行程问题中的一些常见类型.pdf

v1.0 可编辑可修改 1 行程问题集合（一共 61 题）注：解答仅供参考，可以用小学的方法去解决，欢迎互相探讨解法。常用知识点：1、行程问题：行程问题可以大概分为简单问题、相遇问题、时钟问题等。2、常用公式：1）速度时间=路程；路程速度=时间；路程时间=速度；2）速度和时间=路程和；3）速度差时间=路程差。3、常用比例关系：1）速度相同，时间比等于路程比；2）时间相同，速度比等于路程比；3）路程相同，速度比等于时间的反比。4、行程问题中的公式：1）顺水速度=静水速度+水流速度；2）逆水速度=静水速度水流速度。5、常画画线段图，利用数形结合的方式解决问题。例 1：一辆汽车往返于甲乙两地，去时用了 4 个小时，回来时速度提高了 1/7，问：回来用了多少时间？分析与解答：在行程问题中，路程一定，时间与速度成反比，也就是说速度越快，时间越短。设汽车去时的速度为 v 千米/时，全程为 s 千米，则：去时，有sv=s/v=4，则回来时的时间为：，即回来时用了小时。评注：利用路程、时间、速度的关系解题，其中任一项固定，另外两项都有一定的比例关系（正比或反比）。例 2：A、B 两城相距 240 千米，一辆汽车计划用 6 小时从 A 城开到 B 城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了 30 分钟，如果按原计划到达 B 城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。解答：后半段路程长：2402=120（千米），后半段用时为：62=（小时），后半段行驶速度应为：120=48(千米/时)，原计划速度为：2406=40（千米/2 时），汽车在后半段加快了：4840=8（千米/时）。答：汽车在后半段路程时速度加快 8 千米/时。例 3：两码头相距 231 千米，轮船顺水行驶这段路程需要 11 小时，逆水每小时少行 10 千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。解答：轮船顺水速度为 23111=21（千米/时），轮船逆水速度为 2110=11（千米/时），逆水比顺水多需要的时间为：2111=10（小时）答：行驶这段路程逆水比顺水需要多用10 小时。例 4：汽车以每小时 72 千米的速度从甲地到乙地，到达后立即以每小时 48 千米的速度返回到甲地，求该车的平均速度。分析：求平均速度，首先就要考虑总路程除以总时间的方法是否可行。解答：设从甲地到乙地距离为 s 千米，则汽车往返用的时间为：s48+s72=s/48+s/72=5s/144，平均速度为：2s5s/144=144/52=(千米/时)评注：平均速度并不是简单求几个速度的平均值，因为用各速度行驶的时间不一样。例 5：一辆汽车从甲地出发到 300 千米外的乙地去，在一开始的 120 千米内平均速度为每小时 40 千米，要想使这辆车从甲地到乙地的平均速度为每小时 50 千米，剩下的路程应以什么速度行驶？分析：求速度，首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程和总时间的关系。解答：剩下的路程为 300120=180（千米），计划总时间为：30050=6（小时），剩下的路程计划用时为：612040=3（小时），剩下的路程速度应为：1803=60（千米/小时），即剩下的路程应以 60 千米/时行驶。评注：在简单行程问题中，从所求结果逆推是常用而且有效的方法。例 6：骑自行车从甲地到乙地，以每小时 10 千米的速度行驶，下午 1 时到；以每小时 15 千米的速度行进，上午 11 时到；如果希望中午 12 时到，应以怎样的 3 速度行进？分析：求速度，先找相应的路程和时间，本题中给了以两种方法骑行的结果，这是求路程和时间的关键。解答：考虑若以 10 千米/时的速度骑行，在上午 11 时，距离乙地应该还有 102=20（千米），也就是说从出发到 11 时这段时间内，以 15 千米/时骑行比以 10千米/时骑行快 20 千米，由此可知这段骑行用时为：20（1510）=4（小时），总路程为 154=60（千米），若中午 12 时到达需总用时为 5 小时，因此骑行速度为 605=12（千米/时），即若想 12 时到达，应以 12 千米/时速度骑行。例 7：一架飞机所带的燃料最多可以用 6 小时，飞机去时顺风，时速 1500 千米，回来时逆风，时速为 1200 千米，这架飞机最多飞出多远就需往回飞？分析：求路程，需要速度和时间，题目中来回速度及总时间已知，我们可以选择两种方法：一是求往、返各用多少时间，再与速度相乘，二是求平均速度与总时间相乘，下面给出求往 返时间的方法。