八年级数学竞赛例题专题-面积法.docx

八年级数学竞赛例题专题-面积法八年级数学竞赛例题专题-梯形 专题21梯形阅读与思索梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特别四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加协助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的协助线的方法有：（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形如图所示： 例题与求解【例1】如图，在四边形ABCD中，AB/CD，D2B，AD和CD的长度分别为，那么AB的长是_.（荆州市竞赛试题）解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特别三角形【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB/CD由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形（1）求四边形ABCD四个内角的度数；（2）摸索究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图（山东省中考试题）解题思路：对于（1）、（2），在视察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见协助线入手；对于（3），在（2）的基础上，绽开想象的翅膀，就可设计出若干种图形 【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，且ACBD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高.（内蒙古自治区东四盟中考试题）解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB/DC，AB998，DC1001，AD1999，点P在线段AD上，问：满意条件BPC900的点P有多少个？（全国初中数学联赛试题）解题思路：依据ABDCAD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形 【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，CD/AB，对角线AC，BD相交于O，ACD600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点（1）求证：PQS是等边三角形；（2）若AB5，CD3，求PQS的面积；（3）若PQS的面积与AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.【例6】如图，分别以ABC的边AC和BC为一边，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半（山东省竞赛试题）解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质关键是要构造能运用条件EPPF的图形 实力训练A级1.等腰梯形中，上底：腰：下底1：2：3，则下底角的度数是_.（天津市中考试题）2.如图，直角梯形ABCD中，ABBC，AD3，BC5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE，连接AE，则ADE的面积为_.（宁波市中考试题）3如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD，A，12，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为_.4.如图，梯形ABCD中，AD/BC，EF是中位线，G是BC边上任一点，假如，那么梯形ABCD的面积为_.（成都市中考试题）5.等腰梯形的两条对角线相互垂直，则梯形的高和中位线的长之间的关系是()ABCD无法确定6.梯形ABCD中，AB/DC，AB5，BC，BCD，CDA，则DC的长度是()A.B8C.D.E.（美国中学考试题）7如图，在等腰梯形ABCD中，ACBCAD，则DBC的度数是()A.300B.450C.600D.900（陕西省中考试8如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，AD2，BCDC5，点P在BC上移动，则当PAPD取最小值时，APD中边AP上的高为()ABCD3（鄂州市中考试题）9如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ABCD，点P为BC边上一点，PEAB，PFCD，BGCD，垂足分别为E，F，G求证：PEPFBG（哈尔滨市中考试题） 10.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G求证：11.如图，等腰三角形ABC中，ABAC，点E、F分别是AB、AC的中点，CEBF于点O求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形；（2）（深圳市中考试题）12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F，AB4，BC6，B（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN/AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形态是否发生变更？若不变，求出PMN的周长；若变更，请说明理由当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，恳求出全部满意要求的的值；若不存在，请说明理由（江西省中考试题) B级1.如图，在梯形ABCD中，AB/DC，ADBC，AB10，CD4，延长BD到E，使DEDB，作EFAB交BA的延长线于点F，则AF_.（山东省竞赛试题）2.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC10cm，AC与BD相交于G，且AGD，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为_.（“希望杯”邀请赛试题）3.用四条线段：作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为_.（湖北赛区选拔赛试题）4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO3：2，则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为_.（安徽省中考试题）第4题图第5题图第6题图5.如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，若DEC的面积为S，则四边形ABCD的面积为()AB2SCD（重庆市竞赛试题）6.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，B，C，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，DA的中点，已知BC7，MN3，则EF的值为()A4BC5D6（全国初中数学联赛试题）7.如图，梯形ABCD中，AB/DC，E是AD的中点，有以下四个命题：若ABDCBC，则BEC；若BEC，则ABDCBC；若BE是ABC的平分线，则BEC；若ABDCBC，则CE是DCB的平分线.其中真命题的个数是()A1个B2个C3个D4个（重庆市竞赛试题）8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB/CD，ABC，AB9cm，BC8cm，CD7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于()A1cmB1.5cmC2cmD2.5cm（“希望杯”邀请赛试题）9.如图，在梯形ABCD中，AB/DC，M是腰BC的中点，MNAD.求证：（山东省竞赛试题）10.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.（全国初中数学联赛试题） 11.已知一个直角梯形的上底是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.（“东方航空杯”上海市竞赛试题） 12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点（）交AB于E，AB12，四边形OEBF的面积为16.（1）求值.（2）已知，点P从A动身以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时动身，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动起先，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线把PQCB的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点M的坐标及CM的长度；若不存在，请说明理由. 八年级数学竞赛例题专题-相对相称对称分析法 专题26相对相称对称分析法 阅读与思索当代美国数学家赫尔曼韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创建秩序、奇妙以及尽善尽美的一种思想.很多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）.对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性协助解题的一种分析方法，初中阶段主要探讨下面两种类型的对称：1.代数中的对称式假如把一个多项式的随意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个困难的二元对称式，都可以用最简洁对称多项式，表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决.2.几何图形的对称几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，假如我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，简单找到解题途径.例题与求解【例l】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值是.(荆门市中考试题)解题思路：作M关于AC的对称点，连MN交AC于点P，则PM+PN的值最小.