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固体物理学答案朱建国版 3 HUA system office room【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】固体物理学习题指导 配合固体物理学（朱建国等编着）使用 2022年 4 月 28日 方 2,ba、2 正方 简单正方（图中 2 所示）4，4mm 3 六角 简单六角（图中 3 所示）3，3m，6，6mm 4 长方 简单长方（图中 4 所示）有心长方（图中 5 所示）1mm，2mm 1 简单斜方 2 简单正方 3 简单六角 4 简单长方 5 有心长方 二维布拉维点阵 1.4 在六方晶系中，晶面常用 4 个指数（hkil）来表示，如图所示，前 3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 120的共平面轴 a1，a2，a3上的截距 a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴 c 上的截距 c/l.证明：i=-（h+k）并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明 设晶面族（hkil）的晶面间距为 d，晶面法线方向的单位矢量为n。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC 在 a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此 123oooa nhda nkda nid (1)由于 a3=（a1+a2）把（1）式的关系代入，即得 根据上面的证明，可以转换晶面族为（001）（0001），(133)(1323)，(110)(1100)，(323)(3213)，（100）(1010)，（010）(0110)，(213)(2133)1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：6（2）体心立方：38（3）面心立方：26（4）六方密堆积：26（5）金刚石：316。答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有：边长为 a的立方晶胞中堆积比率为 假设硬球的半径都为 r，占据的最大面积与总体积之比为，依据题意（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为 2r，那么：=334/3(2)rr=6（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为 4r，则其边长为43r，那么：=332(4/3)(4/3)rr=38（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为 4r，则其边长为2 2r，那么：=334(4/3)(2 2)rr=26（4）对于六方密堆积 一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为 a=2r，因此=3242()332ra c=26（5）对于金刚石结构 Z=8 38ar 那么333443*8()338rFZa=316.1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以 nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处 i，j，k为笛卡儿坐标系中 x，y，z 方向的单位失量.问：（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？答：（1）因为 a=3i，b=3j，而 c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c）式中 c=3c。显然，a、b、c构成一个边长为 3*10-10m 的立方晶胞，基矢 c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。（2）晶胞的体积=c(ab)=3k(3i3j)=27*10-30(m3)原胞的体积=c(ab)=1(333)(33)2ijkij=13.5*10-30(m3)1.7 六方晶胞的基失为：322aaaij，322abaij，cck 求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：正格子的体积=a（b*c）=232a c 那么，倒格子的基矢为12()b cb223ijaa，22()cab223ijaa ，32()a bb2kc 其第一布里渊区如图所示：1.8 若基失 a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为 答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴 a1，a2，a3上的截距分别为1ah，2ak，3al。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是 这里 d 是原点到平面 ABC 的垂直距离，即面间距。