概率论及数理统计结课论文.pdf

.-可修编.概率论与数理统计课程总结报告 概率论与数理统计在日常生活中的应用 ：学号：专业：电子信息工程 .-可修编.摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式 基本知识 1.1 概率的重要性质 1.1.1 定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数，记为 P（A），称为事件的概率。概率)(AP满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 1)(0AP（2）规 X 性：对于必然事件 S 1)S(P（3）可列可加性：设nAAA,21是两两互不相容的事件，有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）1.1.2 概率的一些重要性质（i）0)(P（ii）若nAAA,21是两两互不相容的事件，则有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）（iii）设 A，B 是两个事件若BA，则)()()(APBPABP，)A()B(PP（iv）对于任意事件 A，1)(AP（v）)(1)(APAP （逆事件的概率）.-可修编.（vi）对于任意事件 A，B 有)()()()(ABPBPAPBAP 1.2 随机变量的数字特征 1.2.1 数学期望 设离散型随机变量 X 的分布律为kkpxXP，k=1,2，若级数1kkkpx绝对收敛，则称级数1kkkpx的和为随机变量 X 的数学期望，记为)(XE，即ikkpxXE)(设连续型随机变量 X 的概率密度为)(xf，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称积分dxxxf)(的值为随机变量 X 的数学期望，记为)(XE，即dxxxfXE)()(定理 设 Y 是随机变量 X 的函数 Y=)(Xg(g 是连续函数)（1）如果 X 是离散型随机变量，它的分布律为kpXPxk，k=1,2，若kkkpxg1(）绝对收敛则有)Y(E)(XgEkkkpxg1(）（2）如果 X 是连续型随机变量，它的分概率密度为)(xf，若dxxfxg)()(绝对收敛则有)Y(E)(XgEdxxfxg)()(数学期望的几个重要性质(1)设 C 是常数，则有CCE)(;(2)设 X 是随机变量，C 是常数，则有)()(XCECXE;(3)设 X,Y 是两个随机变量，则有)()()(YEXEYXE；(4)设 X，Y 是相互独立的随机变量，则有)()()(YEXEXYE.1.2.2 方差 定义 设 X 是一个随机变量，若)(2XEXE存在，则称)(2XEXE为 X 的方差，记为 .-可修编.D（x）即 D（x）=)(2XEXE，在应用上还引入量)(xD，记为)(x，称为标准差或均方差。222)()()()(EXXEXEXEXD 方差的几个重要性质(1)设 C 是常数，则有,0)(CD(2)设 X 是随机变量，C 是常数，则有)(C)(2XDCXD，D(X)(CXD;(3)设 X,Y 是两个随机变量，则有E(Y)-E(X)(Y-2E(XD(Y)D(X)(YXD特别，若 X,Y相互独立，则有)()()(YDXDYXD;(4)0)(XD的充要条件是 X 以概率 1 取常数E(X)，即1)(XEXP.切比雪夫不等式：设随机变量 X 具有数学期望2)(XE，则对于任意正数，不等式22-XP成立 1.3 点估计 1.3.1 矩估计 用矩法求估计很古老的估计方法，是建立在独立同分布情形下的大数定律（样本均值趋向总体平均），它由 K.Pearson 在 20 世纪初提出，其中心思想就是用样本矩去估计总体矩。总体 X 分布函数的未知参数为12(,),Tm 如果总体的 k 阶原点矩12()(,),1,2,kkmE Xkm 存在，我们设总体的 k 阶原点矩与它的样本的 k 阶原点矩相等 11,1,2,nkkiiAXkmn 即1211(,)(),1,2,nkkkmikiE XXA kmn 从上面式子可得到关于未知量的解12(,),1,2,inXXXim ，取12(,)Tm 作为12(,)Tm 的估计，就称为的矩估计。关键要掌握两个式子（设总体的均值为，方差为2，12,nXXX是来自总体 X 的一个 .-可修编.样本）：可得总体 X 的一阶，二阶原点矩为 122222=E(X)=,()()(),E XD XE X 而样本的一阶，二阶原点矩为 2121111,nniiiiAXX AXnn 由此可得到 22211,niiXXn，所以X，其中由于上面无偏性有提到方差并不等于样本方差2S，而是221nSn，矩估计为211()1niiXXn。当矩估计不唯一时，我们可以根据下面的两个基本原则来选择是否用矩估计：a、涉及到矩的阶数尽量小，对总体 X 的要求也尽量少；比较常用到的矩估计的阶数一般是一、二阶数；b、用的估计最好是最小充分统计量的函数，因为在各种统计问题中充分性原则都应是适合的。矩估计的两个基本特点是 1、由于矩估计是基于经验分布函数，而经验分布函数逼近真实分布函数的前提条件是样本容量较大，所以理论上，矩估计是以大样本为应用对象的；2、矩估计没有用到总体分布的任何信息时，本质上是一种非参数方法，对已知的总体分布，它不一定是一个好的估计。