高考数学压轴题解题技巧和方法修订版.pdf

高考数学压轴题解题技巧和方法修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型：（1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。如：（1）)0(12222babyax与直线相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)，则有02020kbyax。（2）)0,0(12222babyax与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有02020kbyax（3）y2=2px（p0）与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即y0k=p.典型例题 给定双曲线xy2221。过 A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，求线段P1P2的中点 P 的轨迹方程。（2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点 P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题 设 P(x,y)为椭圆xayb22221上任一点，Fc10(,)，F c20(,)为焦点，PF F12，PF F21。（1）求证离心率sinsin)sin(e；（2）求|PFPF1323的最值。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题 抛物线方程，直线与 轴的交点在抛物线准线的右边。yp xpxytx210()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为 A、B，且 OAOB，求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。（1），可以设法得到关于 a 的不等式，通过解不等式求出 a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求 x、y 的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题 已知抛物线 y2=2px(p0)，过 M（a,0）且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p（1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值。（5）求曲线的方程问题 1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题 已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点 A（-1，0）和点 B（0，8）关于 L 的对称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方程。2曲线的形状未知-求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆 C：x2+y2=1,动点M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,求动点M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。（6）存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题 已知椭圆 C 的方程xy22431，试确定 m 的取值范围，使得对于直线yxm4，椭圆 C 上有不同两点关于直线对称（7）两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用kkyyxx1212121 来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题 已知直线l的斜率为k，且过点P(,)2 0，抛物线C yx:()241，直线l与抛物线 C 有两个不同的交点（如图）。（1）求k的取值范围；（2）直线l的倾斜角为何值时，A、B 与抛物线 C 的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1）充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题 设直线340 xym与圆xyxy2220相交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ，求m的值。（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题 已知中心在原点 O，焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于 P、Q 两点，且OP OQ，|PQ 102，求此椭圆方程。（3）充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题 求经过两已知圆Cxyxy122420：和Cxyy22224：0 的交点，且圆心在直线l：2410 xy上的圆的方程。（4）充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法。典型例题 P 为椭圆22221xyab上一动点，A 为长轴的右端点，B 为短轴的上端点，求四边形 OAPB 面积的最大值及此时点 P 的坐标。（5）线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为，则|ABkxxAB12|12ak，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。例 求直线xy10被椭圆xy22416所截得的线段 AB 的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例 F1、F2是椭圆xy222591的两个焦点，AB 是经过F1的弦，若|AB 8，求值|22BFAF 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点 A（3，2）为定点，点 F 是抛物线yx24的焦点，点 P 在抛物线y2 4x上移动，若|PAPF取得最小值，求点 P 的坐标。圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备：1.直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率tan,0,)k 点到直线的距离0022AxByCdAB 夹角公式：212 1tan1kkk k（3）弦长公式 直线ykxb上两点1122(,),(,)A x yB xy间的距离：2121ABkxx 221212(1)()4kxxx x 或12211AByyk（4）两条直线的位置关系 1212llk k=-1 212121/bbkkll且 2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)xymnmnmn且 距离式方程：2222()()2xcyxcya 参数方程：cos,sinxayb(2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：221(0)xym nmn 距离式方程：2222|()()|2xcyxcya(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21FF、是椭圆13422yx的两个焦点，平面内一个动点 M 满足221 MFMF则动点 M 的轨迹是（）A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：122tan2F PFPb在椭圆上时，S（其中2221212121212|4,cos,|cos|PFPFcFPFPFPFPFPFPFPF）(6)、记住焦半径公式：（1）00;xaexaey椭圆焦点在 轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。