由|n|=1 得到 故12222123()()()hkldaaa 1.9 用波长为 0.15405nm 的 X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角如下 序号 1 2 3 4 5/（）19.611 28.136 35.156 41.156 47.769 已知钽为体心立方结构，试求：（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；（2）上述各晶面族的面间距；（3）利用上两项结果计算晶格常数.答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式 得 1011011.54052.295 10()2sin2sin19.611odm 同法得 应用立方晶系面间距公式 可得晶格常数222hkladhkl 把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得 a 的数值*10-10m 为 3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897 取其平均值则得 1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为 a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.答：参看下图，晶体点阵初基矢量为1aai 用正交关系式022,ijijijijb a 求出倒易点阵初基矢量 b1，b2。设 由112b a 120b a 210b a 222b a 得到下面四个方程式 11()2xyai b ib j （1）1113()()022xyaiajb ib j （2）22()0 xyai b ibj （3）2213()()222xyaiajb ibj （4）由（1）式可得：12xba 由（2）式可得：123yba 由（3）式可得：20 xb 由（4）式可得：243yba 于是得出倒易点阵基矢 补充习题：1.11 什么是晶体什么是非晶体试各举一例说明。答：晶体是原子、离子或分子按照一定的周期性，在结晶过程中，在空间排列形成具有一定规则的几何外形的固体，如铁；非晶体是其中的原子不按照一定空间顺序排列的固体，如玻璃。1.12 什么是原胞什么是晶胞 答：原胞是具有 2 维、3维或者其他维度平移对称性的简单点阵结构的最小重复单元，晶胞是为了反映晶体的周期性和对称性而选取的重复单元。1.13 什么是布拉维原胞什么是 WS 原胞 答：布拉维原胞就是晶胞，WS 原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以改点为中心的凸多面体即为该点的 WS 原胞。1.14 试计算面心立方和体心立方的堆垛因子 答：设面心立方晶胞的边长为a，则堆垛成面心立方晶胞的原子半径最大为4/2a。由于面心立方体晶胞中有4216818个原子，所以面心立方的堆垛因子7405.0624423433aa 设体心立方晶胞的边长为 a，则堆垛成体心立方晶胞的原子半径最大为4/3a。由于体心立方晶胞中有21818个原子，所以体心立方的堆垛因子6802.0832433433aa 1.15 绘出面心立方的晶胞和原胞示意图。答：面心立方的晶胞和原胞如下图所示，黑色-晶胞，蓝色-原胞。1.16 试绘出二维正方晶格的WS 原胞，设边长为 a。答：1.17 请列表给出简立方、体心立方、面心立方的最近邻（第一近邻）到第十近邻的原子数、原子间距。答：设简立方、体心立方、面心立方晶胞边长为a。第 n 近邻 简立方 体心立方 面心立方 原子数 原子间距 原子数 原子间距 原子数 原子间距 1 6 8 12 2 12 6 6 3 8 12 24 4 6 24 12 5 24 8 24 6 24 6 8 7 12 24 2472 8 30 24 6 9 24 24 12 10 24 24 24 1.18 绘出金刚石结构的两个面心立方子晶格的套构情况。答：金刚石结构是由两个面心立方格子沿体对角线位移 1/4 的长度套构而成。综上，旋转角改写为62,42,32,22,12。即晶体中只存在 1、2、3、4、6次转轴。另外一方面因为晶体的旋转对称性要受到内部结构中点阵无限周期性的限制，有限外形的旋转不能破坏点阵无限的周期排列，所以晶体没有 5 次对称轴，而准晶体是介于周期晶体和非晶玻璃之间的一种新的固态物质形态，即准晶体可以有 5次对称轴。1.23 试写出沿 x2轴有 90旋转轴的变换矩阵。答：（1）逆时针旋转（2）顺时针旋转 1.24 举例宏观对称元素与微观对称元素 宏观：转动 对称中心 反演 对称面 反映 微观：平移和平移轴 螺旋旋转与螺旋轴 滑移反映和滑移面 1.25 对于立方晶系，晶体的介电常数矩阵简化为什么情况？答：在晶体中，电位移矢量D与电场强度E间的关系可以写为：对于立方晶系，当把电场 E同晶体一起转动时，电位移矢量也将作相同的转动。用 D表示转动后的电位移矢量。设电场 E沿着立方轴 y，这时 EDDxyzx，EDDyyyy，EDDxyxx 但是，转动是以E为轴的，实际上电场并未改变。而上述转动又是立方体的一个对称操作，所以转动前后晶体没有任何差别，电位移矢量D应不变，即DD 代入，可得：zyxy，xyzy 即0zyxy 如果取 E沿 z 方向，并绕z 轴转动2，同理，可得：的非对角元都等于零，于是 ED，（zyx,）再取电场沿立方体111方向，则 绕111轴转动32，使 z 轴转到原 x 轴，x 轴转到原 y轴，y轴转到原 z 轴，则转动后的 D写为 与前论述的一样，电场实际是没变的，晶体所经历的又是一个对称操作，晶体也完全未变，所以，D和 D应相同。