1.3.2 极大似然估计 极大似然方法是统计中最重要、应用最广泛的方法之一。该方法在1821年由德国数学家Gauss提出的，但并没有得到重视，在 1922 年 R.A.Fisher 再次提出，并探讨研究了它的性质。它利用总体分布函数的相关信息，克服矩估计的一些不足。总体 X 的分布律或概率密度函数为(;),f x 是未知参数，其中总体的样本是12,nXXX，则 121(;)(;,)(;)nniiLxLx xxf x 为的似然函数。若统计量12()(,)nXX XX满足条件();)sup(;),LXXLx()()()()minYXYXYXYX .-可修编.则称()X为的极大似然估计。极大似然法有许多优良的性质：相合性与渐进有效性、渐进正态性等等。可以计算一些比较复杂的点估计。尽管如此，极大似然也有它的局限性，比如说：极大似然法一定要知道总体分布形式，并且一般情况下，似然方程组的求解比较复杂，一般需要在计算机上通过跌代运算方能计算出其近似解，且并不是通过求导数都获得极大似然估计值的，以及任何统计推断都应该依赖损失函数，但是极大似然方法没有考虑到损失函数。1.4 贝叶斯公式 设nBBB.,21是一系列互不相容的事件，且有 niiB1,.2,1,0)(niBPi 则对任一事件 A，有)()()()()(1jnjjiiiBAPBPBAPBPABP，.2,1ni )(iBP叫先验概率，也叫边缘概率，)(ABPi叫后验概率（.2,1ni）。1.5 中心极限定理 1.5.1 林德伯格定理 设 独 立 随 机 变 量nXXX,21满 足 林 德 伯 格 条 件，对 于 任 意 的 正 数,有nisxiinnnidxxfxS1220)()(1lim。其中)(xfi是随机变量iX的概率密度,则当n时,我们有 dtezZPztnn2221)(lim 即 dtezsXPztnniiin21221)(lim .-可修编.其中z是任何实数。1.5.2 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设在独立试验序列中,事件 A 在各次试验中发生的概率为)10(pp,随机变量nY表示事件 A 在n次试验中发生的次数,则有 dtezpnpnpYPztnn2221)1(lim,其中z是任何实数。1.6 随机变量及其分布 1.6.1 随机变量 设随机试验的样本空间为X(e)X e.S是定义在样本空间 S 上的实值单值函数，称X(e)X 为随机变量 1.6.2 离散性随机变量及其分布律(1)离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。kk)(pxXP满足如下两个条件（1）0kp，（2）1kkP=1 三种重要的离散型随机变量 设离散型随机变量的分布律为)1()1(KKPPKXP,其中 K=0、1，P 为 k=1 时的概率(0p1)，则称 X 服从（0-1）分布（2）伯努利实验、二项分布 设实验 E 只有两个可能结果：A 与A，则称 E 为伯努利实验.设1)p0pP(A)（，此时p-1)AP(.将 E 独立重复的进行 n 次，则称这一串重复的独立实验为 n 重伯努利实验。n2,1,0kqpkn)kX(k-nk，P满足条件（1）0kp，（2）1kkP=1 注意到k-nkqpkn是二项式nqp）（的展开式中出现kp的那一项，我们称随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布。.-可修编.（3）泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2，而取各个值的概率为,2,1,0,k!e)kX(-kkP其中0是常数，则称 X 服从参数为的泊松分布记为）（X 1.6.3 随机变量的分布函数 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数x-x,PX)x(F 称为 X 的分布函数 分布函数)()(xXPxF，具有以下性质)(xF是一个不减函数 （2）1)(,0)(1)(0FFxF，且（3）是右连续的即)(),()0(xFxFxF 1.6.4 连续性随机变量及其概率密度 连续随机变量：如果对于随机变量 X 的分布函数 F（x），存在非负可积函数)(xf，使对于任意函数x 有,dttf)x(Fx-）（则称 x 为连续性随机变量，其中函数 f(x)称为 X 的概率密度函数，简称概率密度 1 概率密度)(xf具有以下性质，满足（1）1)(2),0)(-dxxfxf；（3）21)()(21xxdxxfxXxP；（4）若)(xf在点 x 处连续，则有)(F x，)(xf 2,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布 若连续性随机变量 X 具有概率密度，其他，0aa-b1)(bxxf，则成 X 在区间(a,b)上服从均匀分布.记为），（baUX (2)指数分布 若连续性随机变量 X 的概率密度为，其他，00.e1)(x-xxf 其中0为常数，则称 X 服从参数为 .-可修编.的指数分布。