勾股定理经典例题详解A.pdf
勾股定理经典例题详解 A 4094931406.doc 第 2 页 共 13 页 4094931406.doc 第 3 页 共 13 页 4094931406.doc 第 4 页 共 13 页 4094931406.doc 第 5 页 共 13 页 类型四：利用勾股定理作长为的线段 8、作长为、的线段。9、如果ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC 的形状。10.四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。11.已知:ABC 的三边分别为 m2n2 ,2mn ,m2+n2(m,n 为正整数,且 mn),判断ABC 是否为直角三角形.4094931406.doc 第 6 页 共 13 页 12.如图正方形 ABCD，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且ABBF41。请问 FE 与 DE 是否垂直?请说明。13、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。14、如图所示，已知ABC 中，C=90，A=60，求、的值。15.如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF4094931406.doc 第 7 页 共 13 页 GABDCAEFCFEBDAC的长。16、矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为 EF，展开后再沿 BG 折叠，使 A 落在 EF 上的 A1，求第二次折痕 BG 的长。17、在矩形纸片 ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，求（1）DE 的长；（2）EF 的长。18.如图Rt ABC，90C3,4ACBC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 BAC 19.如图（8），水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.4094931406.doc 第 8 页 共 13 页 EDBAC 20、一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？21、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6，BC=8。现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长 22、如图所示，已知在ABC 中，AB=AC，BAC=90，D 是 BC 上任一点，求证：BD2222ADCD。A A BB O第 18 题图 4094931406.doc 第 9 页 共 13 页 答案:1.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 D，则有，再由勾股定理计算出 AD、DC 的长，进而求出 BC 的长.解析：作于 D，则因，（的两个锐角互余）（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.2.思路点拨:图中已有两个直角三角形，但是还没有以 BP 为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一个以 BP 为一边的直角三角形.所以连结 BM.这样，实际上就得到了 4 个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结 BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有 .又（已知），.在中，根据勾股定理有 ，.3.分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、DC 交于 F，或延长AD、BC 交于点 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长 AD、BC 交于 E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，4094931406.doc 第 10 页 共 13 页 BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。DE2=CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=4.思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。解析：（1）过 B 点作 BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC 为直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以 （2）在 RtABC 中，BC=500m，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点 C 在点 A 的北偏东 30的方向 总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出ABC 是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。5.思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m,小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作 ABMN，垂足为 B。在 RtABP 中，ABP90，APB30，AP160，ABAP80。（在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半）点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响，那么 AC100(m)，由勾股定理得：BC21002-8023600,BC60。同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。拖拉机行驶的速度为:18km/h 5m/s t120m5m/s24s。答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24 秒。6.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论 解析：设正方形的边长为 1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为 4094931406.doc 第 11 页 共 13 页 AB+BC+CD3，AB+BC+CD3 图（3）中，在 RtABC 中 同理 图（3）中的路线长为 图（4）中，延长 EF 交 BC 于 H，则 FHBC，BHCH 由FBH 及勾股定理得：EAEDFBFC EF12FH1 此图中总线路的长为 4EA+EF 32.8282.732 图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线 总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质 7.解：如图，在 Rt中，底面周长的一半cm，根据勾股定理得 （提问：勾股定理）AC（cm）（勾股定理）答：最短路程约为cm 8.思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示 （1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角ACB，使 AB 为斜边；（2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为 1 的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是 、。总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如 1cm、1m 等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。举一反三 【变式】在数轴上表示的点。4094931406.doc 第 12 页 共 13 页 解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3 和 1。作法：如图所示在数轴上找到 A 点，使 OA=3，作 ACOA 且截取 AC=1，以 OC 为半径，以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为。9.思路点拨：要判断ABC 的形状，需要找到 a、b、c 的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。(a-3)20,(b-4)20,(c-5)20。a=3，b=4，c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得ABC 是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。10.【答案】：连结 AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理）11.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可 证明：所以ABC 是直角三角形.12【答案】答：DEEF。证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接 DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2+DE2,FEDE。13 思路点拨：现已知 BE、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD 解：连接 AD 因为BAC=90，AB=AC 又因为 AD 为ABC 的中线，所以 AD=DC=DBADBC 且BAD=C=45 因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90 4094931406.doc 第 13 页 共 13 页 所以EDA=CDF 所以AEDCFD（ASA）所以 AE=FC=5 同理：AF=BE=12 在 RtAEF 中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。14 思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。解：在 RtABC 中，A=60，B=90-A=30，则，由勾股定理，得。因为，所以，。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。15.解：因为ADE 与AFE 关于 AE 对称，所以 AD=AF，DE=EF。因为四边形 ABCD 是矩形，所以B=C=90，在 RtABF 中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，所以。所以。设，则。在 RtECF 中，即，解得。即 EF 的长为 5cm。
