2006年高考第一轮复习数学：14.1导数的概念与运算.pdf

第十四章 导数 网络体系总览 考点目标位定位 要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.（2）熟记 基本 求导公式 C，xm（m为有理数），sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.复习方略指南 深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键.1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础.2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大（小）值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.14.1 导数的概念与运算 知识梳理 1.导数的概念：（1）如果当x0 时，xy有极限，我们就说函数y=f（x）在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f（x0），即f（x0）=0limx xy=0limxxxfxxf)()(00.（2）如果函数f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，就说f（x）在开区间（a,b）内可导.这时对于开区间（a,b）内每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f（x0）,这样就在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新函数叫做f（x）在开区间（a,b）内的导函数，记作f（x）,即f（x）=0limxxxfxxf)()(，导函数也简称导数.2.导数的几何意义：函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0）处的切线的斜率.3.几种常见的导数：C=0（C为常数）;（xn）=nxn1;（sinx）=cosx;（cosx）=sinx;（ex）=ex;（ax）=axlna;（lnx）=x1;（logax）=x1logae.4.导数的四则运算法则：设u、v是可导函数，则（uv）=uv;（uv）=uv+uv;（vu）=2vvuvu（v0）.特别提示 f（x）在x=x0处的导数f（x0）的实质是“增量之比的极限”，但在计算中取它的应用含义：f（x0）是函数f（x）的导函数f（x）当x=x0时的函数值.点击双基 1.在曲线y=x2+1 的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+x,2+y）,则yx为 A.x+x1+2 B.xx12 C.x+2 D.2+xx1 解析:yx=xx)11(1)1(2=x+2.答案:C 2.设函数f（x）在x=x0处可导,则0limhhxfhxf)()(00 A.与x0,h都有关 B.仅与x0有关而与h无关 C.仅与h有关而与x0无关 D.与x0、h均无关 答案:B 3.设f（x）=ax3+3x2+2,若f（1）=4,则a的值等于 A.319 B.316 C.313 D.310 解析:f（x）=3ax2+6x,f（1）=3a6=4,所以a=310.答案:D 4.函数y=x2的曲线上点A处的切线与直线3xy+1=0的夹角为 45,则点A的坐标为_.解析:设点A的坐标为（x0,y0）,则y|x=x0=2x|x=x0=2x0=k1,又直线 3xy+1=0 的斜率k2=3.tan45=1=|1|1212kkkk=|006123xx|.解得x0=41或x0=1.y0=161或y0=1,即A点坐标为（41，161）或（1，1）.答案:（41，161）或（1，1）典例剖析【例 1】若f（x0）=2,求0limkkxfkxf2)()(00.剖析:根据导数的定义.解:f（x0）=0limkkxfkxf)()(00（这时x=k）.0limkkxfkxf2)()(00=0limk21kxfkxf)()(00=210limkkxfkxf)()(00=21f（x0）=1.评述:注意f（x0）=0limxxxfxxf)()(00中x的形式的变化,在上述变化中可以看到x=k,k0k0,f（x0）=0limkkxfkxf3)()3(00,还可以写成f（x0）=0limkkxfkxf3)()3(00或 f（x0）=klimf（x0+k1）f（x0）等.【例 2】若f（x）在 R 上可导，（1）求f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则f（x）为奇函数.剖析:（1）需求f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数；（2）求f（x），然后判断其奇偶性.（1）解:设f（x）=g（x）,则 g（a）=0limxxagxag)()(=0limxxafxaf)()(=0lim xxafxaf)()(=f（a）.f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数互为相反数.（2）证明:f（x）=0limxxxfxxf)()(=0limxxxfxxf)()(=0limxxxfxxf)()(=f（x）.f（x）为奇函数.评述:用导数的定义求导数时，要注意y中自变量的变化量应与x一致.深化拓展（2）中若f（x）为奇函数，f（x）的奇偶性如何？【例 3】求下列函数的导数：（1）y=x2sinx;（2）y=ln（x21x）;（）y=1e1exx;（）y=xxxxsincos.解:（1）y=（x2）sinxx2（sinx）=2xsinxx2cosx.（2）y=211xx（x21x）=211xx（121xx）=211x.（）y=2)1e()1e)(1e()1e()1e(xxxxx=2)1(ee2xx.（4）y=2)sin()sin)(cos()sin()cos(xxxxxxxxxx=2)sin()cos1)(cos()sin)(sin1(xxxxxxxx=2)sin(1cossinsincosxxxxxxxx.思考讨论 函数f（x）在点x0处是否可导与是否连续有什么关系？