（2）0|xe xa双曲线焦点在 轴上时为 （3）11|,|22ppxxy抛物线焦点在 轴上时为焦点在y 轴上时为(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题）设11,yxA、22,yxB，baM,为椭圆13422yx的弦AB中点则有 1342121yx，1342222yx；两式相减得 03422212221yyxx 3421212121yyyyxxxxABk=ba43 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x yB xy，将这两点代入曲线方程得到12 两个式子，然后1-2，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A、B、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb，就意味着 k 存在。例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆805422yx上，且点 A 是椭圆短轴的一个端点（点 A 在 y 轴正半轴上）.（1）若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程;（2）若角 A 为090，AD 垂直 BC 于 D，试求点D 的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为090可得出 ABAC，从而得016)(14212121yyyyxx，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；解：（1）设 B（1x,1y）,C(2x,2y),BC 中点为(00,yx),F(2,0)则有11620,1162022222121yxyx 两式作差有 016)(20)(21212121yyyyxxxx04500kyx (1)F(2,0)为三角形重心，所以由2321 xx，得30 x，由03421 yy得20y，代入（1）得56k 直线 BC 的方程为02856 yx 2)由 ABAC 得016)(14212121yyyyxx （2）设直线 BC 方程为8054,22yxbkxy代入，得080510)54(222bbkxxk 2215410kkbxx，222154805kbxx 2222122154804,548kkbyykkyy 代入（2）式得 0541632922kbb，解得)(4 舍b或94b 直线过定点（0，)94，设 D（x,y），则1494xyxy，即016329922yxy 所以所求点 D 的轨迹方程是)4()920()916(222yyx。4、设而不求法 例 2、如图，已知梯形 ABCD 中CDAB2，点 E 分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点当4332时，求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设 Chc,2，代入12222byax，求得h，进而求得,EExy再代入12222byax，建立目标函数(,)0f a b c，整理(,)0f e，此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略,建立目标函数(,)0f a b c，整理(,)0f e,化繁为简.解法一：如图，以 AB 为垂直平分线为y轴，直线 AB 为x轴，建立直角坐标系xOy，则 CDy轴因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于y轴对称 依题意，记 A0 ,c，Chc,2，E00,yx，其中|21ABc 为双曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得 122120cccx，10hy 设双曲线的方程为12222byax，则离心率ace 由点 C、E 在双曲线上，将点C、E 的坐标和ace 代入双曲线方程得 14222bhe，11124222bhe 由式得 14222ebh，将式代入式，整理得 214442e，故 1312e 由题设4332得，43231322e 解得 107 e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 分析：考虑,AEAC为焦半径,可用焦半径公式,AEAC用,E C的横坐标表示，回避h的计算,达到设而不求的解题策略 解法二：建系同解法一，,ECAEaexACaex，22121Ecccx，又1AEAC，代入整理1312e，由题设4332得，43231322e 解得 107 e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 5、判别式法 例 3 已知双曲线122:22xyC，直线l过点0,2A，斜率为k，当10 k时，双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线l的距离为2，试求k的值及此时点 B 的坐标。分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与l平行的直线，必与双曲线 C 相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路：10)2(:kxkyl 解题过程略.分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线l的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：简解：设点)2,(2xxM为双曲线 C 上支上任一点，则点M 到直线l的距离为：于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于10 k，所以kxxx22，从而有 于是关于x的方程 由10 k可知：直线l在l的上方且到直线l的距离关于x的方程10212222kkkxkx 方程 022)1(22)1(22122222kkxkkkxk的二根同正，故02)1(22kxkk恒成立，于是 等价于 022)1(22)1(22122222kkxkkkxk.由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得 552k.点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例 4 已知椭圆 C:xy2228和点 P（4，1），过 P 作直线交椭圆于A、B 两点，在线段 AB 上取点 Q，使APPBAQQB，求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点),(yxQ的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直线 AB 的斜率k作为参数，如何将yx,与k联系起来？一方面利用点 Q 在直线 AB 上；另一方面就是运用题目条件：APPBAQQB 来转化.由 A、B、P、Q 四点共线，不难得到)(82)(4BABABAxxxxxxx，要建立x与k的关系，只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.在得到 kfx 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于yx,的方程（不含k），则可由1)4(xky解得41xyk，直接代入 kfx 即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设),(),(,2211yxQyxByxA，则由QBAQPBAP可得：xxxxxx212144，解之得：)(82)(4212121xxxxxxx （1）设直线 AB 的方程为：1)4(xky，代入椭圆 C 的方程，消去y得出关于 x 的一元二次方程：08)41(2)41(412222kxkkxk （2）.128)41(2,12)14(42221221kkxxkkkxx 代入（1），化简得：.234kkx (3)与1)4(xky联立，消去k得：.0)4(42xyx 在（2）中，由02464642kk，解得 41024102k，结合（3）可求得.910216910216x 故知点 Q 的轨迹方程为：042 yx （910216910216x）.点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.6、求根公式法 例 5 设直线l过点 P（0，3），和椭圆xy22941顺次交于 A、B 两点，试求APPB的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：APPB=BAxx，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析 1:从第一条想法入手，APPB=BAxx已经是一个关系式，但由于有两个变量BAxx,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3 个变量直线AB的斜率k.