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导数微分不定积分公式 Hessen was revised in January 2021 一、导数的概念及其计算 1导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0处有增量x，那么函数 y 相应地有增量y=f（x0+x）f（x0），比值xy叫做函数 y=f（x）在 x0到 x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x0处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x0处的导数，记作 f（x0）或 y|0 xx。即 f（x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：（1）函数 f（x）在点 x0处可导，是指0 x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点 x0处不可导，或说无导数（2）x是自变量 x 在 x0处的改变量，0 x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点 x0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y=f（x0+x）f（x0）；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数 f(x0)=xyx0lim。2导数的几何意义 函数 y=f（x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点 p（x0，f（x0）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点 p（x0，f（x0）处的切线的斜率是 f（x0）。相应地，切线方程为 yy0=f/（x0）（xx0）。3常见函数的导出公式 （）0)(C（C 为常数）（）1)(nnxnx （）xxcos)(sin （）xxsin)(cos 4两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)vuvu 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv 若 C 为常数,则0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(CuCu 法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu=2vuvvu（v0）。二、定积分的概念及其计算（牛顿莱布尼茨公式）1定积分（1）概念 设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0 x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式Innif1(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0 时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：badxxf)(，即badxxf)(ninf1lim(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间 a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式 定理 若函数)(xf在,ba上连续，且存在原函数)(xF，则)(xf在,ba上可积，且 baaFbFdxxf)()()(这即为牛顿莱布尼茨公式，也常记为babaaFbFxFdxxf)()()()(。基本的积分公式：dx0C；dxxm111mxmC（mQ，m1）；x1dxlnxC；dxexxeC；dxaxaaxlnC；xdxcossinxC；xdxsincosxC（表中C均为常数）（2）定积分的性质 babadxxfkdxxkf)()(（k为常数）；bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（其中acb)。（3）定积分求曲边梯形面积 由三条直线xa，xb（ab），x轴及一条曲线yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积badxxfS)(。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及SS曲边梯形AMNBS曲边梯形直线xa，xb（ab）围成，那么所求图形的面积DMNCbabadxxfdxxf)()(21。一、基本导数公式：1222221.2.3.ln4.15.logln16.ln7.sincos8.cossin9.tansec10.cotcsc11.secsec tan12.csccsc cot113.arcsin1114.arccos1115.arctan11nnxxxxakxkxnxaaaeexxaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 216.acot1rcx 二、基本微分公式：12221.2.3.ln4.15.ln16.logln7.sincos8.cossin9.tansec10.cotcsc11.secsec tan12.csccsc cot113.arcsin114.arccosnnxxxxad kxkd xnxdxd aaadxd ee dxdxdxxdxdxxadxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxxdxdxxxdxdxdxxdx 22211115.arctan1116.cot1dxxdxdxxd arcxdxx 三、不定积分基本公式：11.2.13.14.ln15.ln|6.sincos7.cossin8.tanln|cos|9.cotln|sin|10.cscln|csccot|11.secln|sectan|nnxxxxkdxkxcxx dxcne dxeca dxacadxxcxxdxxcxdxxcxdxxcxdxxcxdxxxcxdxxxc 2232121311xdxxcx dxxcdxcxx 22222222222112.ccotsin113.sectancos114.arctan1115.arcsin116.sec tansec17.csc cotcsc118.arctan119.ln|220.dxcsxdxxcxdxxdxxcxdxxcxdxxcxxxdxxcxxdxxcdxxcxaaadxxacxaaxadxa 222222222arcsin21.ln|22.ln|xcaxdxxxacxadxxxacxa 221ln 112xdxxcx 21arctan1dxxcx