第 2 章 晶体的结合 2.1 解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与7r成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与 2个电负性较大而原子半径较小的原子（如 O，F，N等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为 50kJ/mol。2.2 解：2.3 解：根据弹性模量的定义可知 0022VVdVUdVdVdPVK （1）上式中利用了dVdUP的关系式。设系统包含N个原子，则系统的内能可以写成)(2)(2nmrrNruNU （2）又因为可把N个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距r的函数，即 3rNNvV （3）上式中为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构，2/2）。又因为 2112312)(31)(0rNrnrmNdrdUNrdVdUnmR （4）0011222(231)(rrnmVrnrmNrNdrddVdrdVUd nmnmrnrmrnrmNV0002022033291（5）考虑平衡条件0)(0rdVdU，得nmrnrm00，那么（5）式可化为 )(92929102000200020UVmnrrNVmnrmnrnmNVnmmn（6）将（6）式代入（1）式得：00020099VmnUUVmnVK，所以0091UmnVK 2.4 解：在平衡位置时有 KErBrAru10020)(（1）0102)(11030rBrAdrrdu （2）将离解能4kEeV和3.00rnm,代入（1）和（2）式可得：19105.4AeVm2，96109.5BeVm10。2.5 解：由题意有以下方程成立：把0r，U的具体数值代入上述方程组，即得：由此可得：9105100578.1mJA，mJB281052.2 该晶体的有效弹性模量为：又 3rNNvV（上式中N表示晶体中所含的原子个数 ，表示与晶体结构有关的因子）故 0)(91220rdrUdNrK)290(91301100rBrAr11102797.391=4.7341010 2.6 解：（1）在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积33rav，故1；（2）在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积33322)2(4141rrav，故22；（3）在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积333934)32(2121rrav，故934；（4）在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积333938)34(8181rrav，故938；（5）在 NaCl 点阵中，每个原子平均所占据的体积333)2(8181rrav；故1。2.7 解：2.8 解：2.9 解：NaCl 晶体中 Na+和 Cl-的最近距离为 r0，晶胞基矢长为 2r0 NaC l 晶体中 Na+和 Cl-的最近距离为0r。晶胞基矢长为 20r，一个晶胞中含有四对正负离子对。一个原胞（一个 NaCl 分子）的体积为：302vr=23(2335.45)2.16 6.02 10mN NaCl 晶体中的正负离子的平衡间距为：802.82 100.282rcmnm0.2818nm 由晶体体积弹性模 量的公式：=12941019236 3.14 8.85 102(0.282 10)12.41 101.7476(1.6 10)=7.82 由平衡时离子晶体的内聚能公式：20 01(1)4cNMeUrn，将 n=7.82 代入得 NaCl 晶体的每对离子的内聚能为：=19212191.7476(1.6 10)1(1)4 3.14 8.85 100.282 107.82 2.10 解：（1）在平衡时，有下式成立 06212)(7061301200 xxdxxduxx （1）由上式可得0 x（2）设该N个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为)(xU，那么有 611210)(2)(2)(jjjxxNxU （2）设X为 2 个原子间的最短距离，则有Xaxji1，那么（2）式可化为 6120)()(2)(XBXANXU （3）其中（3）式中00048.2)31211(21121212jjaA，07809.4)31211(2212666jjaB。那么每个原子的平均晶格能为 2.11 解：.若 NaCl 晶体的马德隆常数=1.75，晶格常数 a=5.640A，幂指数 n=9。晶体拉伸而达到稳定极限时，求：（1）离子间距增加多少？（2）负压强的理论值是多大？解：（1）设该 NaCl 晶体的含有N个离子，则其相互作用势能为 nrBrMqNrU0242)(（1）上式中的r指 NaCl 晶体中相邻两离子间的距离。又设 NaCl 晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为0r，则有ar210。由平衡条件可知 042)(001202rrnrrrnBrMqNdrrdU（2）由（2）式可得：10024nrnMqB。