2020年天津市部分区高考数学二模试卷(含答案解析).pdf

2020 年天津市部分区高考数学二模试卷 一、选择题（本大题共 9 小题，共分）1.设集合0，2，则 A.B.C.D.0，2.【3.已知命题p：，则命题p的否定是 A.，B.，C.，D.，4.已知i为虚数单位，若复数的实部为，则 A.B.C.D.5.函数是定义在R上的奇函数，且当时，为常数，则 A.B.C.D.6.若，则 A.0 B.C.1 D.7.设等差数列的前n项和为，若，则 A.11 B.13 C.15 D.17 8.9.已知，则a，b，c的大小关系是 A.B.C.D.10.若函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是 A.B.C.D.11.已知函数函数若关于x的方程有 3 个互异的实数根，则实数k的取值范围是 A.B.C.D.二、填空题（本大题共 6 小题，共分）12.双曲线的右焦点为，且一条渐近线方程是，则该双曲线的方程是_ 13.若的展开式中的常数项为，则实数_ 14.已知点在直线上，则的最小值为_ 15.）16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则_ 17.如图，点O是长方体的中心，E，F，G，H分别为其所在棱的中点，且记棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，则_；若该长方体的体积为120，则四棱锥的体积为_ 18.19.20.21.在梯形ABCD中，若点M在线段BD上，则的最小值为_ 三、解答题（本大题共 5 小题，共分）22.。23.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”每位学生只能参加一个小组，以便课间学生进行相互帮扶已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为 10 人、10 人、15 人经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7 人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查 24.应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？25.若抽取的 7 人中恰好有 5 人三科成绩全部及格，其余 2 人三科成绩不全及格现从这 7 人中随机抽取 4 人做进一步的调查 26.记X表示随机抽取 4 人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X的分布列和数学期望；27.设M为事件“抽取的 4 人中，有人成绩不全及格”，求事件M发生的概率 28.29.30.31.32.33.34.35.已知各项均为正数的数列，满足 36.求证：为等比数列，并写出其通项公式；37.设，求数列的前n项和 38.39.40.41.42.43.44.45.如图，四棱锥中，底面四边形ABCD是直角梯形，底面ABCD，E为PB的中点 46.求证：平面PAC；47.若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角的余弦值 48.49.50.51.52.:53.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，其焦距为 6，过的直线与C交于A，B两点，且的周长是 54.求C的方程；55.若是C上的动点，从点是坐标系原点 向圆作两条切线，分别交C于P，Q两点已知直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为，56.求证：为定值；57.试问是否为定值若是，求出该值；若不是，请说明理由 58.59.60.61.62.63.64.65.已知函数，函数，其中是自然对数的底数 66.求曲线在点处的切线方程；67.设函数，讨论的单调性；68.若对任意，恒有关于x的不等式成立，求实数m的取值范围 69.70.71.72.73.74.-答案与解析-1.答案：B 解析：【分析】进行交集和并集的运算即可 本题考查了描述法和列举法的定义，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题【解答】解：0，2，0，1，2，故选：B 2.答案：C ：解析：解：因为命题p：，是特称命题，故命题p的否定是：，；故选：C 直接根据命题的特点，求出结论即可 本题考查命题的否定，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 3.答案：D 解析：解：的实部为，即，则 故选：D 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于求得a，进一步求得z，再由复数模的计算公式求解 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题 4.答案：D 解析：解：根据题意，函数为定义在R上的奇函数，且时，则，解得，则当时，令，则，即有，所以当时，故，故选：D 根据题意，由奇函数的性质可得，进而求得当时函数的解析式，进而可得的值 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于中档题 5.答案：A 解析：解：，又，则，即，则，故选：A 由角的范围和，可求出，进而可求余弦值 本题考查三角函数给值求角，注意角的范围，以及给角求值，属于基础题 6.答案：B 解析：解：设等差数列的公差为d，联立解得：，则 故选：B 利用等差数列的通项公式求和公式即可得出 本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7.答案：C :解析：解：，故选：C 由，可得a，b都小于 0，再与比较大小即可得出关系，c大于 0 本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 8.答案：D 解析：解：由，得，即函数的单调递减区间为，在区间单调递减，且，即，得，即，当时，由得，在区间有零点，满足，当时，得 综上：，故选：D 利用余弦函数的单调性和零点，求得的取值范围 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据余弦函数的单调性和零点性质建立不等式关系是解决本题的关键 9.答案：B 解析：解：作出函数和的图象如图：由图可知，当时，不满足题意，则；当直线经过点B时，此时与函数图象有 3 个交点，满足；当为的切线时，设切点，则，故有，解得，即有切点为，此时与有 3 个交点，满足题意；综上：当，故选：B 利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可 本题主要考查函数零点个数的判断和应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度 10.答案：解析：解：双曲线的右焦点为，又有一条渐近线方程是，解得，双曲线的标准方程为 故答案为：由题可知，再结合，解得，于是求得双曲线的方程 本题考查双曲线标准方程的求法、基本几何性质，考查学生的运算能力，属于基础题 11.答案：解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得的常数项为，则实数，故答案为：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于 0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数a的值 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题 12.