解答：设飞机去时顺风飞行时间为 t 小时，则有：1500t=1200(6t),2700t=7200,t=8/3(小时)，飞机飞行距离为 15008/3=4000（千米）评注：本题利用比例可以更直接求得往、返的时速，往返速度比 5：4，因此时间比为 4：5，又由总时间 6 小时即可求得往、返分别用时，在往返的问题中一定要充分利用往返路程相同这个条件。例 8：有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡，平路及下坡的路程相等，某人骑车过桥时，上坡平路，下坡的速度分别为每秒 4 米、6 米、8 米，求他过桥的平均速度。分析：上坡、平路及下坡的路程相等很重要，平均速度还是要由总路程除以总时间求得。解答：设这座桥上坡、平路、下坡各长为 S 米，某人骑车过桥总时间为：s4+s6+s8=s/4+s/6+s/8=13/24s，平均速度为：3s13/24s=24/133=72/13=5又 7/13（秒），即骑车过桥平均速度为 5 又 7/13 秒。v1.0 可编辑可修改 4 评注：求平均速度并不需要具体的路程时间，只要知道各段速度不同的路程或时间之间的关系即可，另外，三段或更多路的问题与两段路没有本质上的差别，不要被这个条件迷惑。例 9：某人要到 60 千米外的农场去，开始他以每小时 5 千米的速度步行，后来一辆 18 千米/时的拖拉机把他送到农场，总共用了小时，问：他步行了多远？解答：如果小时全部乘拖拉机，可以行进：18=99(千米)，其中 9960=39（千米），这 39 千米的距离是在某段时间内这个人在行走而没有乘拖拉机因此少走的距离，这样我们就可以求行走的时间为 39（185）=3（小时），即这个走了 3 个小时，距离为 53=15（千米），即这个人步行了 15 千米。评注：在以两种速度行进的题目中，假设是以一种速度行进，通过行程并和速度差求时间非常重要的方法。例 10：已知某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用 120 秒，整列火车完全在桥上的时间为 80 秒，求火车的速度和长度。分析：本题关键在求得火车行驶120 秒和 80 秒所对应的距离。解答：设火车长为 L 米，则火车从开始上桥到完全下桥行驶的距离为（1000L）米，火车完全在桥上的行驶距离为（1000L）米，设火车行进速度为u 米/秒，则：由此知 200u=2000，从而 u=10，L=200，即火车长为 200 米，速度为 10 米/秒。评注：行程问题中的路程、速度、时间一定要对应才能计算，另外，注意速度、时间、路程的单位也要对应。例 11：甲、乙各走了一段路，甲走的路程比乙少 1/5，乙用的时间比甲多了 1/8，问甲、乙两人的速度之比是多少？分析：速度比可以通过路程比和时间比直接求得。解答：设甲走了 S 米，用时 T 秒，则乙走了 S（11/5）=5/4 S（米），用时 5 为：T（1+1/8）=9/8 T（秒），甲速度为：S/T，乙速度为：5/4 S 9/8 T=10S/9T，甲乙速度比为 S/T：10S/9T=9：10 评注：甲、乙路程比 4/5，时间比 8/9，速度比可直接用：4/5 8/9=9/10，即9：10。例 12：一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要 6 小时，逆流要 8 小时，水流速度为每小时 2.5 千米，求船在静水中的速度。分析：顺流船速是静水船速与水流速度之和，而逆流船速是两者之差，由此可见，顺流与逆流船速之差是水流速的 2 倍，这就是关键。解答：设船在静水中速度为 U 千米/时，则：（U+）6=(U8，解得 U=，即船在静水中速度为 17.5 千米/时。评注：行船问题是行程问题中常见的一种，解这些题时注意船速、水流之间的关系。例 13：甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以每小时 4.5 千米的速度走了路程的一半，又以每小时千米的速度走完了另一半，乙班用一半时间以每小时 4.5千米的速度行进，另一半时间以每小时 5.5 千米的速度行进，问：甲、乙两班谁将获胜？分析：表面上看两班行军都是两种速度各一半，但时间的一半与路程的一半是不同的。解答：设总路程为 S 千米，则：甲班用时：T1=S/2 S/2=S/9S/11=20/99S(小时)，乙班用时：T2=S（）2=1/5 S(小时)，比较可得：T1T2，即乙班用时较短，会获胜。评注：以上解法具体分析了两种方法的用时，其实我们只从性质分析，已用一半时间快走，一半时间慢走，所以快走的路程比慢走的距离长，也就是说乙用快速走的路程超过了总路程的一半，因此自然比甲班快。