当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值，即有 0)1(422)(11230222rrnrrrBnnrMqNdrrUd（3）将10024nrnMqB代入（3）式可得 因而离子间距增加了63.082.245.301rrr0A 2.12 试利用中性计算三维 NaCl 晶体的马德隆常数。2.13 试求出 GaAs的离子键比例，Ga、As 的电负性分别为 1.5、2.0。2.14 Kr晶体是面心立方结构，满足勒纳-琼斯势，如果只计算到第三近邻，试求热平衡时 Kr晶体的结合能。解：第 3 章 晶格振动和晶体的热学性质 3.1 试求由 5 个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量 m8.351027kg，恢复力常数15Nm1 解：一维单原子链的解为)(qnatinAeX 据周期边界条件 11NXX，此处 N=5,代入上式即得 所以 aq52（为整数）由于格波波矢取值范围：aqa。则 2525 故可取2，1，0，1，2 这五个值 相应波矢：a54,a52,0,a52,a54 由于2sin4qam，代入，m 及 q 值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位）8.06 1013，4.991013，0，4.991013，8.061013 3.2 求证由 N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 2122)(2mN 式中mm4是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N 解：对一维单原子链，dqqqdqddN2)(所以 dqdq2 （1）由色散关系2sin4qam 求得 2/12)2sin1(2422cos4qaamaqamdqd2/12)4(2ma （2）而 22NaLq，则由（1）式可得 由于mm4，则总的振动模数为 令sinm，则积分限为 0 到2/，故 3.3 设晶体由 N 个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为 239mN 解：由书上（369）式可得 32223vvg （1）由（371）可得 vnmD3/126 由此可得 nvm32332，代入（1）式得 3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量 m8.351027kg，另一种原子的质量 M4m，力常数15Nm1，试求（1）光学波的最高频率和最低频率max和min；（2）声学波的最高频率Amax；（3）相应的声子能量（以eV 为单位）；（4）在 300K可以激发频率为max，min和Amax的声子的数目；（5）如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。解：（1）mmMMm54（2）eV21913341041410611100712106266.max （3）11/kTwen 221.0maxn，276.0minn，873.0maxAn （4）光速vc，mmcvc28108.225max 3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为 m，而最近邻原子间的力常数交替地等于和 10，且最近邻的距离为2/a，试画出色散关系曲线，并给出0q和aq/处的 q。解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，原子的运动方程应是nnnnnnnnnnxxxxxmxxxxxm212122212122212210 即 nnnnxxxxm2121221110 求格波解，令 tqaninAex222，tqaninBex21212 代入运动方程，可导出线性方程组为：令20m，从 A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得 可解出 101cos2011202qa 色散关系见下图 0q时，1cosqa，022，0 aq时，1cosqa，020，02 3.6在一维双原子链中，如1mM，求证 证 由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支 mM，14mMmM 由近似式nxxn11，）当1(x 得sin)(4211 12/12221qaMmmMmMMm qaMqaMm22sin2sin2，对22，由于mM，MmM 10 10 m x2n-1 x2n x2n+1 x2n+2 3.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界aq2处，声学支格波中所有轻原子 m 静止，而光学支格波中所有重原子 M 静止。画出这时原子振动的图象。证 由（318）第一式得22cos2mqaBA，当aq2 时 0cosqa 且对声学支2/12M，代入上式即得：0220MmBA，故 A0，轻原子静止 再由（318）第二式得22cos2MqaAB，当aq2 时0cosqa 且对光学支，2/12M，代入上式即得 0220MmAB 故 B0，重原子静止 3.8 设固体的熔点mT对应原子的振幅等于原子间距a的 10的振动，推证，对于简单晶格，接近熔点时原子的振动频率2/1502MTkamB，其中 M 是原子质量。