MBA数学必备公式(编辑打印版.).doc

MBA 联考数学基本概念和必备公式联考数学基本概念和必备公式1（一）初等数学部分（一）初等数学部分一、绝对值一、绝对值1、非负性：即|a| 0，任何实数 a 的绝对值非负。归纳：所有非负性的变量（1）正的偶数次方（根式） 0,41 21 42aaaa（2）负的偶数次方（根式） 11 2424,0aaaa（3）指数函数 ax (a > 0 且 a1)>0考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。2、三角不等式，即|a| - |b| |a + b| |a| + |b|左边等号成立的条件：ab 0 且|a| |b|右边等号成立的条件：ab 0 3、 要求会画绝对值图像二、比和比例二、比和比例1、%(1%)apap 原值增长率现值%)1 (%papa 现值下降率原值%pppp乙甲，甲是乙的乙乙甲注意：甲比乙大2、 合分比定理：dbcammdbmca dc ba 1等比定理：.aceacea bdfbdfb 3 3、增减性 (m>0) , (m>0)1ba ba mbma01a bba mbma4 4、 注意本部分的应用题三、平均值三、平均值1、当为 n 个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即nxxx，,212), 1 0( ·2121nixxxxnxxxinnn。当且仅当。时，等号成立nxxx212、 2abba。等号能成立另一端是常数，00ba3、2(0)abababba ，同号4、n 个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这 n 个正数相等，且等于算术平均值。四、方程四、方程1、判别式（a, b, c R）无实根两个相等的实根两个不相等的实根00042acb2、图像与根的关系= b24ac>0= 00) x1 x2x1,2f(x) = 0 根1,22bxa 1,22bxa 无实根f(x) > 0 解集x x22bxa XRf(x)0= 00)x1 x2x1,2f(x) = 0 根1,22bxa 1,22bxa 无实根f(x) > 0 解集x x22bxa XRf(x)0 且”)，则称函数 f(x)在 D 上严格单调上升严格单调上升(或严格单调严格单调下降下降)。2、奇偶性： （1）定义： 设函数 y = f(x)的定义域 D 关于原点 O 对称，若对于 D 中的任一个 x，都有f( x ) = f(x) (或 f( x) = f(x)，则称函数 f(x)为奇函数奇函数(或偶函数偶函数)。（2）图像特点：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 y 轴对称，函数 y0 既是奇函数，也是偶函数。3、，按以下方法处理：，只要符合遇到“1 “)()(xgxf00( )( )lim( )lim1 ( ( ) 1)g xg xxxxxf xf x )(1)(1)(1 )1)(1 lim0xgxfxfxxxf00( ) 1( )1lim ( ) 1) ( )( ) 1lim 1 ( ( ) 1)xxf xg x f xg xf xxxf xe )()1)(lim)(00)(limxgxfxgxxxxexf公式：4、常用等价无穷小：当 x0 时，有ex1x ln(1x)x (1x)n1nx引申：当(x) 0 时，ln(1(x)e(x)1(x)，(1(x)n1n·(x)5、当 x+时，增长速度由慢到快排列：lnx，x，x，xx 6、000( )lim( )() xxf xxf xf x 在点连续定义：7、闭区间上连续函数的性质8（1）最值定理一个闭区间函数一定在某一点，达到最大值，在某一点达到最小值。（2）零值定理设 f(x) C(a,b)，且 f(a).f(b)0,(f(x) x0时，f(x)0)，则称 x0为极大值点(极小值点)。 第二充分条件：设 f(x)在 x0点的某一领域内可导且 f(x0)0，f(x0)0'' 000'' 000()0()()0()fxxf xfxxf x若则是极小值点，为极小值若则是极大值点，为极大值注意：，有可能为极值，也可能不是极值。'' 0()0fx 不能判定用11（3）极值存在的必要条件若 x0为 f(x)的极值点，且 f(x0)存在，则 f(x0)0注：f(x0)0 不能推出 x0为 f(x)的极值点如：yx3 ，在 x0 处必有 y00)( '00极值点即：xfx 14、驻点(稳定点)（1）( )0fx定义：满足的点，称为驻点（2）驻点 极值点15、函数的最值及其求解（1）若 f(x)在a，b上连续，则 f(x)在a，b上必有最大值、最小值（2）设函数 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内有一个极值点 x ，则0若 x 是 f(x)的极大值点，那么 x 必为 f(x)在a,b上的最大值点；00若 x 是 f(x)的极小值点，那么 x 必为 f(x)在a,b上的最小值点。00（3）求最值的方法 （最值是a,b整体概念，极值是局部概念）(a)求 f(x)在(a,b)内所有驻点和导数不存在的点(b)求出以上各函数值及区间a,b端点的函数值(c)比较上述数值，最大的为最大值，最小的为最小值最大值：M:maxf(a)，f(b)，f(x1)，f(x0)最小值：m:minf(a)，f(b)，f(x1)，f(x0)其中：x1，x0为 f(x)所有可能的极值点1216、驻点、极值点、最值点的联系与区别驻点、极值点、最值点的联系与区别驻点 。