这道题也代表了一类的问题。例 14：甲、乙两人在 400 米环形跑道上跑步，两人朝相反的方向跑，两个第一次相遇与第二次相遇间隔 40 秒，已知甲每秒跑 6 米，问乙每秒跑多少米？分析：环形跑道上相反而行，形成了相遇问题，也就是路程、时间及速度和关 6 系的问题。解答：第一次相遇到第二次相遇，两个人一共跑 400 米，因此速度和为 40040=10（米/秒），乙速度为 106=4（米/秒），即乙每秒跑 4 米。评注：环形跑道上的相遇问题要注意一定时间内两人行进路程的总和是多少。例 15：一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 299 千米的两地相向而行，公共汽车每小时行 40 千米，小轿车每小时行 52 千米，问：几小时后两车第一次相距 69 千米再过多少时间两车再次相距 69 千米？分析：相遇问题中求时间，就需要速度和及总路程，确定相应总路程是本题重点。解答：第一次相距 69 千米时，两车共行驶了：29969=230（千米），所用时间为 230（4052）=（小时），再次相距 69 千米时，两车从第一次相距 69 千米起又行驶了：692=138（千米），所用时间为：138（4052）=（小时），即小时后两车第一次相距 69 千米，小时后两车再次相距 69 千米。评注：相遇问题与简单行程问题一样也要注意距离、速度和及时间的对应关系。例 16：一列客车与一列货车同时同地反向而行，货车比客车每小时快 6 千米，3小时后，两车相距 342 千米，求两车速度。分析：已知两车行进总路程及时间，这是典型的相遇问题。解答：两车速度和为：3423=114（千米/小时），货车速度为（1146）2=60（千米/时），客车速度为 11460=54（千米/时），即客车速度 54 千米/时，货车速度为 60 千米/时 评注：所谓“相遇问题”并不一定是两人相向而行并相遇的问题，一般地，利用距离和及速度和解题的一类题目也可以称为一类特殊的相遇问题。例 17：甲、乙两辆车的速度分别为每小时 52 千米和 40 千米，它们同时从甲地出发开到乙地去，出发 6 小时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1 小时后，乙车也遇到了这辆卡车，求这辆卡车速度。分析：题目中没有给任何卡车与甲车相遇前或与乙车相遇后的情况，因此只能分析卡车从与甲车相遇到乙车相遇这段时间的问题。7 解答：卡车从甲车相遇到与乙车相遇这段时间与乙车在做一个相遇运动，距离为出发 6 小时时，甲、乙两车的距离差：（5240）6=72（千米），因此卡车与乙车速度和为：721=72（千米/时），卡车速度为 7240=32（千米/时）评注：在比较复杂的运动中，选取适当时间段和对象求解是非常重要的。例 18：甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，它们相遇时距 A、B 两地中心处8 千米，已知甲车速度是乙车的倍，求 A、B 两地距离。分析：已知与中心处的距离，即是知道两车行程之差，这是本题关键。解答：甲车在相遇时比乙车多走了：82=16（千米），由甲车速度是乙的倍，相遇时所走路程甲也是乙的倍，由此可知乙所走路程为 16（1）=80(千米)，两地距离为（808）2=176（千米），即两地相距 176 千米。评注：有效利用各种形式的条件也是重要的技巧。例 19：兄妹二人在周长 30 米的圆形水池边玩，他们从同一地点同时出发，背向绕水池而行，兄每秒走 1.3 米，妹每秒走 1.2 米，照这样计算，当他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？分析：本题重点在于计算第十次相遇时他们所走过的路程。解答：每两次相遇之间，兄妹两人一共走了一圈30 米，因此第十次相遇时二人共走了：3010=300（米），两人所用时间为：300（）=120(秒)，妹妹走了：120=144(米)，由于 30 米一圈，因此妹妹再走 6 米才能回到出发点。例 20：甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，在距 B 地 54 千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距 A 地 42 千米处相遇，求两次相遇地点的距离。分析：甲、乙共相遇两次，得到第二次相遇时总路程是关键。