2019-2020年高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.3幂函数优化训练苏教版必修.pdf
019-2020 年高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数 3.3 幂函数优化 训练苏教版必修 5 分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.求下列幕函数的定义域：3-2 0 y=x，y=，y=,y=x，y=,y=x.思路解析：幕函数的定义域就是使幕函数有意义的实数 x 的集合.解：y=x3定义域是 R;y=的定义域是 R;y=的定义域是0,+;y=x-2=的定义域是(-g,0)U(0,+g);y=的定义域是(0,+g);y=x0 的定义域是(-g,0)U(0,+).2.比较下列各题中两个值的大小：(1),；(2),.思路解析：对于第(1)题，当 n0 时；幕函数 y=xn有下列性质：在第一象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大.对于第(2)题，当 n0 时；幕函数 y=xn有下列性质：在第一象限内的 图象是下降的，即函数值 y 随 x 的增大而减小.解：(1)；是幕函数 y=的两个函数值，考察函数 y=.在(0,+g)上；y 随 x 值的增大而增 大.T 1.51.7；1.8；2.(0,+R)上都是减函数，故应排除 答案：B 4.比较下列各组中两个值的大小：(1)0.6 1.3 与 0.71.3;(2)与；(3)0.18-0.3 与 0.15-0.3.解：(1)T 0.6 1.3与 0.7 1.3可看作幕函数 y=x1.3在 0.6 与 0.7 处的函数值，且 0.7,由幕函数单调性知 0.6 1.3.0 3 0 3 0 3(3)0.18.与 0.15.可看作幕函数 y=x.在 0.18 与 0.15 处的函数值，0.15,由幕函数单调性知 0.18-0.3 0.y0.即值域为0,+g).1.3 0,0.6 v 且-0.30,0.18 快乐时光-1 C.y=2x D.y=x y=x 的函数称为幕函数，可知 C 不是幕函数.C.若幕函数 y=x 的图象关于原点对称，则 y=x在定义域内 y 随 x 的增大而增大 D.幕函数的图象不可能在第四象限 思路解析：当a=0 时，函数 y=x 定义域为x|x 工 0,x R,其图象为两条射线，故 A 不正 确；当a 0 时，函数 y=x 的图象不过(0,0)点，故 B 不正确；幕函数 y=x-1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故 C 不正确；幕函数的图象都不在第四象限，故 D 正确 答案：D 3.下列函数中，定义域为(0,+)的函数为()3 A.y=B.y=C.y=D.y=x 思路解析：先把指数式化为根式，再求定义域 答案：B 4.Ti=(,T 2=(,T 3=(,则下列关系式正确的是()A.TiV T2V T3 B.T3TIV T2 C.T2 T3V Ti D.T2，求 x 的取值范围.思路解析：借助幕函数的图象，可使问题简捷易解.解：y=的图象在第一、二象限，y=的图象在第一、三象限.0i,0 恒成立.当图象在第一象限时，若 x(0,i),y=的图象在 y=图象的下方，贝 U.所求 x 的取值范围是(-g,0)U(i,+g).6.若(a+iv(3-2a，试求 a 的取值范围.思路解析：根据幕函数的性质求解.a+i A0,+代 a+i 0,解:有三种可能情况：3-2a0,或丿a“0,或$3-2a0.a+iA3-2a.a+iA3-2a.解得 a(-g,-1)U(,).7.幕函数 y=f(x)的图象过点(4,)，求 f(8)的值.思路解析：求幕函数的解析式一般可采用待定系数法.要想求得 f(8)的值，必须要先求得幕 函数的解析式.解：设 f(x)=x a，则=4 a,a=-.f(x)=,f(8)=.8.求满足的字母 a 的取值范围.思路解析：根据已知条件可知，分别为对应幕函数 y=,y=.