2012高考数学二轮复习专题4三角函数教案文.pdf

2012 届高考数学二轮复习 专题四 三角函数【重点知识回顾】三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力 方法技巧：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的 2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正 3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取 4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域；（2）利用sin,cosxx的有界性求值域；（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性 5.三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sinyx，cosyx，tanyx的图象与性质，并挖掘：最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义会求sin()yAx的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；会从图象归纳对称轴和对称中心；sinyx的对称轴是2xk()kZ，对称中心是(,0)k()kZ；cosyx的对称轴是xk()kZ，对称中心是(,0)2k()kZ tanyx的对称中心是(,0)()2kkZ 注意加了绝对值后的情况变化.写单调区间注意0.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()yAx的简图，并能由图象写出解析式“五点法”作图的列表方式；求解析式sin()yAx时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x.（三）正弦型函数sin()yAx的图象变换方法如下：先平移后伸缩 sinyx的图象 向左(0)或向右(0)平移个单位长度 得sin()yx的图象()横坐标伸长(0 1)1到原来的纵坐标不变 得sin()yx的图象()AAA纵坐标伸长(1)或缩短(01)为原来的 倍 横坐标不变 得sin()yAx的图象(0)(0)kkk 向上或向下平移个单位长度 得sin()yAxk的图象 先伸缩后平移 sinyx的图象(1)(01)AAA 纵坐标伸长或缩短为原来的 倍(横坐标不变)得sinyAx的图象(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()yAx的图象(0)(0)向左或向右平移个单位 得sin()yAxx的图象(0)(0)kkk 向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象【典型例题】例1.已 知2tan，求（1）sincossincos；（2）22cos2cos.sinsin的值.解：（1）2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos；(2)222222cossincos2cossinsincos2cossinsin 324122221cossin2cossincossin2222.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化 例 2.已知向量2(2cossin)(sincos)(3)abxatb，2，=，ykab，且0 x y，(1)求函数()kf t的表达式；(2)若 13t ，求()f t的最大值与最小值 解：(1)24a，21b，0a b，又0 x y，所以22222(3)()(3)(3)0 x yatbkabkatbtk ta b ，所以31344ktt，即313()44kf ttt；(2)由(1)可得，令()f t导数233044t，解得1t ，列表如下：t 1(1，1)1(1，3)()f t导数 0 0+()f t 极大值 递减 极小值 递增 而119(1)(1)(3)222fff，所以maxmin91()()22f tf t，说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。例 3.平面直角坐标系有点4,4),1,(cos),cos,1(xxQxP（1）求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数)(xf；（2）求的最值.解：（1）OQOPOQOPcos，即 xxxf2cos1cos2)()44(x（2）xxcos1cos2cos，又 223,2cos1cosxx，1,322cos，0min，322arccosmax.说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意 例 4.设 0,2,且 cos2+2msin-2m-20 恒成立,求 m 的取值范围.解法 1 由已知 0sin1 且 1-sin2+2msin-2m-20 恒成立.令 t=sin,则 0t1 且 1-t2+2mt-2m-20 对 t0,1 恒成立.故可讨论如下:(1)若 m0.即 2m+10.解得 m12,12m0.即 -m2+2m+10.亦 即 m2-2m-10.解得:12m1,则 f(1)0.即 0m+20.mR,m1.综上所述 m12.即 m 的取值范围是(12,+).解法 2 题中不等式即为 2(1-sin)m-1-sin2.0,2,0sin1.当 sin=1 时,不等式显然恒成立,此时 mR;当 0sin12.即 m 的取值范围是(12,+).