小学奥数教程：圆与扇形计算题.pdf

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积 圆的面积2r；扇形的面积2360nr；圆的周长2r；扇形的弧长2360nr 一、跟曲线有关的图形元素：扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几那么一般的求法是什么呢关键是360n 比如：扇形的面积所在圆的面积360n；扇形中的弧长部分所在圆的周长360n 扇形的周长所在圆的周长360n2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积 一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积(除了半圆)”弯角”：如图：弯角的面积正方形-扇形”谷子”：如图：“谷子”的面积弓形面积2 二、常用的思想方法：转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)等积变形(割补、平移、旋转等)借来还去(加减法)外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块、曲线型旋转问题 【例 1】正三角形ABC的边长是 6 厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米如果三角形面积是 15 平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米(结果保留)ABBCA【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答 例题精讲 圆与扇形【解析】如图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120的圆弧，所以路线的总长度为：1202628360 厘米；三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：212062152415360平方厘米【答案】2415 【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米如下图所示，三角形由位置绕A点转动，到达位置，此时B，C点分别到达1B，1C点；再绕1B点转动，到达位置，此时A，1C点分别到达2A，2C点求C点经1C到2C走过的路径的长 6030B1C1C2A2CBA【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由于BC为AC的一半，所以30CAB，则弧1CC为大圆周长的18030536012，弧12C C为小圆周长的14，而112CCC C即为C点经1C到2C的路径，所以C点经1C到2C走过的路径的长为5150652202 10512433(厘米)【答案】653 【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形它的对角线长恰好是5cm让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90后到达长方形的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置求点A走过的路程的长 EDCBA A2A1ABCDE【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】因为长方形旋转了三次，所以A点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)这三段路程分别是：第 1 段是弧1AA，它的长度是1244(cm)；第 2 段是弧12A A，它的长度是1254(cm)；第 3 段是弧2A E，它的长度是1234(cm)；所以A点走过的路程长为：1112425236444 (cm)【答案】6 【例 2】草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊(见如图)问：这只羊能够活动的范围有多大(圆周率取3.14)30 CBA10201030【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】如图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径30米的34个圆，B，C分别是半径为20米和10米的14个圆 所以羊活动的范围是2223113020 10444 222311302010444 2512【答案】2512 【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积(圆周率按3.14计算)33【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】如图所示，羊活动的范围是一个半径4m，圆心角 300的扇形与两个半径1m，圆心角 120的扇形之和所以答案是243.96m【答案】【例 3】如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60，此时B点移动到B点，求阴影部分的面积(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)BBA60【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】面积圆心角为60的扇形面积半圆空白部分面积(也是半圆)圆心角为60的扇形面积2260334.5(cm)3602【答案】【例 4】如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为 10 厘米，60ABC，此时BC长 5 厘米以点B为中心，将ABC顺时针旋转120，点A、C分别到达点E、D的位置求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积(取 3)ABCDE【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】注意分割、平移、补齐(2)(1)EDCBA 如图所示，将图形移补到图形的位置，因为60EBD，那么120ABE，则阴影部分为一圆环的13 所以阴影部分面积为221753ABBC(平方厘米)【答案】75 【巩固】如右图，以OA为斜边的直角三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长 10 厘米，将它以O点为中心旋转90，问：三角形扫过的面积是多少(取 3)AAO【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之一圆的面积之和圆的半径就是直角三角形的斜边OA 因此可以求得，三角形扫过的面积为：124 10 102425994(平方厘米)【答案】99 【巩固】(“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形ABC中，B为直角，且2BC 厘米，4AC 厘米，则在将ABC绕C点顺时针旋转120的过程中，AB边扫过图形的面积为 (3.14)CBA BACBA【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】如右上图所示，假设ABC旋转120到达A B C的位置阴影部分为AB边扫过的图形 从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于扇形ACA的面积与ABC的面积之和，空白部分面积等于扇形BCB的面积与A B C的面积，由于ABC的面积与A B C的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形ACA与扇形BCB的面积之差，为2212012042412.56360360(平方厘米)【答案】【例 5】如下图，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是 1 米。现在以 C 点为圆点，顺时针旋转90 度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是平方米 。（=）【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。11rr 1r1 因为2221rr，所以212r。