解 当质量为 M 的原子以频率及等于原子间距a的 10的振幅振动时，其振动能为：2222102121aMAME 在熔点mT时，原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个一维原子的平均能量为mBTk，于是有mBTkaM221021，由此得 3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容2011 32TNkCDBv 证明：由书可知43209(/)1DxTvBDxe x dxCNkT Te 在高温时，DT，则在整个积分范围内x为小量，因此可将上式中被积函数化简为12112124122222342/2/424xxxxxxxeexexexxxx 将上式代入vC的表达式，得353119(/)360DDvBDCNkT TTT 3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为2，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能 解：由（369）式知，状态密度 32223vVVg 则 dvVdEDD32200002321 3.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于2T 证明：（解法一）此题可推广到任意维 m，由于 而德拜模型中vq，故 11mmqg 令xkT，则上式变为 在低温时 kTxDD 则积分dxexexmx0211 为一个于T无关的常数 故 mvTC 对三维 m3 3TCv 对本题研究的二维 m2 2TCv 对一维 m 1 TCv（解法二）德拜模型考虑的格波是弹性波，波速为v的格波的色散关系是vq。在二维波矢空间内，格波的等频线是一个个的圆环，如图所示 在)(dqqq区间内波速为v的格波数目 式中 S 是二维晶格的总面积，由此可得波速为v的格波的模式密度 考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一支横波，所以格波总的模式密度 格波的振动能mBTkpevdSE0221 晶格的热容量mBBTkTkBBpVedeTkkvSC02221 3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为 arbrerU2，b 为待定常数，平衡间距mr100103，求线膨胀系数。解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数 0243rfgkB 其中：02221rdrUdf，033!31rdrUdg 由平衡条件091002020rbredrdUr 8029reb 302110302429022rerbref，402120402352990661rerbreg 由于 mr80103，CGSEe1010806.4 3.13 已知三维晶体在0q附近一支光学波的色散关系为 2220zyxCqBqAqq，试求格波的频谱密度 解：2220zyxCqBqAq 则 1020202CqBqAqzyx 这是 q 空间的一个椭球面，其体积为abc34，而 2/10Aa，2/10Bb，2/10Cc q空间内的状态密度 33)2(2VLq，故椭球内的总状态数N为 故 2/1022/102/12414ABCVABCVddN 补充习题：3.14 具有二维矩形点阵的简单晶格，设原子质量为 M，晶格常数分别为 a和 b，最近邻原子间相互作用的恢复力为，试求此系统沿0 xq；0yq；yxqq 的格波色散关系。3.15 Cu，金刚石，NaCl 晶体应该分别有几支色散关系？解：Cu 有 3支声学波；金刚石有 3 支声学波，3支光学波；NaCl 有 3支声学波，3 支光学波。3.16 对于简立方晶胞，设原子质量为 M；晶格常数为 a；最近邻原子间相互作用的恢复力为。试求此系统沿111;110;100zyxqqq方向的格波色散关系。3.17 对于一维单原子点阵，已知简正模式的色散关系为 式中Mm2，为回复力系数，M 为原子质量。（1）导出模式密度的精确表达式()；（2）在德拜模型下，求出德拜截止频率（最大频率）D.解答:(1)一维简单晶格的色散关系曲线如下图所示:由色散关系的对称性可以看出,d区间对应两个同样大小的波矢空间 dq.a2区间对应 L/a个振动模式,单位波矢区间对应有 L/2个振动模式.d范围则包含 个振动模式.单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度为ddqL.由色散关系得:所以,模式密度:)21cos(2)(qaaLm(2)德拜模型把晶格看作是各向同性的连续介质,把格波看作弹性波.代入可以求出:avpD 3.18 由正负离子组成的一维原子链，离子间距为 a，质量都为 m，电荷交替变化。原子间的互作用势是两种作用势之和：（a）近邻两原子之间的短程作用，力常数 C；（b）所有离子的库仑作用。求：（1）库仑力对力常数的贡献 （2）色散关系 解：3.19 什么是声子？试比较声子与电子的异同点 解：声子不能脱离固体存在，声子只是格波激发的量子，在多体理论中称为集体振荡的准粒子。3.20 什么是布里渊散射什么是喇曼散射 解：光子于与长声学波声子的相互作用一般称之为光子的布里渊散射。光子也可与光学波声子相互作用，这称为光子的喇曼散射。两种散射都不会有倒逆散射。3.21已知一个格波在某个频率下的能量为 0.02eV，试求在 300K 时这个格波的平均声子数是多少如果能量为 0.2eV；2eV，平均声子数又是多少 解：11kTien，E E=0.02,n=0.858 E=0.2,n=4.4E-4 E=2,n=2.7E-34 3.22 如果晶体做严格的简谐振动，则格林爱森常数等于多少？