解答：第一次相遇时，甲、乙两人走的总路程是 A 到 B 距离的 3 倍，因此乙所走路程为 543=162（千米），这时他们相距 A 地 42 千米，也就是说 A、B 距离为：16242=120（千米），两次相遇地点距离为 1205442=24（千米）评注：除了对总路程的分析以外，还要注意二次相遇时甲从 B 向 A 走，乙从 A向 B 走，为了直观也可以画一个示意图，如下：v1.0 可编辑可修改 8 例21：甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行，若甲先出发 2 小时，则乙动身小时后两个人相遇，若乙先出发 2 小时，则甲动身 3 小时后两人相遇，求甲、乙两人速度。分析：换一种说法，甲走小时，乙走小时走完36 千米：甲走 3 小时，乙走 5 小时也可以走完全程 解答：设甲速度为 U 千米/时，乙速度为 V 千米/时，即甲速度 6 千米/时，乙速度 3.6 千米/时。例 22：两列火车相向而行，甲车每小时行 48 千米，乙车每小时行 60 千米，两车错车时，甲车上一乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗共用 13 秒钟，求乙车全长多少米？分析：甲车乘客看到乙车经过用了 13 秒而他看到的乙车速度则是甲、乙两车实际速度之和。解答：乘客看到乙车的相对速度即甲、乙车实际速度之和为：4860=108（千米/时）合 30 米/秒，乙车长为：3013=390（米），即乙车全长为 390 米 评注：错车也是一类常见问题，重点在于如何求得相对速度，另外，注意单位的换算，1 米/秒合 3.6 千米/时。例 23：一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是 280 米，慢车的车长是 385 9 米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是 11 秒，那么坐在慢车上的人看见慢车驶过的时间是多少秒？分析：慢车上的人看快车和快车上的看慢车，他们看到的相对速度是相同的，这就是本题的关键。解答：两车相对速度为：38511=35（米/秒），慢车上的人看快车驶过的时间为：28035=8（秒），即坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是8 秒 评注：在错车的问题中，对双方来说相对速度是相同的，不同的是错车的距离和时间，对车上的人，距离一般是对方车长。例 24：某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，问该列车与另一列车长 320 米，时速 64.8 千米的列车错车而过需要几秒？分析：列车通过隧道行进的距离是隧道长加车长，两车完全错车行进的距离之和是两车之和。解答：列车通过第一个隧道比通过第二个隧道多走了40 米，多用 2 秒，同此列车速度为：（250210）（2523）=20（米/秒），车长为 2025250=250（米），另一辆车时速 64.8 千米，合 18 米/秒，两车错车需时为：（250320）（2018）=15（秒），即两车错车需要 15 秒 评注：在火车错车、过桥、过隧道、进站等问题中常常会用到车长作为行进距离的一部分，因此遇到此类问题一定要特别小心。例 25：一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走 15 分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10 辆迎面开来的电车，到甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了多少分钟？分析：本题重点在通过电车的数量计算时间。解答：记骑车人出发时进入乙站的车为第一辆，包括中途遇到车子、骑车人到甲站时出站的车为第十二辆，从第一辆进站到第二辆出站的时间就是骑车人用的时 10 间，由题目条件第一辆车进站的同时，第四辆车正在从甲站出站，第四辆车出站到第十二辆车出站共经过 40 分钟，因此骑车人从乙站到甲站用了 40 分钟。评注：本题没有一般行程问题的计算，注意计数时不要出错。例 26：甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑 10 米，则甲跑 5 秒钟追上乙，若乙比甲先跑 2 秒钟，则甲跑 4 秒钟能追上乙，问：两人每秒各跑多少米？