（3）正态分布 若连续型随机变量 X 的概率密度为，）xexfx-21)(222(，服从参数为为常数，则称（，其中X)0的正态分布或高斯分布，记为），（2NX特别，当10，时称随机变量 X 服从标准正态分布 1.6.5 随机变量的函数的分布 设随机变量 X 具有概率密度,-)(xxxf，又设函数)(xg处处可导且恒有0)(,xg，则Y=)(Xg是连续型随机变量，其概率密度为其他，0,)()()(,yyhyhfyfXY 在日常生活中的应用 中国的经济在近些年发展极为迅速，但市场难料，盲目投资也是不理性的。概率论是根据大量随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性的科学判断，对这种现象出现的可能性大小做出数量上的描述。而经济市场是一个极大的随机系统，其中许多问题都是一种随机现象，因此，完全可以用概率论的思想来对一些经济问题进行指导。2.1 在中奖问题中的应用 集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小.形状.质量完全相同的白球 20 只，且每一个球上都写有（1-20 号）和 1 只红球，规定：每次只摸一只球。摸前交 1 元钱且在1-20 内写一个，摸到红球奖 5 元，摸到数与你写的相同奖 10 元。（1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。（2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？分析：（1）分别求出“摸彩”者获奖 5 元和获奖 10 元的概率，即可说明；（2）求出理论上的收益与损失，再比较即可解答 解答:（1）获奖 5 元的可能性和获奖 10 元的可能性同样大，P（摸到红球）=P（摸到同号球）=201，概率相等，所以获奖 5 元的可能性和获奖 10 元的可能性同样大；（2）每次的平均收益为 201（5+10）-1=-0.250，故每次平均损失 0.25 元 2.2 在经济管理决策中的应用 .-可修编.某人有一笔资金,可投入三个项目:房产x、地产y和商业z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为10.2p,20.7p,30.1p ,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元),见下表:各种投资年收益分布表 好 10.2p 中 20.7p 差 30.1p 房产 11 3-3 地产 6 4-1 商业 10 2-2 请问:该投资者如何投资好?解 我们先考察数学期望,可知 11 0.23 0.730.14.0E x ；60.240.710.13.9E y ；100.220.720.13.2E z ；根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风 险,我们再来考虑它们的方差:2221140.2340.7340.115.4D x ;22263.90.243.90.713.90.13.29D y ;222103.20.223.20.723.20.112.96D z 因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上。2.3 在经济损失估计中的应用 随着经济建设的高速发展火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小。下面以参数估计为例来说明它在这一方面的应用。已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布2,N ,今随机抽取8 次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。仓库货物损失金额表 货物损失金额1000 2000 3000 5000 .-可修编.(元)次数 2 1 4 1 解 利用矩估计法或最大似然估计法可知:,2的矩估计量分别为:11niiXXn，2211()niiXXn 从而根据表2 中的数据可计算出:11000220001300045000126258 22222110002625220002625300026254500026258 1101562.5；1049.55 从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049.55 元。2.4 在求解经济最大利润问题中的应用 如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量x(单位:吨)服从300 500，上的均匀分布,每售出1 吨该原料,公司可获利1.5千元;若积压1 吨,则公司损失0.5 千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?分析:此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。解答：设公司组织该货源a吨,则显然应该有300a500,又记y为在a吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即 yg x,由题设条件知:当xa时,则此a吨货源全部售出,共获利1.5a；当xa时,则售出x吨(获利1.5x)且还有ax吨积压(获利0.5ax),所以共获利1.5 x0.5ax，由此得 1.52 0.5aX aXa X axYg 从而得 .