问题就转化为如何将BAxx,转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y 得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.简解 1：当直线l垂直于 x 轴时，可求得51PBAP;当l与 x 轴不垂直时，设)(,2211yxByxA，直线l的方程为：3 kxy，代入椭圆方程，消去y得045544922kxxk 把直线l的方程y=kx+3代入椭圆 解之得 .4959627222,1kkkx 因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑0k的情形.当0k时，4959627221kkkx，4959627222kkkx，所以 21xxPBAP=5929592922kkkk=59291812kkk=25929181k.由 049180)54(22kk,解得 952k，所以 51592918112k，综上 511PBAP.分析 2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21xxPBAP不是关于21,xx的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,xx的对称关系式.简解 2：设直线l的方程为：3 kxy，代入椭圆方程，消去y得 045544922kxxk （*）把直线l的方程y=kx+3代入椭 则.4945,4954221221kxxkkxx 令21xx，则，.20453242122kk 在（*）中，由判别式,0可得 952k，从而有 5362045324422kk，所以 536214，解得 551.结合10得151.综上，511PBAP.点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知着，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例 6 椭圆长轴端点为BA,，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且1FBAF，1OF（）求椭圆的标准方程；（）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于QP,两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。思维流程：（）（）消元 解题过程：（）如图建系，设椭圆方程为22221(0)xyabab,则1c 又1FBAF即 22()()1acacac，22a 故椭圆方程为2212xy （）假设存在直线l交椭圆于QP,两点，且F恰为PQM的垂心，则 设1122(,),(,)P x yQ xy，(0,1),(1,0)MF，故1PQk，写出椭圆方由1AFFB，()()1ac ac，两根之得出关于 于是设直线l为 yxm，由2222yxmxy得，2234220 xmxm 12210(1)(1)MP FQx xyy 又(1,2)iiyxm i 得1221(1)()(1)0 x xxm xm 即 21 2122()(1)0 x xxxmmm 由韦达定理得 解得43m 或1m（舍）经检验43m 符合条件 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零 例 7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A、(2,0)B、31,2C三点（）求椭圆E的方程：（）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，(1,0),(1,0)FH，当DFH内切圆的面积最大时，求DFH内心的坐标；思维流程：（）（）得出D点坐标为33,0 设方程为DFH面积最大值为3 解题过程：（）设椭圆方程为122 nymx0,0nm，将(2,0)A、(2,0)B、3(1,)2C代入椭圆E的方程，得 41,914mmn解得11,43mn.椭圆E的方程22143xy （）|2FH，设DFH边上的高为hhSDFH221 当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以DFHS的最大值为3 设DFH的内切圆的半径为R，因为DFH的周长为定值 6所以，621RSDFH 所以R的最大值为33所以内切圆圆心的坐标为3(0,)3.点石成金：的内切圆的内切圆的周长rS21 例 8、已知定点)01(，C及椭圆5322 yx，过点C的动直线与椭圆相交于AB，两点.（）若线段AB中点的横坐标是12，求直线AB的方程；（）在x轴上是否存在点M，使MBMA为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.思维流程：（）解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为(1)yk x，将(1)yk x代入5322 yx，消去y整理得 2222(31)6350.kxk xk 设1122()()A xyB xy，则4222122364(31)(35)0 (1)6.(2)31kkkkxxk ，由线段AB中点的横坐标是12，得2122312312xxkk ，解得33k ，符合题意。所以直线AB的方程为 310 xy，或 310 xy.（）解：假设在x轴上存在点(,0)M m，使MBMA为常数.当直线AB与x轴不垂直时，由（）知 22121222635 .(3)3131kkxxx xkk，所以212121212()()()()(1)(1)MA MBxm xmy yxm xmkxx 22221212(1)()().kx xkm xxkm将(3)代入，整理得 222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkMA MBmmkk2216142.33(31)mmmk 注意到MBMA是与k无关的常数，从而有761403mm，此时4.9MA MB 当直线AB与x轴垂直时，此时点AB，的坐标分别为221133 ，、，当73m 时，亦有4.9MA MB 综上，在x轴上存在定点703M，使MBMA为常数.点石成金：222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkMA MBmmkk 例 9、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M（2，1），平行于 OM 的直线l在 y 轴上的截距为 m（m0），l交椭圆于 A、B 两个不同点。（）求椭圆的方程；（）求 m 的取值范围；（）求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：解：（1）设椭圆方程为)0(12222babyax 则2811422222bababa解得 椭圆方程为12822yx（）直线l平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m 又 KOM=21 mxyl21的方程为：由0422128212222mmxxyxmxy 直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点，0,22,0)42(4)2(22mmmm且解得 （）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1+k2=0 即可 设42,2),(),(221212211mxxmxxyxByxA且 则21,21222111xykxyk 由可得042222mmxx 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121xxxyxyxyxykk 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形021 kk 例 10、已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23 （1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5kkxy交双曲线于不同的点C，D 且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.思维流程：解：（1）,332ac原点到直线AB：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd.故所求双曲线方程为.1322 yx（2）把33522yxkxy代入中消去y，整理得 07830)31(22kxxk.设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则 即7,0,03153115222kkkkkkk又 故所求k=7.