分析与解答：甲让乙先跑 10 米，则甲跑 5 秒可追上乙，也就是甲每秒比乙多跑：105=2（米），乙比甲选跑 2 秒钟，则甲跑 4 秒追上乙，也就是说乙比甲先跑了 24=8（米），因此乙速度为：82=4（米/秒），甲速度为：42=6（米/秒），即甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米 评注：追及问题是关于行程差，速度差及时间关系的问题，它与相遇问题有很多相似的地方，也有不同的地方。例 27：甲、乙两地相距 600 千米，一列客车和一列货车同时由甲地开往乙地，客车比货车早到小时，客车到达乙地时货车行驶了全程的 4/5，问货车行驶全程需要多少时间？分析：考虑在客车到达后，货车行驶的情况。解答：客车到达后，货车又行驶了小时，走了全程的 1/5，因此货车走全程需要1/5=(小时)，即货车行驶全程要小时 评注：有时题目中也会有用不到的条件，因此从结果出发反推，仔细观察题目中有对应关系的条件，能提高效率。例 28：两辆拖拉机为农场送化肥，第一辆以每小时 9 千米的速度由仓库开往农场，30 分钟后，第二辆以每小时 12 千米的速度由仓库开往农场，问：1）第二辆追上第一辆的地点距仓库多远 2）如果第二辆比第一辆早到农场 20 分钟，仓库到农场的路程有多远？分析：这个追及问题重点在于找到路程之差。解答：1）第二辆拖拉机出发时第一辆相差：9=(千米)，第二辆追上第一辆需要时间为：(129)=(小时)，此时第二辆行程为：12=18(千米)，即追上第一辆地点距仓库 18 千米；2）第二辆到达农场时，与第一辆相距：91/3=3（千 11 米），第二辆从追上第一辆到达农场用时：3（129）=1（小时），农场与仓库距离为：18121=30（千米），即农场与仓库距离 30 千米。评注：追及问题有许多先后出发，先后到达的情形，这种情况下求时间和路程时一定要仔细考虑是谁的行进情况，不要弄反了。例 29：甲、乙两匹马在相距 50 米的地方同时同向出发，出发时甲马在前，乙马在后，如果甲马每秒跑 10 米，乙马每秒跑 12 米，问：何时两地相距 70 米？分析：先分析两马行进的大概情况，甲马较慢在前面，乙马较快在后面，开始后乙马追近甲马并超过它，再拉远距离因此相距 70 米是在乙马超过甲马后出现的。解答：追及时间为：（5070）（1210）=60（秒），即 60 秒后两马相距70 米。例 30：甲、乙二人在操场的 400 米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙的后面，出发后 6 分钟甲第一次追上乙，22 分钟时甲第二次追上乙，假设两人速度都保持不变，问：出发时甲在乙身后多少米？分析：环形跑道上的追及问题，两次超过之间甲比乙多走一圈，这是重点。解答：甲比乙快，他们的速度差为：440（226）=25（米/分钟），出发时，两人相距为：256=150（米），即出发时甲在乙后 150 米 评注：环形跑道上的追及问题，可以多次追上并超越，利用这一点是这类题目的关键。例 31：铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆汽车正以每小时 40 千米的速度行驶，这时一列长 375 米的火车以每小时 67 千米的速度从后面开过来，问：火车从车头到车尾经过汽车旁边需要多少时间？分析：铁路上的追及问题与相遇问题中的错车问题相似。解答：从汽车上看火车速度为 6740=27（千米/时）合 7.5 米/秒，火车通过需时间为：375=50(秒)，即火车通过需 50 秒 评注：在追及式的错车问题中，车长往往就是路程差。例 32：小红在 9 点到 10 点之间开始解一道题，当时时针和分针正好成一条线，12 当小解完题时，时针和分针刚好重合，小红解这道题用了多少时间？分析：同向转动的时针和分针可以看作一个追及问题，以一圈为60 格，时针12 分钟走一格，每分钟走 1/12 格，分针每分钟一格。解答：几点时时针与分针差 45 格，分针在后，成一条线时，时针比分针快30个格，这时从九点过了的时间为：（4530）（11/12）=180/11=16 又 4/11（分钟），两针重合时，从九点开始经过的时间为：45（11/12）=540/11=49又 1/11（分钟），相差的时间为：49 又 1/1116 又 4/11=32 又 8/11（分钟），即小红解题用了 32 又 8/11 分钟 评注：时钟上的追及问题需要注意路程以格代替，不要与时间混在一起。例 33：游船顺流而下每小时前进 7 千米，逆流而上每小时前进 5 千米，两条游船同时从同一地点出发，一条顺流而下然后返回，一条逆流而上然后返回，结果 1 小时后它们同时回到出发点，如果忽略游船调头的时间不计，在 1 小时内两条游船有多长时间前进的方向相同是顺流还是逆流 分析：两条船用时一样，说明它们顺流，逆流的时间分别相同，区别在一条先顺流再逆流，另一条则相反。