说明：三角函数与不等式综合，注意“恒成立”问题的解决方式【模拟演练】一、选择 1点00(tan 2011,cos2011)P位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2函数sintansintanyxxxx在区间(2，23)内的图象大致是（）A B C D 6 已 知 A B C 为 三 角 形 的 三 个 内 角，且lgsinlgsinlgcoslg2ABC，则ABC 是 （）A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D无法确定 7关于函数sin 26yx的图象，有以下四个说法：关于点06，对称；关于点5012，对称；关于直线6x 对称；关于直线512x 对称 则正确的是 （）A B C D 9.如图，某走私船在航行中被我军发现，我海军舰艇在A处获悉后，测出该走私船在方位角为45，距离为10n mile的C处，并测得走私船正沿方位角为105的方向，以9/n mile h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h的速度沿直线方向前去追击.舰艇并在B处靠近走私船所需的时间为 （）A20min B40min C30min D50min 11在ABC中，,a b c分别为三个内角,A B C的对边，设向量(,),(,)pacb qca ba，若向量pq，则tanC的值为（）A3 B3 C33 D33 二、填空 13已知向量),4,(),4,3(xba且ba/，则与b方向相反的单位向量的坐标为_。原专题三的平面向量与三角函数的第15 题 16已知函数)sin(xAy（0A，0，|）的一段图象如图所示，则这个函数的单调递增区间为 。18（12 分）已知xxxf2cos3)4(sin2)(2，（1）求)(xf的最大值和最小值；（2）若不等式2m-)(xf在2,4x上恒成立，求 m 的取值范围。19（12 分）已知向量CABBA2sin),cos,(cos),sin,(sinnmnm，且CBA,分别为ABC的三边cba,所对的角。（1）求角C的大小；（2）若BCAsin,sin,sin成等差数列，且()18CAABAC，求c的边长。21（12）已知：向量(3,1)a ，(sin 2,bxcos 2)x，函数()f xa b（1）若()0f x 且0 x，求x的值；（2）求函数()f x的单调增区间以及函数取得最大值时，向量a与b的夹角 专题训练答案 1D 解析：00000020115 3602115 36018031，易知02011角终边在第三象限，从而有0tan 2011为正，0cos 2011为负，所以点00(tan 2011,cos2011)P位于第四象限。2A解：y23tan22sin2xxxx，所以，选 A。6B解：因为lgsinlgsinlgcoslg2ABC，所以sinlglg2sincosABC 即：sin2sincosABC，有sin2sincosABC 即sin()BC2sincosBC，即sincoscossin0BCBC 则sin()0BC，又因为,A B C为三角形的内角，则BC，所以为等腰三角形。7 B 解：当6x 时，sin 26yx1，当 x125时，sin 26yx0，所以，正确。9 B 解：设舰艇收到信号后xh在B处靠拢走私船，则21ABx，9BCx，又10AC nmile，45180105120ACB.由余弦定理，得 2222cosABACBCAC BCACB，即 222211092 10 9 cos120 xxx.化简，得 2369100 xx，解得 240 min3xh（负值舍去）.答案：B 11 B 解析：由pq，得222()()()00ac cab bacabab，又2221cos22abcCab，所以23C，所以tanC3。13.)54,53(解：因为ba/，所以3(4)40 x，解得：3x，所以(3,4)b ，所以|5b，所以与b方向相反的单位向量的坐标为)54,53(。16588kkkZ，解：由图象可知：322288TT；A2)3(33。所以，y3sin（2x），将3,8代入上式，得：)4sin(1，42k2，即2k43，由，可得：43所以，所求函数解析式为：32sin 24yx。当3222422xkkkZ，时，f x单调递增 552224488xkkxkkkZ ，18解：（1）xxxf2cos3)4(sin2)(2 )32sin(21x。4 分 所以当)32sin(x=1 时3)(maxxf。所以当)32sin(x=-1 时1)(minxf。6 分（2）2m-)(xf在2,4x上恒成立，即)(2xfm在2,4x上恒成立，只需min)(2xfm，2,4x。8分 令32x，24263x，32,6,sin21)32sin(21)(xxf。所以当6时，sin有最小值21，2)(minxf，故0,22mm。12 分 19解：（1）C2sinnm，CABBA2sincossincossin，CBA2sin)sin(。2 分 又CBA，CC2sinsin，CCCcossin2sin。4 分 21cosC，3C。6 分（2）CBAsin,sin,sin成等差数列，BACsinsinsin2。bac2。8 分 又()18CAABAC，()18CACB。18sinCab，36ab。10 分 Cabbaccos2222，Cababbacsin22)(22，363422 cc，6c。12 分 21.解：()f xa b3sin2cos2xx。2 分（1）由()0f x 得3sin 2cos20 xx即3tan23x，0,x 022x 2,6x或72,6x 12x或712。4 分（2）31()3sin2cos22(sin2cos2)22f xxxxx 2(sin 2 coscos2 sin)66xx 2sin(2)6x。8分 由222,262kxkkZ得,63kxkkZ，()f x的单调增区间,63kkkZ.10 分 由上可得max()2f x，当()2f x 时，由|cos,2a baba b得 cos,1|a ba bab，0,a b，,0a b。12分