【例2】已知，均为正数，且，求W=的最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：用代数的方法求W的最小值较繁，的几何意义是以a，b为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W的最小值.【例3】已知，求证：（四川省竞赛试题）解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证 【例4】如图，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且ACBD，已知OAOC，OBOD，求证：BCADABCD.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC为对称轴，将部分图形翻折 【例5】如图，矩形ABCD中，AB20厘米，BC10厘米，若在AC、AB上各取一点M，N，使BMMN的值最小，求这个最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：要使BMMN的值最小，应当设法将折线BMMN拉直，不妨从作出B点关于AC的对称点入手. 实力训练1.如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴.若AFCBCF，则AFEBCD的大小是.(武汉市中考试题)(第1题图)（第2题图）（第3题图）2.如图，矩形纸片ABCD中，AB2，点E在BC上，且AEEC，若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是.(济南市中考试题)3.如图，AOB，P是AOB内一点，PO10，Q，P分别是OA、OB上的动点，则PQR周长最小值是.4.比大的最小整数是.（西安交通高校少年班入学试题）5.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE2，P在BD上，则PEPC的最小值为（）.ABCD6.视察下列平面图形，其中是轴对称图形的有().A1个B2个C3个D4个(南京市中考试题)7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（）.A英里B16英里C17英里D18英里（美国中学生竞赛试题）(第5题图)（第7题图）（第8题图）8.如图，等边ABC的边长为2，M为AB中点，P为BC上的点，设PAPM的最大值和最小值分别为S和L，则等于（）ABCD9.一束光线经三块平面镜反射，反射的路途如图所示，图中字母表示相应的度数，已知=，求与的值.（江苏省竞赛试题） 10.求代数式的最小值.（“希望杯”邀请赛试题） 11.在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，现安排在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水方案设计某班数学爱好小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点） 视察计算（1）在方案一中，km（用含的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图13-3所示的协助线，请你按小宇同学的思路计算，km（用含的式子表示）探究归纳（1）当时，比较大小：（填“”、“”或“”）；当时，比较大小：（填“”、“”或“”）；（2）对（当时）的全部取值状况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？(河北省中考试题) 12如图，已知平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，3），B（4，1）（1）若P（，0）是轴上的一个动点，当PAB的周长最短时，求的值；（2）若C（，0），D（，0）是轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M，N分别为轴和y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（，0）、N（0，），使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由13.在ABC中，BAC45°，ADBC于D，将ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M（1）推断四边形AEMF的形态，并赐予证明；（2）若BD1，CD2，试求四边形AEMF的面积(宁夏中考试题)14.阅读下列材料：小贝遇到一个好玩的问题：在矩形ABCD中，AD8cm，AB6cm，现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点动身，沿着AB边夹角为45的方向作直线运动，每次遇到矩形的一边，就会变更运动方向，沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动，并且它始终根据这种方式不停地运动，即当P点遇到BC边，沿着BC边夹角为45的方向作直线运动，当P点遇到CD边，再沿着与CD边夹角为45的方向作直线运动如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路途的总长是多少？小贝的思索是这样起先的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的学问，发觉P2P3P2E，P1AP1E请你参考小贝的思路解决下列问题：(1)P点第一次与D点重合前与边相碰次，P点从A点动身到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是cm(2)进一步探究：变更矩形ABCD中AD、AB的长，且满意ADAB，动点P从A点动身，根据阅读材料中动点的运动方式，并满意前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为 八年级数学竞赛例题专题-配方法 专题25配方法阅读与思索把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是探讨相等关系，探讨不等关系的常用技巧.配方法的作用在于变更式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：1、2、3、4、配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：(1)具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如能联想起配方法.(2)具有整体把握题设条件的实力，即擅长将某项拆开又重新安排组合，得到完全平方式. 例题与求解【例1】已知实数，满意，那么_(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x，y的值. 【例2】若实数，c满意，则代数式的最大值是()A、27B、18C、15D、12(全国初中数学联赛试题)解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式. 配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；(1)非负数的最小值为零；(2)有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.【例3】已知，求a+b+c的值.解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.复合根式的化简，含多元的根式等式问题，经常用到配方法. 【例4】证明数列49，4489，444889，44448889，的每一项都是一个完全平方数.解题思路：，由此可猜想，只需完成从左边到右边的推导过程即可. 几个好玩的结论：(1)(2)这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个. 【例5】一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满足，往上走一层楼梯感到3分不满足，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满足的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即干脆从楼梯上楼）(全国初中数学联赛试题) 解题思路：通过引元，把不满足的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.配方法的作用在于变更代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 【例6】已知自然数n使得为完全平方数，求n的值.(“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：原式中n的系数为奇数，不能干脆配方，可想方法化奇为偶，解决问题. 实力训练1、计算=_.(“希望杯”邀请赛试题)2、已知，则.3、，y为实数，且，则+y的值为_.4、当2时，化简代数式，得_.5、已知，当=_，y=_时，的值最小.(全国通讯赛试题) 6、若，则MN的值()A、负数B、正数C、非负数D、可正可负7、计算的值为()A、1B、C、D、(全国初中数学联赛试题)8、设，,为实数，则x，y，z中至少有一个值()A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零(全国初中数学竞赛试题)9、下列代数式表示的数肯定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)的是()A、B、C、D、E、10、已知实数，c满意，则a+b+c的值等于()A、2B、3C、4D、5(河北省竞赛试题)解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并常常用到一下重要命题：设x1，x2，x3,xn为实数.(1)若则x1，x2，x3,xn中至少有(或存在)一个为零；(2)若，则x1，x2，x3，xn中至少有(或存在)一个大于零；(3)若，则x1，x2，x3，xn中至少有(或存在)一个小于零. 11、解方程组(苏州市竞赛试题) 12、能使是完全平方数的正整数n的值为多少？(全国初中数学联赛试题) 13、已知，且，为自然数，求，的值.(天津市竞赛试题) 13、设a为质数，b为正整数，且，求，的值.(全国初中数学联赛试题) 14、某宾馆经市场调研发觉，每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系.(1)依据图象求y与x之间的函数关系式(0160)；(2)从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？ 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 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