解答：顺流、逆流速度之比为 7：5，则时间比为 5：7，轮船顺流时间为 5/12小时，逆流时间为 7/12 小时，顺流的船先调头，然后有 1/6 小时两船同时逆流而行，然后先逆流的船调头 评注：在相同条件下，无论先顺流或逆流船在相同距离内往返行驶，时间相同，同样的，时间相同，则往返距离也相同。例 34：一只猎狗追前方 20 米处的兔子，已知狗一跳前进 3 米，兔子一跑前进2.1 米，狗跑 3 次的时间兔子跳 4 次，问：兔子跑出多远将被狗追上？分析：狗和兔子每跳的时间距离都不同，我们需要统一一项才能进行比较。解答：由题目条件知狗前进 9 米时，兔子前进 8.4 米，20（9）=33 又 1/3，以狗前进 9 米，兔子前进 8.4 米计为一次，则 33 又 1/3 次后狗追上兔子，这时兔子跑了：33 又 1/3=280（米），即兔子跑了 280 米后被狗追上。评注：速度的比较并不一定是每秒、每分、每小时前进距离的比较，相同一段时 13 间内前进距离即可作为速度比较。例 35：学校组织军训，甲、乙、丙三人步行从学校到军训驻地，甲、乙两人早晨 6 点一起从学校出发，甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米，丙上午 8 点才从学校出发，下午 6 点，甲、丙同时到达军训驻地，问：丙何时追上乙？分析：求丙追上乙的时间，必须知道乙、丙的速度，丙的速度由他与甲的行进状况可求。解答：甲走了 12 个小时，全程为：512=60（千米），丙走了 10 个小时，他的速度为：6010=6（千米/时），丙出发时与乙的距离为：42=8（千米/时），丙追上乙需用时间为：8（64）=4（小时），因此中午 12 时丙追上乙。评注：追及问题中的速度差与距离差都非常重要。例 36：骑车人以每分钟 300 米的速度沿公共汽车路线前进，当人离始发站 3000米时，一辆公共汽车从始发站出发，它的速度为每分钟 700 米，并且每行 3 分钟到达一站停车 1 分钟，问公共汽车多长时间追上骑车人？分析：汽车在某两站之间追上骑车人，那么在前一站骑车人先到达，后一站汽车先到达。到站时间（分钟）始发站 1 站 2 站 3 站 骑车人/4 11 汽 车 0 3 7 11 由表中可见汽车在恰好到达第三站时追上骑车人，这时汽车走了 11 分钟。评注：注意在计算汽车行程时不要按照出站时间算，而要计算入站时间。例 37：甲、乙、丙三人的步行速度分别为每分钟 60 米、50 米和 40 米，甲从 B 地，乙和丙从 A 地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后 15 分钟又遇到丙，求 A、B 两地距离。分析：根据已知条件，分析从甲、乙相遇到甲、丙相遇的这段情况。解答：从甲、乙相遇开始，甲丙相向而行，是相遇问题，距离为：（6040）15=1500（米），甲、乙相遇时甲、丙相距 1500 米，也就是乙丙相距 1500 米，乙、丙同向是一个追及问题，14 到甲、乙相遇为止，乙、丙走了：1500（5040）=150（分钟），这同时也是甲、乙相遇运动的时间，因此 A、B 距离为：（6050）150=16500（米），合千米，即 A、B 相距千米。评注：在复杂的行程问题中，既要从条件出发，也要从结论出发考虑，把复杂问题折成若干简单问题再求解。例 38：自行车队出发 12 分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发地点 9 千米处追上了自行车队，然后通讯员立即返回出发点，到后又返回去追上了自行车队，再追上时，恰好离出发点 18 千米，求自行车队和摩托车的速度？分析：比较复杂的行程问题，关键在于找到新的突破口，本题中给出了两次追击的路程，这就是突破口。解答：从第一次追上到第二次追上的过程中，自行车队进了 189=9（千米），而摩托车行进了：18+9=27（千米），由此可知摩托车速度是自行车队的 3 倍，那么第一次追及开始时，自行车领先距离为：612=(千米/分)，摩托车速度为：3=(千米/分)。评注：在行程问题中，条件与条件之间有密切关系，充分利用所有已知条件及由这些条件推导出的条件非常重要，而要掌握所有条件首先就需要把整个行程的过程弄清楚。例 39：图 39 是一个边长 100 米的正方形，甲从 A 点出发，每分钟走 70 米，乙同时从 B 点出发，每分钟走 85 米，两人都按逆时针方向沿着正方形边行进，问：乙在何处首次追上甲乙第二次追上甲时，距 B 点多远。100米100米100米100米乙甲DCBA 分析与解答：乙比甲快，第一次追及距离为 300 米，所用时间为：300（8570）=20（分钟），此时甲走了 7020=1400（米），因此首次追上时，甲、乙在 C 点。