内蒙古包头市包钢四中高二上学期期末考试数学试卷文科.pdf

高中数学-打印版 校对打印版 2015-2016 学年内蒙古包头市包钢四中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1已知 A=x|x+10，B=2，1，0，1，则 AB=（）A2，1 B2 C1，0，1 D0，1 2命题“对任意 xR，都有 x 2ln2”的否定为（）A对任意 xR，都有 x 2ln2 B不存在 xR，都有 x 2ln2 C存在 xR，使得 x 2ln2 D存在 xR，使得 x 2ln2 3若点（1，a）到直线 xy+1=0 的距离是，则实数 a 为（）A1 B5 C1 或 5 D3 或 3 4两个不同的平面、，m 为 内的一条直线，命题 p：，命题 q：m，则 p 是 q 的（）A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 5直线的倾斜角为（）A B C D 6若直线 l1：ax+2y+6=0 与直线 l2：x+（a1）y+a21=0 垂直，则 a=（）A2 B C1 D2 7过点 A（1，1）、B（1，1）且圆心在直线 x+y2=0 上的圆的方程是（）A2=4 B2=4 C2=4 D2=4 8已知双曲线（a0）的离心率为 2，则实数 a=（）A2 B C D1 9过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2+y24y=0 所截得的弦长为（）A2 B2 C D 10如图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间22，30）内的概率为（）高中数学-打印版 校对打印版 A0.2 B0.4 C0.5 D0.6 11椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（）A B C2 D4 12已知点 A（2，3）、B（3，2）直线 l 过点 P（1，1），且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（）A或 k4 B或 C D 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13函数 f（x）=的定义域是 （2016 浦东新区三模）抛物线的准线方程为 15已知椭圆+=1 的两个焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆上一点，则 PF1F2的周长为 16双曲线 3x2y2=1 的一个焦点到它的渐近线的距离为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17如图，在正四棱锥 PABCD 中，PA=AB=2，点 E 在棱 PC 上（1）点 E 在何处时，PA 平面 EBD，并加以证明（2）求正四棱锥 PABCD 的体积 高中数学-打印版 校对打印版 18如图是我校 100 名高三学生第 6 次月考考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求图中 a 的值和这 100 名学生数学成绩的平均数；（2）若这 100 名学生数学成绩某些分数段的人数（x）与地理成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求地理成绩在50，90）之外的人数 分数段 50，60）60，70）70，80）80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：5 19设 F1、F2分别为椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点（）若椭圆上的点 A（1，）到点 F1、F2的距离之和等于 4，求椭圆 C 的方程；（）设点 P 是（）中所得椭圆 C 上的动点，求线段 F1P 的中点 M 的轨迹方程 20已知抛物线 y2=ax（a0），经过焦点且倾斜角为 135的直线被抛物线所截得的弦长为 8，试求抛物线的方程 21已知圆 C 经过点 A（2，0），B（0，2），且圆心 C 在直线 y=x 上，又直线 l：y=kx+1 与圆C 相交于 P、Q 两点（1）求圆 C 的方程；（2）若，求实数 k 的值 22一个口袋内有大小相等的 1 个白球和已编有不同号码的 3 个黑球，从中摸出 2 个球，（1）共有多少种不同的结果？（2）摸出 2 个黑球的概率是多少？高中数学-打印版 校对打印版 2015-2016 学年内蒙古包头市包钢四中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1已知 A=x|x+10，B=2，1，0，1，则 AB=（）A2，1 B2 C1，0，1 D0，1【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 A 中不等式解得：x1，B=2，1，0，1，AB=0，1 故选 D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2命题“对任意 xR，都有 x 2ln2”的否定为（）A对任意 xR，都有 x 2ln2 B不存在 xR，都有 x 2ln2 C存在 xR，使得 x 2ln2 D存在 xR，使得 x 2ln2【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：存在 xR，使得 x 2ln2，故选：D【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 3若点（1，a）到直线 xy+1=0 的距离是，则实数 a 为（）A1 B5 C1 或 5 D3 或 3【分析】由点到直线的距离公式进行解答，即可求出实数 a 的值【解答】解：点（1，a）到直线 xy+1=0 的距离是，=；高中数学-打印版 校对打印版 即|a2|=3，解得 a=1，或 a=5，实数 a 的值为1 或 5 故选：C【点评】本题考查了点到直线的距离公式的应用问题，解题时应熟记点到直线的距离公式，是基础题 4两个不同的平面、，m 为 内的一条直线，命题 p：，命题 q：m，则 p 是 q 的（）A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【分析】由命题 q：m，m，可得；反之不成立，m 或 m 或 m 与 相交【解答】解：由命题 q：m，m，可得；反之不成立，m 或 m 或 m 与 相交 因此 p 是 q 的必要不充分条件 故选：C【点评】本题考查了空间位置关系的判定、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 5直线的倾斜角为（）A B C D【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角【解答】解：直线的斜率 