0)( ' xf。.0)0( ')0( '0x0)( ' '0)( '321xfxfxfxf边界 .ba ba。17、函数的切线与法线切线与法线求法0000000 0'()()1()'()xyyfxxxxyyxxfx 一般地，在处切线方程为在处法线方程为18、函数凹凸性及其判定（1）凹弧（a）定义：如果曲线在其任一点切线之上，称曲线为凹弧（b）凹弧的切线斜率随着 x 的增大而增大，即 f(x)单调递增（c）设 f(x)在(a，b)上二阶可导，f(x)为凹弧的充要条件为 f(x) 0 x(a,b)(2)凸弧13（a）定义：若曲线在其任一点切线之下，称曲线为凸弧（b）凸弧的切线斜率随着 x 的增大的而减小，即 f(x)单调递减（c）设 f(x)在(a,b)二阶可导，f(x)为凸弧的充要条件为 f(x) 0(3)常见函数的性质f(x) ax(a>1) ax(01) logax(0n 时，则其线性相关. .0|A|).,(An(2)m21nn判断相关性根据时，令n三、线性方程组三、线性方程组（一）关于方程组解的性质 121122112211221121122112211221211,00 :02 1)1, :2)kkkkkkkkkkkkkkkkAXAX AAAAAX AX AAAA 、若为的解, 则为的解 分析、若为的解 当时为的解 分析当211220,0kkkAX 时为的解1212121230 :,-0-0AXAX x xAXA xxAxAxxxAX 、任何两个解之差为的解 分析若为的解即为的解（二）含有参数的线性方程组的求解。1齐次线性方程组 AX0解题提示：对系数矩阵 A 进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：（1）线性方程组只有零解，即 r(A)n；（2）线性方程组有非零解，即 r(A)0 时若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 必不互斥(独立不互斥)若 A 与 B 互斥，则 A 与 B 必不独立(互斥不独立)注意：Ø 与任事件即互斥也独立8.判断 A 与 B 相互独立的充要条件(1)定义 P(AB)=P(A)P(B)(2)P(B|A)=P(B) (P(A)>0)或 P(A|B)=P(A) (P(B)>0)，即：B 的发生不受 A 的影响(3)00)分析：P(|X|a)=1-P(|X|<a)=2(1-F(a)(5)若 EX 存在，则 EX=09、数学期望有以下重要性质：(1) 若 C 为常数，则 E(C) = C.(2) 若 X 为一个随机变量，C 为常数，则 E(CX) = CE(X).(3) 若 X 为一个随机变量，C 和 k 为常数，则 E(kx + C) = kE(x) + C.(4) 若 X,Y 是两个随机变量，则有 E(X + Y) = E(X) + E(Y)有性质(2)和性质(4)，我们可以得到以下结论：若 X1,X2Xk为 k 个随机变量，C1,C2,Ck为常数，则. )()(11 KiiiKiiiXECXCE(5) 设 Y 是随机变量 X 的函数：Y= g(X),其中 g 是连续函数，则关于随机变量 Y 的数学期望，有以下结论：2911( )(),1,2,()( ) ()().( )( ),( )( )( ) ()( ) ( ).kkkkkk kkiXpP Xxkg xpE YE g Xg xPiiXp xg xp x dxE YE g Xg x p x dx 若是离散型随机变量，它的概率分布为如果绝对收敛，则有若是连续型随机变量，它的概率密度函数如果，绝对收敛则有10、 方差及性质(1) 若 C 为常数，则 D(C) = 0,即常量的方差等于零。(2) 若 k 为常数，X 为一个随机变量，则 D(kX) = k2D(X).(3) 若 C 为常数，X 为一个随机变量，则 D(X+C) = D(X).(4) 若 k 和 C 为常数，X 为随机变量，则 D(kX + C) = k2D(X).11、标准差具有相同的量纲。标准差与的或简记为的标准差，记为称为方差的非负平方根XXxXXD)(数学期望EX方差DXEC=C （C为常数）DC=0E( kX) = kEXD( kx ) = k2DXE( X+C) = EX+CD( X+C) = DXE(X±Y) = EX±EY()D XYDXDY独立（独立）EYEXXYE)(DX = EX2-(EX)2 （重要）30科科 目目结论结论初初 数数（1）n 个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这 n 个正数相等，且等于算术平均值。（2）奇数次方程在定义域内至少有一个实数根。微积分微积分（1）连续函数必定有原函数（注意：不一定有极值！）（2）奇（偶）函数的导数必定为偶（奇）函数（3）奇函数的原函数必定为偶函数（4）周期函数的导数必定是周期函数，最小正周期不变线线 代代（1）对于 AX0，当 m<n 时，必定有无穷多解（非零解）（2）对于 AX,当 m<n 时，必定没有唯一解（3）零向量必定与任何向量线性相关（4）若两个线性无关的向量组互相等价，则它们包含的向量的个数必定相等 （5）数量矩阵可以与任何矩阵相交换概概 率率（1）空集 必定与任何事件既相互独立也互斥（2）A、B 不为 ,不可能事件若 A、B 互斥，则 A、B 必定不互相独立若 A、B 独立，则 A、B 必定相容（3）离散型随机变量中只有几何分布不具有记忆性，连续型随机变量中只有指数分布不具有记忆性（4）概率中的必考分部公式：正态分布