闯关训练 夯实基础 1.（2004 年全国,文 3）曲线y=x33x2+1 在点（1，1）处的切线方程为 A.y=3x4 B.y=3x+2 C.y=4x+3 D.y=4x5 解析:y=3x26x,y|x=1=3.在（1,1）处的切线方程为y+1=3（x1）.答案:B 2.（2004 年全国,文 4）函数y=（x+1）2（x1）在x=1处的导数等于 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:y|x=1=（x2+2x+1）（x1）|x=1=x3+x2x1|xx=1=（3x2+2x1）|x=1=4.答案:D 3.（2004 年湖北,文 3）已知函数f（x）在x=1 处的导数为3,则f（x）的解析式可能为 A.f（x）=（x1）2+3（x1）B.f（x）=2（x1）C.f（x）=2（x1）2 D.f（x）=x1 答案:A 4.（2004 年重庆,理 14）曲线y=221x2与y=41x32 在交点处的切线夹角是_.（以弧度数作答）解析:由242232xyxy得x3+2x216=0,（x2）（x2+4x+8）=0,x=2.两曲线只有一个交点.y=（221x2）=x,y|x=2=2.又y=（43x2）=43x2,当x=2 时,y=3.两曲线在交点处的切线斜率分别为2、3,|3)2(132|=1.夹角为4.答案:4 5.设f（x）在x=1 处连续，且f（1）=0,1limx1)(xxf=2,求f（1）.解:f（1）=0,1limx1)(xxf=2,f（1）=0limxxfxf)1()1(=1limx1)1()(xfxf=1limx1)(xxf=2.6.设函数y=axbx2cxd的图象与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为 12xy=0.若函数在x=2 处取得极值 0，试确定函数的解析式.解:y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，P的坐标为P（0,d）.又曲线在点P处的切线方程为y=12x，P点坐标适合方程，从而d=.又切线斜率k=12，故在x=0 处的导数yx=0=12,而y=ax22bxc，yx=0=，从而 c=12.又函数在x=2 处取得极值 0，所以 yx=2=0,f（2）=0,即 12ab12=0,ab20=0.解得a=2，b=9.所求函数解析式为y=2x39x212x.培养能力 7.已知函数f（x）=ex（cosx+sinx）,将满足f（x）=0的所有正数x从小到大排成数列xn.求证：数列f（xn）为等比数列.证明:f（x）=ex（cosx+sinx）+ex（sinx+cosx）=2exsinx,由f（x）=0,即2exsinx=0,解得x=n,nZ.从而xn=n（n=1,2,3）,f（xn）=（1）nen.所以)()(1nnxfxf=e.所以数列f（xn）是公比q=e的等比数列.8.已知函数f（x）=ln（ex+a）（a0）.（1）求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）及f（x）的导数f（x）;（2）假设对任意xln（3a）,ln（4a），不等式|mf1（x）|+ln（f（x）0 成立，求实数m的取值范围.解:（1）由y=f（x）=ln（ex+a），得x=ln（eya），所以 y=f1（x）=ln（e xa）（xlna）.f（x）=ln（ex+a）=axxee.（2）由|mf1（x）|+ln（f（x）0,得 ln（exa）ln（ex+a）+xmln（exa）+ln（ex+a）x.设（x）=ln（exa）ln（ex+a）+x,（x）=ln（exa）+ln（ex+a）x,于是原不等式对于xln（3n）,ln（4a）恒成立.等价于（x）m（x）.（*）由（x）=axxeeaxxee+1,（x）=axxee+axxee1,注意到 0exaexex+a.故有（x）0,（x）0,从而（x）、（x）均在ln（3a）,ln（4a）上单调递增,因此不等式（*）成立当且仅当（ln（4a）m（ln（3a）,即ln（512a）mln（38a）.探究创新 9.利用导数求和：（1）Sn=1+2x+3x2+nxn1（x0,nN*）.（2）Sn=C1n+2C2n+3C3n+nCnn（nN*）.解:（1）当x=1 时，Sn=1+2+3+n=2n（n+1）,当x1 时，x+x2+x3+xn=xxxn11,两 边 对x求 导，得Sn=1+2x+3x2+nxn1=(xxxn11)=21)1()1(1xnxxnnn.（2）（1+x）n=1+C1nx+C2n x2+Cnn xn,两边对x求导，得n（1+x）n1=C1n+2C2nx+3C3nx2+nCnn x n1.令x=1,得n2n1=C1n+2C2n+3C3n+nCnn,即Sn=C1n+2C2n+3C3n+nCnn=n2n1.思悟小结 1.求函数y=f（x）在点x0处的导数通常有以下两种方法：（1）导数的定义，即求0limxxxfxxf)()(00的值.（2）利用导函数的函数值,即先求函数f（x）在开区间（a,b）内的导函数f（x）,再将x0（x0（a,b）代入导函数f（x）,得函数值f（x0）.2.求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量.（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数.（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.3.本单元重点体现了极限思想、函数思想及等价转化的思想，在学习过程中应用心体会.教师下载中心 教学点睛 1.在该节教学中要重视对导数的概念、导数的几何意义的理解，注重对导数基本公式的熟练运用.2.可补充导数的另一种定义形式：f（x0）=0limxx00)()(xxxfxf.拓展题例【例题】讨论函数f（x）=)0(1),0(12xxxx在x=0 处的可导性.解:函数f（x）在x=0 处是否可导，即xfxf)0()0(当x0时的极限是否存在.0limxxfxf)0()0(=0limxxx11=1,=0limxxx11)(2=0,又0limxxfxf)0()0(0limxxfxf)0()0(,xfxf)0()0(当x0 时的极限不存在，因此f（x）在x=0处不可导.