k=，直线的倾斜角是为 故选：B【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线倾斜角与斜率 k 的关系 6若直线 l1：ax+2y+6=0 与直线 l2：x+（a1）y+a21=0 垂直，则 a=（）A2 B C1 D2 高中数学-打印版 校对打印版【分析】根据直线 l1与 l2垂直，A1A2+B1B2=0，列出方程求出 a 的值【解答】解：直线 l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a1）y+a21=0，且 l1l2，a1+2（a1）=0；解得：a=故选：B【点评】本题考查了直线方程的应用问题，考查了两条直线互相垂直的应用问题，是基础题目 7过点 A（1，1）、B（1，1）且圆心在直线 x+y2=0 上的圆的方程是（）A2=4 B2=4 C2=4 D2=4【分析】先求 AB 的中垂线方程，它和直线 x+y2=0 的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程【解答】解：圆心一定在 AB 的中垂线上，AB 的中垂线方程是 y=x，排除 A，B 选项；圆心在直线x+y2=0 上验证 D 选项，不成立 故选 C【点评】本题解答灵活，符合选择题的解法，本题考查了求圆的方程的方法是基础题目 8已知双曲线（a0）的离心率为 2，则实数 a=（）A2 B C D1【分析】由双曲线方程找出 a，b，c，代入离心率，从而求出 a【解答】解：由题意，e=2，解得，a=1 故选 D【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题 9过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2+y24y=0 所截得的弦长为（）高中数学-打印版 校对打印版 A2 B2 C D【分析】先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解【解答】解：根据题意：直线方程为：y=x，圆 x2+y24y=0，圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，弦长为 2=2，故选 A【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，是常考题型，属中档题 10如图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间22，30）内的概率为（）A0.2 B0.4 C0.5 D0.6【分析】由茎叶图 10 个原始数据数据，数出落在区间22，30）内的个数，由古典概型的概率公式可得答案【解答】解：由茎叶图 10 个原始数据，数据落在区间22，30）内的共有 4 个，包括 2 个 22，1 个27，1 个 29，则数据落在区间22，30）内的概率为=0.4 故选 B【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题 11椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（）A B C2 D4【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出 m 的值 高中数学-打印版 校对打印版【解答】解：椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，故选 A【点评】本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数 m 的值 12已知点 A（2，3）、B（3，2）直线 l 过点 P（1，1），且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（）A或 k4 B或 C D【分析】画出图形，由题意得 所求直线 l 的斜率 k 满足 kkPB 或 kkPA，用直线的斜率公式求出kPB 和 kPA 的值，解不等式求出直线 l 的斜率 k 的取值范围【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线 l 的斜率 k 满足 kkPB 或 kkPA，即 k 或 k4 故选：A 【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13函数 f（x）=的定义域是（，1）（1，+）=，x210，x1 或 x1，高中数学-打印版 校对打印版 用区间表示，函数 f（x）=的定义域是（，1）（1，+）故答案为：（，1）（1，+）【点评】此题主要考查函数的定义域及其求法，此题是一道基础题 14抛物线的准线方程为 y=1 【分析】化抛物线方程为标准式，求得 p，则直线方程可求【解答】解：由，得 x2=4y，2p=4，即 p=2，则抛物线的准线方程为 y=1 故答案为：y=1 【点评】本题考查抛物线的简单性质，是基础题 15已知椭圆+=1 的两个焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆上一点，则 PF1F2的周长为 18 【分析】由题意知 a=5，b=3，c=4，从而可得|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8【解答】解：由题意作图如右图，椭圆的标准方程为+=1，a=5，b=3，c=4，|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8，PF1F2的周长为 10+8=18；故答案为：18 高中数学-打印版 校对打印版 【点评】本题考查了数形结合的思想应用及椭圆的定义的应用 16双曲线 3x2y2=1 的一个焦点到它的渐近线的距离为 1 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，可得 a，b，c 的值，渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值【解答】解：双曲线 3x2y2=1 即为 y2=1，可得 a=，b=1，c=，则一个焦点（，0）到它的渐近线 y=x 的距离为 d=1 故答案为：1【点评】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17如图，在正四棱锥 PABCD 中，PA=AB=2，点 E 在棱 PC 上（1）点 E 在何处时，PA 平面 EBD，并加以证明 高中数学-打印版 校对打印版（2）求正四棱锥 PABCD 的体积 【分析】（1）连接底面对角线，交于点 O，连接 OE，利用三角形中位线的性质可得 OE PA，再由线面平行的判定得答案；（2）求解直角三角形得到四棱锥的高，代入体积公式求得正四棱锥 