解：由3.98式及 3.99式可得arardrUddrda332 简谐近似是指势能函数展开式只取到二阶项，在简谐振动情况下，势能函数展开式中的三阶及以上系数均为零，所以在此情况下，0。（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化V/V，其中 V 为原有的体积。答：（1）设 n 对肖特基缺陷是从晶体内部移去 n 个正离子和 n 个负离子而形成的。从 N 个正离子中形成 n 个正离子空位的可能方式数为 同时，从 N个负离子中形成 n 个负离子空位的可能方式数也是 于是，在整个晶体中形成 n 对正、负离子空位的可能方式数 由此而引起晶体熵的增量为 设形成一对正、负离子空位需要能量 w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变!2()!BNFUT Snwk TInNn n （1）热平衡时，()0TFn，并应用斯特令公式!InNNInNn，从（1）式得 因为实际上 N?n，于是得 n/N=Bexp（-W/2kBT）（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生 n 对正、负离子空位时，所增加的体积应该是32Vna 式中 a为离子最近邻距离。因为32VNa为晶体原有的体积，有上式可得 4.6 已知扩散系数与温度之间的关系为：/ABEk ToDD e 下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：T/K 878 1007 1176 1253 1322 D/m2s-1 1.6*10-20 4.0*10-18 1.1*10-18 4.0*10-17 1.0*10-16 试确定常数 Do和扩散激活能 EA.答：由公式/ABEk ToDD e，可得 当 T=878，D=1.6*10-20时，D01=4.7 铜和硅的空位形成能 Eu分别是 0.3eV和 2.8eV。试求 T=1000K 时，铜和硅的空位浓度。答：由公式 可得：对于铜50.38.6 1010000.03neN 对于硅52.8158.6 1010007.247 10neN 4.8 碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试 F带的光吸收就可得 F心的形成能 EB。当温度从 570上升到 620时，吸收常数增加了 3.9%左右。假设光吸收的增加是由 F心的数目增加引起的，试计算 F心形成能 EB。答：一价负离子空位俘获一个电子形成 F心，所以 F心的数目可以看作是一价负离子空位的数目，由平衡时空位的数目（4.7）式，可得 F心的数目TkEBBNen 039.01K843K893570570620570570620BBBBBBBBBBkEkEkEkEkEeeNeNeNennn，其中KJkB/1038.123，解，得eVJEB221109682.4109491.7 4.9 考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿111方向滑移、位错线和110平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。答：如图所示：4.10 求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。（1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为111，最小滑移矢量 b 即111晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为 a，则（2）面心立方：滑移面为（111），滑移向为101。最小滑移矢量 b 等于101方向上相邻格点间的距离，即（3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是2110。2110晶向上原子间距为 a，因此，4.11 在 FCC 晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为112，该位错滑移的方向和大小用伯格斯矢量表示为11102b。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错还是螺位错。答：刃位错滑移矢量与位错线垂直 螺位错滑移矢量与位错线平行 ab=0 故是刃位错，滑移面111 第 5 章 金属电子论 5.1 已知银是单价金属，费米面近似球面，银的密度m=10.5103kg m3，原子量A=107.87，电阻率在 295K时为 1.61103 m，在 20K 时为 0.0038103 m（课本数据有误）。试计算：（1）费米能级和费米温度；（2）费米球半径；（3）费米速度；（4）费米球的最大截面积；（5）室温下和绝对零度附近电子的平均自由程。P111 解：电子数密度328323310862.5)1087.107/(10022.6105.10/mANnAm。