第二次追距离从 C点开始算是一圈 400 米，用时为：400（8570）=26 又 2/3（分钟），乙走的距离为：26又 2/385=2266 又 2/3（米），因此乙第二次追上甲时在 A、B 之间距 B33 又 1/3 米处。v1.0 可编辑可修改 15 图 40 评注：在有图的题目中认真识图，注意行进方向、追及距离等问题。例 40：图 40 是一个边长为 100 米的正三角形，甲自 A 点，乙自 B 点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边行进，甲每分钟走 90 米，乙每分钟走 150 米，但过每个顶点时，因转弯都要耽误 10 秒钟，问：乙在出发后多长时间，在何处追上甲 甲：每秒米，乙：每秒米 一般情况先这样考虑：乙要多拐一个弯，在这个过程中甲会走 10米，其余拐弯处他们休息的时间是一样多，乙需要多追赶（100+10），所用时间（100+10）（）=115 秒，还没有包括转弯时间，加上转弯时间 115+102=135 秒 分析与解答：甲速度合 1.5 米/秒，每边走 66 又 2/3 秒，停留 10 秒，乙速度合 2.5 米/秒，每边走 40 秒，停留 10 秒，列表如下：到达同一距离时间（秒）A C B 甲/66 又 2/3 143 又 1/3 乙 40 90 140 乙可能在顶点追上甲，也可能在边上追上甲，从表中看，在 C 点时乙没有追上甲，到达 B点时，乙已经超过甲，则乙在 B、C 之间追上了甲，甲在 76 又 2/3 秒从 C 出发，乙在 100秒从 C 出发，乙出发时甲走了了：（10076 又 2/3）=35（米），乙追上甲用时为：35（）=35(秒)，这时乙走了 35=(米)，因此乙在出发 135 秒，即 2 分 15 秒后在 B、C 间距 C 87.5米处追上甲。评注：追及过程中有停留的问题使行进快的人在追及后可能被超越，因此这类问题中不但要求追及的情况，还要确认是第一次追及才可以。v1.0 可编辑可修改 16 图 41 例 41：图 41 是一个跑道的示意图，沿 ACBEA 走一圈是 400 米，沿 ACBDA 走一圈是 275 米，其中 A 到 B 的直线距离是 75 米，甲、乙二人同时从 A 点出发练习长跑，甲沿 ACBDA 的小圈跑，每 100 米用 24 秒，乙沿 ACBEA 的大圈跑每 100 米用 21 秒，问：1）乙跑第几圈时第一次与甲相遇 2）出发多长时间甲、乙再次在 A 点相遇？分析：因为甲、乙沿不同的路线，所以并不谁多跑了一圈就一定有一次超过，超过只可能发生在他们共同经过的路线上。解答：1）甲跑半圈 ACB 用时 48 秒，乙跑半圈 ACB 用时 42 秒，也就是如果某次乙经过 A 点的时间比甲晚不超过 6 秒，他就能在这一圈追上甲，下面看甲乙经过 A 点的时间序列表（单位：秒）甲 0 66 132 198 264 330 乙 0 84 168 252 336 由此可知乙跑第五圈时会第一次与甲相遇。2）甲跑一圈用 66 秒，乙跑一圈用 84 秒，它们的最小公倍数为 924，因此 924 秒即 15 分 24秒后，甲、乙第一次同时回到 A 点。例 42：甲、乙、丙三辆车先后从 A 地开往 B 地，乙比丙晚出发 5 分钟，出发后 45 分钟追上丙；甲比乙晚出发 15 分钟，出发后 1 小时追上丙，那么，甲出发后多长时间追上乙 甲速度：乙速度=6:5，甲时间：乙时间=5：6 甲行 5 分钟能追赶乙提前的 1 分钟 分析：题目中只有时间条件，这就说明用三人速度的比例关系即可解题。解答：设丙速度为 U 米/分钟，同乙出发时丙走了 5U 米，乙用了 45 分钟追上丙，乙速度比丙速快 5U/45=1/9U 米/秒，即乙的速度为 10/9U 米/秒，同样甲比丙晚出发 20 分钟，用了 1小时追上丙，则甲比丙速度快：20U/6=1/3U 米/秒，甲速度为 4/3U 米/秒，甲追乙需用时间为：（10/9U 15）（4/3U 10/9U）=75（分钟）。17 评注：解题中设的丙速度只是为了表示方便，实质上解题过程中只用到了三人速度之比，在只有时间条件的题目中是不可能求出路程或速度的，用比例解题是必然的方法。例 43：甲、乙、丙三个车站在同一公路上，乙站距甲、丙两站距离相等，小明和小强分别从甲、丙两站相向而行，小明过乙站 150 米后与小强相遇，然后两人继续前进，小明走到丙站后立即返回，经过乙站后 450 米又追上小强，问：甲、丙两站距离多远？分析：仔细分析两人两次相遇的行程，可以发现小明第一次相遇走了一倍甲、乙两站间的的距离又多 150 米，第二次相遇走了三倍甲、乙两站间的距离又 450 米，第二次路程是第一次的 3 倍，这就是突破口。