PABCD 的体积【解答】（1）证明：点 E 为 PC 的中点时，PA 平面 EBD 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 EO 在正方形 ABCD 中，AO=OC，又 PE=EC，OE 为三角形 PAC 的中位线，OE PA，又 PA平面 B 1CD，OE平面 B 1CD，PA 平面 EBD；（2）连接 PO，在正四棱锥 PABCD 中，PO底面 ABCD，底面为边长是 2 的正方形，在 Rt POA 中，又 PA=2，则 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱锥体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题 18如图是我校 100 名高三学生第 6 次月考考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100 高中数学-打印版 校对打印版（1）求图中 a 的值和这 100 名学生数学成绩的平均数；（2）若这 100 名学生数学成绩某些分数段的人数（x）与地理成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求地理成绩在50，90）之外的人数 分数段 50，60）60，70）70，80）80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：5 【分析】（1）根据所以概率的和为 1，即所求矩形的面积和为 1，建立等式关系，可求出所求，均值为各组组中值与该组频率之积的和；（2）分别求出各段的人数，即可求出地理成绩在50，90）之外的人数为【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得 a=0.005 这 100 名学生数学成绩的平均数为：550.05+650.4+750.3+850.2+950.05=73（2）地理成绩在50，60）的人数为：1000.05=5，地理成绩在60，70）的人数为：1000.4，地理成绩在70，80）的人数为：1000.3，地理成绩在80，90）的人数为：1000.2，所以地理成绩在50，90）之外的人数为：1005204025=10【点评】本题主要考查频率分布直方图，平均数的求法难度不大，属于基础题 19设 F1、F2分别为椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点（）若椭圆上的点 A（1，）到点 F1、F2的距离之和等于 4，求椭圆 C 的方程；（）设点 P 是（）中所得椭圆 C 上的动点，求线段 F1P 的中点 M 的轨迹方程 高中数学-打印版 校对打印版【分析】（）若椭圆上的点 A 到点 F1、F2的距离之和等于 4，可求 a，利用点 A（1，）在椭圆上，求出 b，即可得到求椭圆 C 的方程；（）点 P 是（）中所得椭圆 C 上的动点，确定 P，M 坐标之间的关系，即可求线段 F1P 的中点M 的轨迹方程【解答】解：（）由椭圆上的点 A 到点 F1、F2的距离之和是 4，可得 2a=4，即 a=2（1 分）又点 A（1，）在椭圆上，因此=1，解得 b2=3，于是 c2=1（2 分）所以椭圆 C 的方程为=1（3 分）（）设椭圆 C 上的动点 P 的坐标为（x1，y1），点 M 的坐标为（x，y）由（）知，点 F1的坐标为（1，0），则，即 x1=2x+1 y1=2y（5 分）因此=1，即为所求的轨迹方程（6 分）【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，确定坐标之间的关系是关键 20已知抛物线 y2=ax（a0），经过焦点且倾斜角为 135的直线被抛物线所截得的弦长为 8，试求抛物线的方程【分析】依题意，可求得过焦点且倾斜角为 135的直线方程为 y=x+，利用抛物线的定义结合题意可求得 a，从而可求得抛物线方程【解答】解：依题意，抛物线的焦点坐标为（，0），则直线方程为 y=x+设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过 A、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、D 则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+x2+即 x1+x2+=8 又 A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，由直线与抛物线消去 y，得 x2x+=0，高中数学-打印版 校对打印版 x1+x2=将其代入得 a=4，所求抛物线方程为 y2=4x 【点评】本题考查抛物线的标准方程，突出抛物线定义的应用，考查方程组思想与化归思想的综合运用，考查分析与运算能力，属于中档题 21已知圆 C 经过点 A（2，0），B（0，2），且圆心 C 在直线 y=x 上，又直线 l：y=kx+1 与圆C 相交于 P、Q 两点（1）求圆 C 的方程；（2）若，求实数 k 的值【分析】（1）圆心在直线 y=x 上，设圆 C（a，a）半径 r，|AC|=|BC|=r，求得 a，r，得到圆 C 的方程（2）可求得 POQ，进而求出圆心到直 l：kxy+1=0 的距离，再去求 k【解答】解：（I）设圆 C（a，a）半径 r因为圆经过 A（2，0），B（0，2）所以：|AC|=|BC|=r，解得 a=0，r=2，所以 C 的方程 x2+y2=4（II）方法一：因为，所以，POQ=120，所以圆心到直 l：kxy+1=0 的距离 d=1，所以 k=0 方法二：P（x1，y1），Q（x2，y2），因，代入消元（1+k2）x2+2kx3=0 由题意得=4k24（1+k2）（3）0 且和 高中数学-打印版 校对打印版 因为，又 y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，所以，化简得：5k23+3（k2+1）=0，所以：k2=0 即 k=0【点评】本题考查求圆的方程的常用方法，（II）中用向量的数量积，求角，解三角形，点到直线的距离等知识是中档题 22一个口袋内有大小相等的 1 个白球和已编有不同号码的 3 个黑球，从中摸出 2 个球，（1）共有多少种不同的结果？（2）摸出 2 个黑球的概率是多少？【分析】（1）记白球为 A，三个黑球分别是 B1，B2，B3，用列举法求得共有 6 种摸法（2）由于其中摸出两个黑球的方法有 3 种，由此可得摸出 2 个黑球的概率【解答】解：（1）记白球为 A，三个黑球分别是 B1，B2，B3从中任意摸出两个球，结果共有：AB1，AB2，AB3，B1B2，B2B3，B1B3共 6 种（2）摸出两个黑球的结果有：B1B2，B2B3，B1B3，概率为=【点评】本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题