2006年高考第一轮复习数学：14.3导数的应用.pdf

13.2 导数的应用 知识梳理 1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求f（x）.（2）确定f（x）在（a，b）内符号.（3）若f（x）0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f（x）0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f（x）0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.点击双基 1.函数y=x2（x3）的减区间是 A.（，0）B.（2，+）C.（0，2）D.（2，2）解析：y=3x26x，由y0，得 0 x2.答案：C 2.函数f（x）=ax2b在（，0）内是减函数，则a、b应满足 A.a0 且bR C.a0 且b0 D.a0 且bR 解析：f（x）=2ax，x0 且f（x）0 且bR.答案：B 3.已知f（x）=（x1）2+2，g（x）=x21，则fg（x）A.在（2，0）上递增 B.在（0，2）上递增 C.在（2，0）上递增 D.在（0，2）上递增 解析：F（x）=fg（x）=x44x2+6，F（x）=4x38x，令F（x）0，得2x2，F（x）在（2，0）上递增.答案：C 4.在（a，b）内f（x）0 是f（x）在（a，b）内单调递增的_条件.解析：在（a，b）内，f（x）0，f（x）在（a，b）内单调递增.答案：充分 典例剖析【例 1】设f（x）=x33ax2+2bx在x=1 处有极小值1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.剖析：由已知x=1 处有极小值1，点（1，1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b.解：f（x）=3x26ax+2b，由题意知 即.0232,0263baba 解之得a=31，b=21.此时f（x）=x3x2x，f（x）=3x22x1=3（x+31）（x1）.当f（x）0 时，x1 或x31，当f（x）0 时，31x1.函数f（x）的单调增区间为（，31）和（1，+），减区间为（31，1）.评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.【例 2】（2004 年全国，19）已知函数f（x）=ax3+3x2x+1 在 R 上是减函数，求实数a的取值范围.剖析：在 R 上为减函数，则导函数在 R 上恒负.解：f（x）=3ax2+6x1.（1）当f（x）0 时，f（x）为减函数.3ax2+6x10（xR），a0 时，=36+12a0，a3.a3 时，f（x）1，即a2 时，函数f（x）在（，1）上为增函数，在（1，a1）上为减函数，在（a1，+）上为增函数.依题意，当x（1，4）时，f（x）0，4a16.5a7.a的取值范围为5，7.评述：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+）上为增函数.”我们便知x=4 两侧使函数f（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.闯关训练 夯实基础 1.已知a0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：f（x）=3x2a在1，+)上，f（x）0 恒成立，即a3x2在1，+）上恒成立，a3.答案：D 2.已知函数f（x）=x44x3+10 x2，则方程f（x）=0 在区间1，2上的根有 A.3 个 B.2 个 C.1个 D.0 个 解析：f（x）=4x（x23x+5）在1，2上，f（x）0，f（x）在1，2上单调递增.f（x）f（1）=7.f（x）=0 在1，2上无根.答案：D 3.函数f（x）的导函数y=f（x）的图象如下图，则函数f（x）的单调递增区间为_.解析：在1，0和2，+)上，f（x）0.答案：1，0和2，+)4.若函数y=34x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_.解析：y=4x2+b，若y值有正、有负，则b0.答案：b0 5.设函数f（x）=x321ax2+3x+5（a0），求f（x）的单调区间.解：（1）f（x）=3x2ax+3，判别式=a236=（a6）（a+6）.10a6 时，0 对xR 恒成立.当 0a6 时，0，由f（x）0 x6362aa或x6362aa.f（x）06362aax6362aa.在（63622aa，+）和（，6362aa）内单调递增，在（6362aa，6362aa）内单调递减.6.设f（x）=x322x2x+5.（1）求f（x）的单调区间；（2）当x1，2时，f（x）0，f（x）为增函数；在32，1上f（x）0，f（x）为增函数，f（x）f（2）=7.m7.培养能力 7.已知函数f（x）=x3ax1.（1）若f（x）在实数集 R 上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f（x）在（1，1）上单调递减?若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）证明f（x）=x3ax1 的图象不可能总在直线y=a的上方.解：f（x）=3x2a，（1）3x2a0 在 R 上恒成立，a0.又a=0 时，f（x）=x31 在 R 上单调递增，a0.（2）3x2a3x2在（1，1）上恒成立，即a3.又a=3，f（x）=x33x1，f（x）=3（x21）在（1，1）上，f（x）0 恒成立，即f（x）在（1，1）上单调递减，a3.（3）当x=1 时，f（1）=a20，得x（10103，0）（10103，+），则f（x）的单调递增区间为（10103，0）和（10103，+）.9.已知函数f（x）=2axx3，a0，若f（x）在x（0，1上是增函数，求a的取值范围.解：f（x）=2a3x2在（0，1上恒为正，2a3x2，即a23x2.x（0，1，23x2（0，23.a23.当a=23时也成立.a23.探究创新 10.有点难度哟！证明方程x33x+c=0 在0，1上至多有一实根.证明：设f（x）=x33x+c，则f（x）=3x23=3（x21）.当x（0，1）时，f（x）0f（x）为增函数（f（x）0 恒成立.,0,0a即.0124,0aa a31.当a=31时，f（x）在（，+）上单调递增.a31.【例 2】求证：x1 时，2x3x2+1.证明：令f（x）=2x3x21，则f（x）=6x22x=2x（3x1）.当x1 时，f（x）0 恒成立.f（x）在（1，+）上单调递增.又f（1）=0，f（x）在（1，+）上恒大于零，即当x1 时，2x3x2+1.