所求面积为222211111110.6775424428r（平方米）【答案】【例 6】如图 30-14，将长方形 ABCD 绕顶点 C 顺时针旋转 90 度，若 AB=4，BC=3，AC=5，求 AD 边扫过部分的面积(取 BADCBA 因此 DC 边扫过图形的面积为4，BC边扫过图形的面积为94 2、研究AB边的情况 在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：DCBBAA 下面来求这部分的面积 观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：扇形ACA面积三角形A B C面积三角形ABC面积一扇形BCB面积扇形ACA面积一扇形BCB面积225 3 444 3、研究AD边扫过的图形 由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如图阴影部分所示：AABBCD 用与前面同样的方法可以求出面积为：225 4 9444 旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有 可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的【答案】（1）BC边扫过图形的面积为94 （2）AB边扫过图形的面积为4 （3）AD边扫过图形的面积为94 （4）DC 边扫过图形的面积为4 【例 8】(华杯赛初赛)半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点A，观察半径OA，如图，当小环沿大环内壁滚动到与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图，半径OA也运动到了与初始时相对的位置这时OA沿大环内壁才滚动了半圈继续进行下半圈，直到OA与初始位置重合，这时OA自身转了 1 圈，因此小铁环自身也转了 1 圈 AOAO【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈所以本题也可以考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自己的圆周长，那么小铁环转动了 1 圈【答案】1 圈 【巩固】如果半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】如图，同样考虑小圆的一条半径OA，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径OA滚动了540，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了 3 圈 OA OA 也可以考虑小圆圆心转过的距离小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的 3 倍，所以这个圆的周长也是小圆的 3 倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题中小圆自身转了 3 圈【答案】3 圈 【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n(1n)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离 设小圆的半径为“单位 1”，则大圆的半径为“n”在内测滚动时，如图所示，因为圆心滚动的距离为2(1)n 所以小圆绕自己的圆心转动了：2(1)12nn(圈)图（1）图（2）在外侧滚动时，如图所示 因为圆心滚动的距离为2(1)n 所以小圆绕自己的圆心转动了：2(1)12nn(圈)【答案】n-1 和 n+1 【例 9】如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置问：这枚硬币自身转动了多少圈 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转了180606060而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 120 当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转了360606090150 而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 300 长方形的外圈有 12 个硬币，其中有 4 个在角上，其余 8 个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有 8 次是在长方形的一条边之内滚动，4 次是从长方形的一条边滚动到另一条边120830042160，所以这枚硬币转动了 2160，即自身转动了 6 圈 另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个2即滚动了一周【答案】6 圈 【巩固】12 个相同的硬币可以排成下面的 4 种正多边形(圆心的连线)用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周问：在哪个图中这枚硬币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】对于同样是 12 个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”上的转动，一是在”边”上的滚动抓住关键方法：圆心轨迹长度2自身转动圈数结论：一样多；都是 6 圈【答案】一样多；都是 6 圈 【例 10】一枚半径为 1cm的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置，那么与原A点重合的点是_硬币自己转动_，硬币圆心的运动轨迹周长为_ FEDCBAFEDCBA【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆，1(22)362，623，即为3周，所以答案为A点，3周，6【答案】A点，3周，6 【例 11】先做一个边长为2cm的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm为半径作弧，形成曲边三角形(如左图)再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米(3.14)CBA222 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才能实施具体的计算 图 图BCA22222222222 DD图BAC22222222 图ABC22222222 在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就是它在所有方向上的宽度都相同 为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分 2 步来思考：第 1 步：如图所示，当“莱洛三角形”从顶点A的上方滚动到顶点A的左边时，这时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以A为圆心、2cm为半径、圆心角为60的扇形在顶点A、B、C处各有这样的一个扇形；第 2 步：如图所示，当“莱洛三角形”在边AB上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是以图中D点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C点为圆心的弧AB上滚动，可知此时圆心D运动的轨迹是图中的弧DD，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以C为圆心、4cm为半径、圆心角为60的扇形减去半径为2cm的60的扇形；综上所述，去掉图中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积 滚动时经过的面积是：222260606032342825.12(cm)360360360 【答案】【例 12】下图为半径 20 厘米、圆心角为 1440的扇形图.点 C、D、E、F、G、H、J 是将扇形的 B、K 弧线分为8 等份的点.求阴影部分面积之和 KJHGFEDCBA144【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】如下图,做出辅助线,NML144ABCDEFGHJK KMA 与ANG 形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有KMAANG,KMAANGSS,而LMA 是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等 所以,GNMK 与扇形 KGA 的面积相等,那么 KGEB 的面积为 2 倍扇形 KGA 的面积 扇形 KGA 的圆心角为014483=540,所以扇形面积为0542036060平方厘米 那么 KGEB 的面积为 602=120平方厘米 如下图,做出另一组辅助线 KJHGFEDCBA144PQR JQA 与ARH 形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有JQAARH,JQAARHSS=5A,而PQA 是两个三角形的公共部分,所以右图中的阴影部分面积相等.所以,JHRQ 与扇形 JHA 的面积相等,那么 JHDC 的面积为 2 倍扇形 JHA 的面积 扇形 JHA 的圆心角为001441808,所以扇形面积为2182020360平方厘米 那么 JHDC 的面积为20240平方厘米 所以,原题图中阴影部分面积为KGEBJHDCSS120408080=平方厘米【答案】【例 13】10 个一样大的圆摆成如图所示的形状过图中所示两个圆心 A，B 作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少 BA【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】直线 AB 的右上方的有 2 个完整的圆，2 个半圆，1 个1 个而 1 个1 个正好组成一个完整的圆，即共有 4 个完整的圆，那么直线 AB 的左下方有 10-4=6 个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是 4：6=2：3【答案】2:3 【例 14】在图中，一个圆的圆心是 0，半径 r=9 厘米，1=2=15.那么阴影部分的面积是多少平方厘米(取