-可修编.5003001200 xygx px dxgxdxE 5003001120.51.5200200aaxadxadx 221900300200a 上述计算表明 yE 是a的二次函数,用通常求极值的方法可以求得,450a吨时,能够使得期望的利润达到最大。2.5，在保险问题中的应用 某保险公司有2500个人参加保险,每人每年付1200元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.002,死亡时某家属可向保险公司领得 20 万元。问：(1)保险公司亏本的概率多大？(2)保险公司一年的利润不少于 100 万元,200 万元的概率各位多大？解：（1）设 X 为一年内死亡的人数,则 XB(2500,0.002),5np,99.4npq P(亏本)=)15(1)15()30020(XPXPXP 00007.099993.01)48.4(1)99.4515(1 保险公司亏本的概率为 0.00007,几乎为零。（2）P(利润100)10020300(XP 98.0)99.4510()10(XP P(利润200)20020300(XP 5.0)99.4515()5(XP 以上结果说明保险公司几乎不可能亏本,不过要记住,关键之处是对死亡率估计必须正确,如果所估计死亡率比实际低,甚至低得多,那么情况就会不同。2.6，在疾病诊断中的应用 据调查某地居民肝癌发病率为 0.0004，现用甲胎蛋白法来检查肝癌：若呈阳性表明患病，若呈阴 .-可修编.性表明未患病。假阳性（即未患病结果却呈阳性）和假阴性（即患病结果却称阴性）的概率分别为 0.05 和 0.01。某人经检验结果呈阳性，他确实患肝癌的概率有多大？令 A=“被检验者患肝癌”，B=“检验结果呈阳性”则0004.0)(AP9996.0)(AP005.0)(ABP01.0)(ABP 由贝叶斯公式可得 P(A|B)=)()()()()()(ABPAPABPAPABPAP 05.09996.0)01.01(004.0)01.01(004.0 00786.0 由此可见，虽然检测结果为阳性，但实际患病的可能性非常之小，这不得让我们大吃一惊。但其实仔细一想，也是能够理解的。在上述计算中，假阳性的概率并不大，即检验结果是错误的情况并不多，但肝癌的发病率更小，即绝大多数情况下不会患肝癌，这就使得检验结果是错误的部分 P(A)P(B|A)相对很大，这就造成了 P(A|B)很小。但这并不能这种检测方法没有用，像我们在医院检查的时候都会有所谓的“初查”，包括体温，心率，血压等，然后在这之后再对有患病可能性的人进行甲胎蛋白法检查，其准确率就会提高很多。2.7 在质量检测方面的应用 例 6、某糖果生产厂用自动包装机包装糖果，每包的标准重量为100kg，每天开工后需要检验一次包装机是否工作正常，某天开工后测出的 9 包糖果的重量如下（单位：kg）：102.1，99.5，100.5，98.3，99.3，98.7，100.5，101.2，99.7，问该包装机工作是否正常？（5.0a，已知糖包的重量服从正态分布）解：本问题是通过样本的信息，对总体参数的检验.转化为假设检验的概率模型 0H:100u1H:100u)1(/ntnSuXt 计算得055.0t 查t分布的临界值表，31.2)(025.0gt，从而31.2055.0|t.由小概率原理可得，改包装机工作正常.本问题对于没有学过专业知识，甚至对初学者来说，有很多表面上看到这 9 包糖果的重量竟然一包也不等于标准重量，就凭主观判断说该包装机工作不正常，这显然是错误的.因此我们弄清楚小概率 .-可修编.事件是非常有必要的.2.8 概率知识证明不等式 例 7、已知20、，证明不等式：SinSinSinSinSinSin1.分析：这道题自己要考察的是三角函数，单纯的利用有限的三角函数知识实在无从下手，用微积分的知识也无法证明，但可以应用概率方法来解决.从已知出发，有：,10,10SinSin再根据事件概率的性质，把SinSin,分别取作两个相互独立事件的概率，最后应用概率加法公式即可得出我们需要证明的结果，由此在解题中起到化繁为简的作用.证明：由,20,20知10,10SinSin；可假设SinSin,分别为两相互独立事件BA、的概率.即SinBPSinAP)(,)(.根据概率加法公式和独立性有)()()()()(BPAPBPAPBAP 而1)(0BAP，得 10SinSinSinSin 即为SinSinSinSinSinSin1 故原不等式得证.通过上例应用概率论的基本概念、性质和概率模型等有关方法证明不等式，感悟数学的统一性.总结 本文通过对概率论与数理统计相关知识的介绍以及解决生活、生产中的几个实际问题，建立概率模型，培养概率论思维的能力，从中看出实际问题中的概率奥妙，消除主观认识上的一些误区，从而达到激发学生学习科学知识的兴趣、认识到学好科学知识的重要性，真正证明了科学技术是生产力的客观事实.-可修编.参考文献 1 魏宗书 概率论与数理统计（第二版）高等教育，2008.4.2 韦来生 数理统计 科学,2008.2 3 谢兴武李宏伟主编,概率统计释难解疑M科学,2007：98-109 4 马丽迪，X 吉龙.概率论在经济生活中的多维应用：应用概率与数理统计，