(p103)费米波矢1103/123/1210202.133mnnkF（1）费米能eVJmkEeFF508.510823.810109.92)10202.1()10055.1(2193121023422 费米温度KkETBFF4231910389.610381.110823.8（2）费米球的半径11010202.1mkF（3）费米速度smmkveFF/10392.110109.910202.110055.16311034（4）费米球的最大横截面积 220210537.4mkSFmF（5）平均自由时间2neme，平均自由程2nemvveFF p105-106 基本电荷Ce1910602.1 室温下KT2951，m12219283316110235.5)10602.1(10862.51061.110109.910392.1 绝对零度附近KT202，m9219283316110218.2)10602.1(10862.5100038.010109.910392.1 5.2（1）求出二维情况下电子浓度n 和 kF的关系式；（2）求出二维情况下 rs和 kF的关系式；（3）证明在二维情况下，g()=常量，当0，或者 g()=0，当0，并求出这个常量的值。解：（1）由周期性边界条件得到，xxnak2和yynak2（其中xn和yn是任意的整数）于是一个 k 态在 k 空间中所占据的面积为：224akkyx。费米波矢 k 是费米面的半径，于是有：NakF2224 2，所以nkF2。（2）在自由电子近似下，每个电子占有的体积为 3341srn 解得3/123/12343Fknrs（3）在自由电子近似下，二维晶格的 K 空间的 kk+dk圆环内的电子状态数为 p110 kdkSkdkSkdN2)2(2)(2，当0时，由于emk222，dmkdke2。即 dSmdNe2)(所以单位面积的二维晶格K空间的状态密度函数g()当0时，0)(g 5.3 证明单位体积的固体内费米能级 EF处的状态密度函数可以写为 证：在自由电子近似下，k 空间的等能面是一个球面，则半径为 k的球体内电子的状态数为2/32223)(EmVENe 单位体积的固体内电子的状态数为 其状态密度2/12/32223231EmdEdZe 又2/32/3322/32222312312FFFeeFFEnEkmmkE，从而FEEndEdZF23 5.4 试用驻波条件讨论 k的取值。求 g()，并与周期性边界条件比较。解：在自由电子近似下，电子在势阱中的薛定谔方程为Eme222，按照分离变数原理，方程可写为：xxxeEdxdm2222，yyyeEdydm2222，zzzeEdzdm2222 上述三个方程的解为：xikxxxeC，yikyyyeC，zikzzzeC 由归一化条件：VdV1*，可知：LCx1，LCy1，LCz1 有边界条件：0,0Lxxx，0,0Lyyy，0,0Lzzz 可得Lnkii，这里in是正整数，zyxi,所以：xLnLxxsin1，yLnLyysin1，zLnLzzsin1 每一个状态点占有的 k 空间的体积是：k空间态密度为31V k空间dkkk壳层内的电子状态数为：dEEmVdkkVdN2/12/322232442 所以2/12/12/322241)(EEmdEdNVg 周期性边界条件下，2/12/12/322*221)(EEmg 可得)(8)(*gg 这是由于在驻波条件下，in只能取正数，而在周期性边界条件下，in可取正负整数。5.5 电子处在体积 V的正交六面体小盒子中，借助测不准关系确定在动量区间pp+dp或能量区间 EE+dE 中电子的量子态数，求动量和能量分别小于 p0和 E0的电子态总数。解：因为体积为 V的电子体系中的能态密度为 2/12/32222EmVdEdN 由 dEdpdpdNdEdN，以及 mpE22，得 dpdpdEdEdNdpdEdpdEdNdN=dpVpdpmpmV2222/322/32242222 有测不准关系，pr，电子位置的不确定 3/1Vr，电子动量的不确定性3/1Vp，所以在动量区间 pp+dp或能量区间 EE+dE 中电子的量子态数为 动量和能量分别小于 p 和 E的电子态总数 Npp0或EE0 5.6 电子在边长为 L的方匣中运动，求出它的前 4 个不同能级的所有波函数，给出各能级的能量和简并度。解：由课本（5.32）式，电子能量2222222zyxnnnLmE 不考虑0zyxnnn，0E的情况，则最小能量分别对应于：zyxnnn、为1,0,0,0,1,0,0,0,1，简并度：3 zyxnnn、为1,1,0,1,0,1,0,1,1，简并度：3 zyxnnn、为1,1,1，简并度：1 zyxnnn、为2,0,0,0,2,0,0,0,2，简并度：3 则波函数分别为：p107 1EE 时，2EE 时，3EE 时，rkKjKiKizyxeL3311 4EE 时，5.7 限制在边长为 L的正方形势阱中运动的 N个二维自由电子气能量为)(2),(222yxyxkkmkkE，试求能量在 EE+dE 间的状态数及费米能。解：由)(2),(222yxyxkkmkkE，得2222mEkkyx 对于给定的能量，方程在波矢空间是一个圆。在 k 空间，单位面积内的状态数：2222L 半径22mEk 的圆内的状态数：22222kLZ,EmLZ22 能量 E到 E+dE之间的状态数：dEmLdZ22 能态密度：22)(mLEN 绝对零度 T=0时，体系的总电子数为0220220FEEmLdEmLNF 绝对零度时的费米能量：mLNEF20 5.8 铜中电子的弛豫时间为 2.31014s，试计算 300K 时的热导率，如果在 273K 时铜的电阻率为 1.5108m，试估计它在同一温度下的热导率。解：铜在 300K时的热导率 铜在 273K 时的热导率 5.9 已知钠是 bcc结构，点阵常数 a=4.28，试用自由电子模型计算霍尔系数。解：钠中电子浓度32831031055.21028.422man 霍尔系数131019281045.210602.11065.211CmneRH 5.10 试证明热发射电子垂直金属表面的平均动能是kBT，则平行于表面的平均能量也是 kBT。证：由