要想求满足条件 a 的范围.只要 判断出 x 为何值时曲线 y=在曲线 y=上方即可.解：在同一坐标系中，分别作出 yi=,y2=的图象，由图象可知要使 yiy2，只需 x1.当 a1 时不等式 恒成立.9.如图，幕函数 y=(m Z)的图象关于 y 轴对称，且与 x 轴、y 轴均无交点，求此函数的解析 式.思路解析：由于图象关于 y 轴对称，所以此函数为偶函数且与 x 轴、y 轴无交点，所以是双 曲线型.解：由题意，得 m-2m-30,-1m0 时是增函数;幕函数y=xn，当no 时，则其图象才都经过点(1,1)和点(0,0)，故 错误；幕函数y=xn，当n=1 时，则其图象就是一条直线，故错误；幕函数 y=x：当n=0 时，则其图象是y=1 这条直线上去除(0,1)点后的剩余部分，故错误；根据幕函数的 性质可知：只有是正确的.【答案】2设a 1,0,2,1,2,3 斉则使函数y=X“的定义域为 R 且为奇函数的所有 a 的值有 _ 个.【解析】使函数y=xa的定义域为 R 的有 1,2,3，其中为奇函数的有 1,3.【答案】2 3.幕函数y=x 1及直线y=x,y=1,x=1 将平面直角坐标系的第一象限分成八个部 分”：，(如图 3-3-1 所示)，那么幕函数y=x的图象经过 的“部分”是 _.r j /Z 口 7 z=X:1 图 3-3-1【解析】对于幂函数y x，当 0 xx;当x1 时，x x.【答案】4.若f(x)是幂函数，且满足 2，则f 9 .【解析】9a 因为函数f(x)是幕函数，设f(x)x，由题设 3 2?3a 2,3 1【答案】；4 n 1 5如图 3-3-2 中曲线是幕函数 y=xn在第一象限的图象，已知 n取土 2,?四个值,【解析】函数y=x2,y=X2，中令x=4 得到的函数值依次为 i6，16,2,2,函数值 y=x2,y=x_2，因此相应于曲线 C,G,G,C4的n值依次为 2,-2.【答案】2,1,-2,-2 m=1.【答案】m=1 2 x-1,xw 0,7设函数f(x)=f 宅丿 若使f(x)1 成立的取值范围是 _.L：x,x0,xw 0,x0,【解析】由f(x)1，可得 1 x 或 解得x1.彥厂 11 tVx1,【答案】(8,1)U(1,+)&已知幕函数f(x)=(n+2n 2)xn-3n(n Z)的图象关于y轴对称，且在(0,+)上是减函数，则 n的值为 _.【解析】由于f(x)为幕函数，所以n2+2n-2=1,解得n=1 或n=-3,经检验只有n=1 适合题意.【答案】1 二、解答题 9.比较下列各组数的大小.由大到小对应的解析式为 6.若幕函数 2 m-3m+3).r 的图象不过原点，则 m的取值是 卅一 3m 3=1,m-m-20 由幕函数的定义，可得【解析】图 3-3-2 (1)3+和 3.r；(2)8 和一9；【解】构造函数f(x)此函数在0,+)上是增函数，33.1,构造f(x)=x_1,此函数在(0,+)上是减函数,-1-1/89,8-1-9-1.(3)枸造函数丿=活,此函数在Q+x)上是增函数，构造函数V-1 y(1 Y 匕函数在R上是减函数+2丿 1(1 F IT丿，1 V 亍10.已知幕函数 y=x2(N)的图象与x,y轴都无交点，且关于y轴对称.求m的值,并画出它的图象.【解】图象与x,y轴都无交点,m-20,所以丿3 2a0,a+13 2a,4.已知幕函数y=f(x)经过点 i2,1,(1)试求函数解析式;(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；试解关于x的不等式f(3x+2)+f(2 x 4)0.【解】设f(X)=x，由题意,(x)=X3+1 单调递增，且过(0,1)点，XA0时，f(x)=)是减 函数，过(0,1)点，故是 f(x)的图象.2 3 解得 3a2【答案】3,1【解x f(2x 4)=f(4 2x).2 3x+20?x 3,即 4 2x0?x2,3x+24 2x?x2 3 4 5,i 5 42x2.2 2 解得-沪2,2 3x+20?x 3,或 4 2x2,2 3x+24 2x?x 5 2 故原不等式的解集为 3x2 3 5