解答：两次相遇小明走的总路程比为 1：3，小强也一定相同，注意到从第一次相遇到第二次相遇小强走了 600 米，由此可知小强在第一次相遇时走了：600（31）=300（米），甲、丙两站之间距离为：（300150）2=900（米），即甲、丙两站距离 900 米。评注：观察数据之间的关系，在条件比较少的题目中，这有时候也会有重要作用。例 44：甲、乙、丙三人到学校到体育场的路上练习竞赛走，甲每分钟比乙多走 10 米，比丙多走 31 米，上午 9 点三人同时从学校出发，上午 10 点甲到达体育场后立即返回学校，在距体育场 310 米处遇到乙，问：1）从学校到体育场的距离是多少 2）乙的速度是多少 3）甲与丙何时相遇？分析：题目中距离的条件只有一个，因此以这个条件为中心分析，求学校到体育场距离比较有效。解答：甲与乙相遇时走了的时间为：310210=62（分钟），已知甲走到体育场用了 1 小时，因此 2 分钟走了 310 米，甲速度为：3102=155（米/分），乙速度为：15510=145（米/分），体育场到学校距离为：（155145）621=9300（米）合千米，甲、乙相遇用时为：29300（155124）=66 又 2/3（分钟），即学校到体育场千米，乙速度 145 米/分，甲、丙相遇在 10 时 6 分 40 秒。评注：有时候，根据条件的类型和结论所求也可以推测出大概方法，例如本题，求距离，而题目中只有一个关于距离的条件，这个条件就很重要，这样的分析有助于提高效率。例 45：甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池 50 米泳道的两端同时开始游，直到一方追上一方为止，追上者为胜，已知：甲、乙的速度分别为每秒 1.0 米和 0.8 米，18 问：1）比赛开始后多长时间甲追上乙 2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次 3）比赛过程中，两人同方向游了多长时间？分析与解答：1）甲追上乙用时为：50（1）=250(秒)；2）第一次迎面相遇甲、乙共游了 50 米，之后每 100 米相遇一次，甲、乙共游了 250（1）=450(米)，最后一次甲追上乙不算，甲、乙迎面相遇了 4 次；3）甲游 50 米用 50 秒，乙游 50 米用秒，甲第一次转身后与乙同向游了秒第二次转身后与乙同游了 25 秒，依次类推，甲、乙同向游了 125 秒。50-62.5 12.5100-125 25 150-187.5 37.5200-250 50187.512562.525020015010050A 评注：注意迎面相遇与追上相遇的区别。例 46：乌龟与小白兔赛跑,比赛场地从起点到插小旗处为 104 米,乌龟与小白兔赛跑比赛场地从起点到插小旗处马上返回，跑到起点再返回已知小白兔每秒跑 10.2 米，乌龟每秒跑 0.2 米，如果从起点出发算它们第一次相遇，问：1）出发后多长时间它们第二次相遇 2）第三次相遇距起点多远 3）第二次相遇到第四次相遇乌龟爬了多远 4）乌龟爬到 50 米时，它们共相遇了多少次？分析与解答：1）第二次相遇是在小白兔返回时，迎面相遇，用时为：2104（）=20(秒)，即 20 秒后迎面相遇；2）第三次相遇是小白兔比乌龟多跑一圈后追上乌龟的时候，用时为：2104（）=(秒)，此时乌龟爬了：=(米)，即第三次相遇距起点 4.16 米；3）第四次相遇是小白兔第二次与乌龟迎面相遇，与上一次迎面相遇相差时间为：2104（）=20(秒)，乌龟爬了：20=4（米），即第二次与第四次相遇乌龟爬了 4 米；4）乌龟爬 50米用时为 50=250(秒)，小白兔跑了 250=2550（米），在乌龟没到小旗处之前，小白兔每104 米中都会与乌龟相遇一次，因此 2550104=24，2550-104*24=50，第 25 次乌龟与小白兔也已经相遇，因此它们共相遇了 25 次。评注：这是一道综合题，包括相遇问题、追及问题等，正确判断问题的类型，用适当方法解 19 决也是重要的技巧。例 47：甲、乙二人同时从起点出发沿同一方向行走，甲每小时行 5 千米，而乙第一小时行1 千米，第二小时行 2 千米，以后每行 1 小时都比前 1 小时多行 1 千米，问：经过多长时间乙追上甲？分析与解答：乙追上甲时，两人走了相同的时间和路程，因此平均速度也相等，也就说乙追上甲时，平均速度 5 千米每小时，由于乙每小时速度是一个等差数列，因此平均速度为 5千米/时，说明乙最后一小时速度为 9 千米/时，也就是说 9 小时后乙追上甲。评注：非匀速运动中，利用速度的变化规律解题比较有效。例 48：甲、