点石成金:C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBECD;例 11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1 （）求椭圆C的标准方程；（II）若直线:ly=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 思维流程：解：（）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，由已知得：31acac，222213acbac，椭圆的标准方程为22143xy （II）设1122()()A xyB xy，联立221.43ykxmxy，得 222(34)84(3)0kxmkxm，则 又22221212121223(4)()()()34mky ykxm kxmk x xmk xxmk 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2 0)D，1ADBDkk，即1222211xyxy.1212122()40y yx xxx 2222223(4)4(3)1540343434mkmmkkkk 2271640mmkk 解得：12227kmkm ，且均满足22340km 当12mk 时，l的方程(2)yk x，直线过点(2 0)，与已知矛盾；当227km 时，l的方程为27yk x，直线过定点207，所以，直线l过定点，定点坐标为207，点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CACB;例 12、已知双曲线)0,0(12222babyax的左右两个焦点分别为21FF、,点 P 在双曲线右支上.（）若当点 P 的坐标为)516,5413(时,21PFPF,求双曲线的方程；（）若|3|21PFPF,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.思维流程：解：（）(法一)由题意知,1PF)516,5413(c,2PF)516,5413(c,21PFPF,021PFPF)5413(c0)516()5413(2c（1 分）解得 5,252cc.由双曲线定义得:,2|21aPFPF 2222)516()54135()516()54135(2 a6)341()341(22,4,3ba 所求双曲线的方程为:116922yx (法二)因21PFPF,由斜率之积为1,可得解.（）设2211|,|rPFrPF,(法一)设 P 的坐标为),(yx,由焦半径公式得aexexarexaexar|,|21,caxaexexarr2212),(3,3,2,2acaaxca 2，e的最大值为 2,无最小值.此时31,2222eaacabac,此时双曲线的渐进线方程为xy3 (法二)设21PFF,0(.(1)当时,22121423,2rcrrcrr，且,22122rrra 此时 2242222rrace.(2)当），（0,由余弦定理得:cos610cos2222222122212rrrrrrc）（2cos6102cos6102222rrace,)1,1(cos,)2,1(e,综上,e的最大值为 2,但e无最小值.(以下法一)附：1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F1，F2的距离的差的绝对值等 于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a|F1F2|不可忽视。若2a|F1F2|，则轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点)0,3(),0,3(21FF，在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A421 PFPF B621 PFPF C1021 PFPF D122221 PFPF（答：C）；（2）方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q及抛物线42xy 上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是_（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（0ab）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B，C 同号，AB）。如（1）已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为_（答：11(3,)(,2)22）；（2）若Ryx,，且62322 yx，则yx的最大值是_，22yx 的最小值是_（答：5,2）（2）双曲线：焦点在x轴上：2222byax=1，焦点在y轴上：2222bxay1（0,0ab）。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异号）。如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_（答：2214xy）；（2）设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线 C 过点)10,4(P，则 C 的方程为_（答：226xy）（3）抛物线：开口向右时22(0)ypx p，开口向左时22(0)ypx p，开口向上时22(0)xpy p，开口向下时22(0)xpy p。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程12122mymx表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是_（答：)23,1()1,(）（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：范围：,axabyb ；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；准线：两条准线2axc；离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是_（答：3 或325）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：22）（2）双曲线（以22221xyab（0,0ab）为例）：范围：xa 或,xa yR；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0 xyk k；准线：两条准线2axc；离心 率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线：byxa。如（1）双曲线的渐近线方程是023 yx，则该双曲线的离心率等于_（答：132或133）；（2）双曲线221axby的离心率为5，则:a b=（答：4 或14）；（3）设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率 e2,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_（答：,3 2）；（3）抛物线（以22(0)ypx p为例）：范围：0,xyR；焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线2px ；离心率：cea，抛物线1e。如设Raa,0，则抛物线24axy 的焦点坐标为_（答：)161,0(a）；5、点00(,)P xy和椭圆12222byax（0ab）的关系：（1）点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)P xy在椭圆上220220byax1；（3）点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab 6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0 直线与椭圆相交；0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线 y=kx+2与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_（答：(-315,-1)）；（2）直线 ykx1=0 与椭圆2215xym恒有公共点，则 m 的取值范围是 _（答：1，5）（5，+）；（3）过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若AB4，则这样的直线有_条（答：3）；（2）相切：0 直线与椭圆相切；0 直线与双曲线相切；0 直线与抛物线相切；（3）相