答案：解析：解：由题意可得，则，当且仅当且即，时取等号，故答案为：由已知直接利用基本不等式即可求解 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题 13.答案：解析：解：，即，由正弦定理可得：，可得，即，故答案为：利用两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 tanA，进而可求 cosA的值 本题主要考查了两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 14.答案：2 10 解析：解：如图，点O是长方体的中心，为的中点，平面，平面平面，在平面 内，过O作 则平面，则，且，又棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，；设，则，即正方形EFGH的边长为，则面积为，则 故答案为：2；10 由点O是长方体的中心，得O为的中点，在平面 内，过O作，证明平面，可得，且，得到；设，则，再把四棱锥的体积用含有a与l的代数式表示，即可求得四棱锥的体积 本题考查长方体与棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题 15.答案：解析：解：因为在梯形ABCD中，令，代入上式得：，所以，当时，的最小值为 故答案为：以为基底，并且设，然后用基底将表示出来，最终把问题转化为关于的函数，求其最小值即可 本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算问题同时考查学生利用化归思想解决问题的能力和运算能力属于中档题 16.答案：解：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为 2：2：3，因此，采用分层抽样方法从中抽取 7 人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别 抽取 2 人、2 人、3人 分 依题意，得随机变量X的所有可能取值为 2，3，分 所以，分 因此，所求随机变量X的分布列为 X.2 3 4 P 分 故随机变量X的数学期望为 分 依题意，设事件B为“抽取的 4 人中，三科成绩全及格的有 2 人，三科成绩不全及格的有 2 人”；事件C为“抽取的 4 人中，三科成绩全及格的有 3 人，三科成绩不全及格的有 1 人”则有，且B与C互斥 由知，所以分 故事件M发生的概率为 分 解析：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为 2：2：3，采用分层抽样方法从中抽取 7 人，即可得出结论 依题意，得随机变量X的所有可能取值为 2，3，4，利用超几何分布列计算公式，即可得出分布列，进而得出数学期望依题意，设事件B为“抽取的 4 人中，三科成绩全及格的有 2 人，三科成绩不全及格的有 2 人”；事件C为“抽取的 4人中，三科成绩全及格的有 3 人，三科成绩不全及格的有 1 人”，可得，且B与C互斥 由知，即可得出 本题考查了超几何分布列与数学期望、分层抽样、互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 17.答案：解：证明：因为，所以，当时，有，由得，即，所以，所以数列是公比为 2 的等比数列 又由得，解得：所以；解：由题意及得，所以，所以，由，得，故 解析：由，两式相减整理得所以，从而证明其为等比数列，进而可求其通项公式；由求得，再利用错位相减法求其和即可 本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题 18.答案：解：证明：因为，所以 又因为，所以是等腰直角三角形，所以，又因为，所以，即 因为底面ABCD，平面ABCD，所以 又，所以平面PAC 解：在中，所以 由知，平面PAC，所以是直线PB与平面PAC所成的角，则 在中，所以【方法一】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 则 因为E为PB的中点，所以，所以 设平面ACE法向量为，则即令，得所以 由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量 所以 故所求二面角的余弦值为【方法二】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 则 因为E为PB的中点，所以，所以 设平面ACE法向量为，则即令，得所以 由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量 所以 故所求二面角的余弦值为 解析：推导出 由此能证明平面PAC 法一：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 由此利用向量法能求出二面角的余弦值 法二：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 由此利用向量法能求出二面角的余弦值 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19.答案：解：设椭圆C：的焦距为，则，所以 因为直线AB过C的焦点，且的周长是，所以，所以 所以 所以，椭圆C的方程是 证明：由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，所以，化简，得；同理，得 所以，是一元二次方程的两实数根，则有 又因为点在C上，所以，即，所以定值 解：是定值，且定值为 27 理由如下：方法一 设，由、联立方程组解得 所以 同理，得 由知，所以，所以定值 方法二 设，由知，所以 因为，在C上，所以，即 所以，整理得，所以 故有定值 解析：根据题意可得，解得a，b，进而得椭圆C的方程 由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，得；同理，得 所以，是一元二次方程的两实数根，所以又因为点在C上，所以，进而定值 方法一 设，联立方程组解得P点的坐标，进而得 同理，得，由知，所以，化简可得出结论 方法二设，由知，所以 因为，在C上，所以，即 两式相乘，化简，再代入化简即可得出结论 本题考查椭圆方程，定值问题，在解题过程中关键是细心进行运算化简，属于中档题 20.答案：解：由题意，得，所以 因为，所以，即所求曲线在点处的切线方程为 易知，函数的定义域为R，且有 由于在上恒成立，所以 当时，在上恒成立，此时，所以，在区间上单调递增 当时，由，即，解得；由，即，解得 所以，在区间上单调递减；在区间上单调递增 易知，等价于 设 由题意，对时，不等式恒成立，只需 易得，令，所以 显然，当时，恒成立 所以函数在上单调递减，所以，即在恒成立 所以，函数在上单调递减 所以有 所以 故所求实数m的取值范围是 解析：求出，通过然后求解切线方程 求出，通过当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性即可 设转化为对时，不等式恒成立，只需利用函数的导数，构造函数，二次导函数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后推出结果 本题考查导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，二次导函数的应用，是难题