圆的基本概念与性质.pdf
第七章圆总复习（1）圆的基本概念与性质 【课标要求】：1理解圆的定义和圆的有关概念；2.理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并能运用它们之间的关系解决有 关问题；3.掌握垂径定理及其应用 【复习目标】：1知道圆、弧、弦、圆心角、圆周角等基本概念；认识圆的对称性；了解圆锥 的侧面展开图是扇形。2能用垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理，圆周角定理及推论，等进行 简单的运算和推理；会通过作图的方法理解确定圆的条件。3会用折叠、旋转、圆的对称性及分类讨论的思想方法探索图形的有关性质，能将有关弦长、半径的实际计算问题转化成解直角三角形问题解决。【知识梳理】：一.知识结构图：圆的基本性质 圆的对称性 弧、弦、圆心角的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系 与圆有关的位置关系 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 三角形的外接圆 切线 三角形内切圆 圆 圆与圆的位置关系 正多边形和圆 等分圆 弧长 有关圆的计算 二圆的基本概念 扇形的面积 圆锥的侧面积与全面积 (1)圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的 图形叫做圆；到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆；(2)弦：连结圆上_的线段叫做弦 (3)直径：_的弦叫做直径 (4)弧：圆上任意两点间的部分叫做_ (5)优弧：_叫做优弧 (6)劣弧：_叫做劣弧 (7)等弧：在同圆或等圆中，_的弧叫做等弧 O (8)弦心距：叫弦心距。三、圆的基本性质 （1）圆的对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有 旋转不变性.（2）同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧 相等,所对的弦相等.(2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.(3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所 对的圆心角相等.如下图 COD=AOB.AB CD AB=CD （3）圆周角：定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（如图 1）（2）在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周 角所对的弧相等.（如图 2）（3）性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于 900(直角).（4）性质 4:900 的圆周角所对的弦是圆的直径.（如图 3）（图 1）（图 2）（图 3）1 BAC BOC 2 AB 是O 的直径 ACB=900 4、例题讲解 ADB 与AEB、ACB 是同弧所对的圆周角 ADB=AEB=ACB 作圆的直径与找 90 度的圆周角也是圆里常用的辅 助线 1.在 O 中，弦 AB 所对的圆心角 AOB=100，则弦 AB 所对的圆周角为 _.（05 年上海）2.如图，AB 是O 的直径,BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C,使 DC=BD,连接 AC 交O 与点 F.（1）AB 与 AC 的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类,请你判断 ABC 属于哪一类 三角形，并说明理由.(05 宜昌)5、垂径定理及推论 (1)垂径定理 垂直于弦的直径_，并且_ (2)推论 平分弦(不是直径)的直线_，并且_弦的垂直平 分线 _.平分弦所对的一条 弧的直径，_.如图，CD 是圆 O 的直径,CDAB AP=BP，AD BD，AC BC 6、例题讲解 3、如图,已知O 的半径 OA 长为 5,弦 AB 的长 8,OCAB 于 C,则 OC 的长为 _.4、如图，圆 O 的弦 AB8 ，DC2，直径 CEAB 于 D，求半径 OC 的长。5、如图，P 为O 的弦 BA 延长线上一点，PAAB2，PO5，求O 的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的 垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角 三角形，便将问题转化为直角三角形的 问题。四、三角形的外接圆与内切圆:（2）C 90，则r （a b c）1，其中p 1 三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.不在同一直线上的三点确定一个圆.熟练掌握以下的结论：设 a、b、c分别为ABC中A、B、C 的对边，面积为 S，则内切圆半径（）r s （a b c）；p 2 1 2 记住：在具体计算时往往用到的是面积法和方程思想 例题讲解：1.已知:如图,O 是 Rt ABC 的内切圆,C 是直角,AC=3,BC=4 求O 的半径 r.r 3 4 5 1.2 2、已知:如图 ABC 的面积 S=4cm2,周长等于 10cm.求内切圆O 的半径 r.r 4.5
