE，BP=BE，PBE=60 PBE 是正三角形。PE=PB 又 EF=PC L=PA+PB+PC=PA+PE+EF 当 PA、PE、EF 在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF 的值最小如图 在ABF 中，ABP=120AF=3 L=PA+PB+PC3 2过点 P 作 BC 的平行线分别交 AB、AC 于 D、G 则ADG 是正三角形 ADP=AGP，AG=DG APDAGP APDADP ADPA 又 BD+PDPB CG+PGPC+得 AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PC AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=L AB=AC=1L2 由12可知：3L2 2、：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 的一点，求 PAPBPC 的最小值 解：将BCP 绕点 B 顺时针旋转 60得BEF，连接 PE，则BPE 是正三角形 PE=PB PAPBPC=PA+PE+EF 要使PAPBPC 最小，则 PA、PE、EF 应该在一条直线上如图 此时 AF=PA+PE+EF.1 GFEDAQBCADP过点 F 作 FGAB 的延长线于 G 则GBF=180-ABF=180-150=30 GF=12，BG=23 AF=22AGGF=2212321=32 PAPBPC 的最小值是32 3、P 为正方形 ABCD 的一点，并且 PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长 证明：将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90得BCQ，连接 PQ 则BPQ 是等腰直角三角形，PQ=2PB=22a=22a 又 QC=AP=a QP2+QC2=(22a)2+a2=9a2=PC2 PQC 是直角三角形 BQC=135 BC2=BQ2+CQ2-2BQCQcosBQC =PB2+PA2-2PBPAcos135 =4a2+a2-22aa(-22)解得 BC=a225 正方形的边长为a225 4、如图，ABC 中，ABCACB80，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA30，EBA20，求BED 的度数 解：在 AB 上取一点 F，使BCF=60，CF 交 BE 于 G，连接 EF、DG ABC=80，ABE=20，EBC=60，又BCG=60 BCG 是正三角形BG=BC ACB=80，BCG=60FCA=20EBA=FCA 又A=A，AB=ACABEACFAE=AF AFE=AEF=12180-A=80 又ABC=80=AFEEFBCEFG=BCG=60 EFG 是等边三角形EF=EG，FEG=EGF=EFG=60.1 ACB=80，DCA=30BCD=50 BDC=180-BCD-ABC=180-50-80=50 BCD=BDCBC=BD 前已证 BG=BCBD=BG BGD=BDG=12180-ABE=80 FGD=180-BGD-EGF=180-80-60=40 又DFG=180-AFE-EFG=180-80-60=40 FGD=DFGDF=DG 又 EF=EG，DE=DEEFDEGD BED=FED=12FEG=1260=30 5、如图，ABC 接于O，且 AB 为O 的直径，ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P，过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F，假设 AC=6，BC=8，求线段 PD 的长。解：ACD=BCD AD=BDAD=BD AB 为O 的直径 ADB=90 ABD 是等腰直角三角形 ACB=90，AC=6，BC=8 AB=10 AD=ABcosDAB=1022=52 又 AECD，ACD=45 ACE 是等腰直角三角形CE=AE=ACcosCAE=622=32 在ADE 中，DE2=AD2-AE2DE2=32232522）（）（-DE=24 CD=CE+DE=32+24=27 PDA=PCD，P=P PDAPCD 752725CDADPDPAPCPD PC=57PD，PA=75PDPC=PA+AC57PD=75PD+6 解得 PD=435
