八年级上数学_全等三角形典型例题(一).pdf
创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1月 8 日 全等三角形典型例题：（一）创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 例 1：把两个含有 45角的直角三角板如图 1 放置，点 D 在 BC 上，连结 BE，AD，AD 的延长线交 BE 于点 F求证：AFBE 练习 1：如图，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过点 A 的直线，BDAE，CEAE，如果 CE=3，BD=7，请你求出 DE 的长度。例 2：DAC,EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与 CD,CE 交于点 M,N,求证：（1）AE=BD；(2)CM=CN；(3)CMN 为等边三角形；（4）MNBC。例 3：（10 分）已知，ABC 中，BAC=90，AB=AC，过 A 任作一直线 l，作 BDl于 D，CEl于 E，观察三条线段 BD，CE，DE 之间的数量关系 如图 1，当 l经过 BC 中点时，DE=（1 分），此时 BDCE（1分）如图 2，当 l 不与线段 BC 相交时，BD，CE，DE 三者的数量关系为，并证明你的结论（3分）如图 3，当 l与线段 BC相交，交点靠近 B 点时，BD，CE，DE 三者的数量关系为 证明你的结论（4 分），并画图直接写出交点靠近 C 点时，BD，CE，DE 三者的数量关系为（1分）图 1 图 2 图 3 练习 1：以直角三角形 ABC 的两直角边 AB、BC 为一边，分别向外作等边三角形ABE 和等边BCF，连结 EF、EC。试说明：（1）EFEC；（2）EBCF CBAFE 练习 2：如图（1）A、E、F、C 在同一直线上，AE=CF，过 E、F 分别作 DEAC，BFAC 若 AB=CD，GD A C B N M A F B C E D EDACB A l B C A B C D E l A B C l E D E创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1月 8 日 是 EF 的中点吗？请证明你的结论。若将 ABC 的边 EC 经 AC 方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？例四：如图 1，已知，ACCE，AC=CE，ABC=CDE=90，问 BD=AB+ED 吗?分析：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组 90角，得到一组等量关系；（2）出现 3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：如如图 6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到 AC=BD。解答过程：得到ABCCDE之后，可得到 BC=DE，AB=CD BC+CD=DE+AB（等式性质）即：BD=AB+DE 变形 1：如图 7，如果ABCCDE，请说明 AC 与 CE 的关系。注意：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）位置关系（垂直，平行之类）图 6 OABCBCA图 5 BCA图 7 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1月 8 日 变形 2：如图，E是正方形 ABCD 的边 DC 上的一点，过点 A作 FAAE交 CB 的延长线于点 F，求证：DE=BF 分析：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。变形 3：如图 8，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过点 A 的直线，BDAE，CEAE，如果 CE=3，BD=7，请你求出 DE 的长度。分析：说明相等的边所在的三角形全等，题中“AB=AC”，发现：AB在 RtABD中，AC在 RtCAE 中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个 Rt全等（如图 9）于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角，再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。解：由题意可得：在 RtABD中，1+ABD=90（直角三角形的两个锐角互余）又BAC=90（已知），即1+CAE=90 ABD=CAE（等角的余角相等）故在ABD与CAE中，BDA=AEC=90（垂直定义）ABD=CAE（已求）AB=AC（已知）ABDCAE（AAS）AE=BD=7，AD=EC=3（全等三角形的对应边相等）DE=AEAD=73=4 变形 4：在ABC 中，ACB=900，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E。EDAB图 8 1 EDACB图 9 FAB创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1月 8 日（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 9 的位置时，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？（2）当直线 MN绕点 C旋转到图 10 的位置时，DE=AD-BE。说说你的理由。（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 11 的位置时，试问 DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。等腰三角形、等边三角形的全等问题：必备知识：如右图，由1=2，可得CBE=DBA；反之，也成立。例五：已知在ABC 中，AB=AC，在ADE 中，AD=AE，且1=2，请问 BD=CE吗？分析这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边，题目中所给的ABC 与ADE 是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起，加上所求的“BD=CE”，你会发现 BD 在ABD 中，CE 在ACE 中，这样一来，“AB=AC”可以理解为：AB 在ABD 中，AC 在ACE 中，它们是一组对应边；“AD=AE”可以理解为：AD 在ABD 中，AE 在ACE 中，它们是一组对应边；所以只需要说明它们的夹角相等即可。关键还是在于：说明“相等的边（角）所在的三角形全等”解：1=2（已知）1+CAD=2+CAD（等式性质）即：BAD=CAE 2 ACBD1 图 13 图 11 EDCBANM图 12 EDCBANMEDCBANM图 10 1 2 BCAED创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1月 8 日 在ABD与ACE 中，AB=AC（已知）BAD=CAE（已求）AD=AE ABDACE（SAS）BD=CE（全等三角形的对应边相等）变形 1：如图 14，已知BAC=DAE，1=2，BD=CE，请说明ABDACE.吗？为什么？分析：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用 SAS 说明全等，此题是两组角相等，那么该如何做呢?变形 2：过点 A 分别作两个大小不一样的等边三角形，连接 BD，CE，请说明它们相等。分析：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把 BD 看成在ABD 的一边，CE 看成ACE 的一边，自然就得到了证明的方向。解：ABC与ADE是等边三角形，AB=AC，AD=AE BAC=DAE=60 BAC+CAD=DAE+CAD（等式性质）即：BAD=CAE 变形 3：如图 1618，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，连接BD，CE，请说明它们相等 这里仅以图 17进行说明 解：ABC与ADE 是等边三角形，2 1 ADCBE图 14 DCBAE图 15 接下来的过程与例三完全一致，不予描述！CBADCBAE图 16 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1月 8 日 AB=AC，AD=AE BAC=DAE=60 BACCAD=DAECAD【仅这步有差别】即：BAD=BAD=CAE 在ABD 与ACE 中，AB=AC（已知）BAD=CAE（已求）AD=AE ABDACE（SAS）BD=CE（全等三角形的对应边相等）图 16，图 18的类型，请同学们自己去完成 变形 4：如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG，AE 与 CG 相交于点M，CG与 AD相交于点 N求证：CGAE；分析：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60换成直角了，思路一样 例六：如图，ABC 中，C=90，AB=2AC，M 是 AB 的中点，点 N 在 BC 上，MNAB.求证：AN平分BAC.分析：要说明 AN平分BAC，必须说明两角相等，可以说明AMNCAN，而题中已有了一组直角相等，一组公共边（斜边）结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而利用 HL定理得到全等。变形 1：在 RtABC 中，已知A=90，DEBC 于 E 点，如果 AD=DE，BD=CD，求C 的度数 DCBAE图 18 DCBAEDCBAEDCBAE图 17 ABGDCDECBNM
