简单的线性规划及实际应用.docx

简单的线性规划及实际应用简洁的线性规划 3.4.4简洁的线性规划授课类型：新授课【教学目标】1学问与技能：驾驭线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简洁的实际问题；2过程与方法：经验从实际情境中抽象出简洁的线性规划问题的过程，提高数学建模实力；3情态与价值：引发学生学习和运用数学学问的爱好，发展创新精神，培育实事求是、理论与实际相结合的科学看法和科学道德。【教学重点】利用图解法求得线性规划问题的最优解；【教学难点】把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是依据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。【教学过程】1.课题导入复习引入：1、二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧全部点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）2、目标函数,线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域,最优解:2.讲授新课线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源肯定的条件下，如何运用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理支配和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：范例讲解例5养分学家指出，成人良好的日常饮食应当至少供应0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满意养分专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，须要同时食用食物A和食物B多少kg？ 指出:要完成一项确定的任务,如何统筹支配,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.例6在上一节例3中，若依据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1600元，中学每人每年可收取学费2700元。那么开设初中班和中学班各多少个，每年收取的学费总额最高多？ 指出:资源数量肯定,如何支配运用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一 结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：简洁线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）找寻线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解3.随堂练习课本第103页练习2 4.课时小结线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应精确建立数学模型，即依据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最终，要依据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际状况求得最优解。5.评价设计课本第105页习题3.3A组的第3题【板书设计】 简洁的线性规划问题 简洁的线性规划问题运用说明1.课前完成语系学案上的问题导学及例题.2.仔细限时完成，规范书写，课堂小组合作探讨，答疑解惑.学习目标：（1）了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；（2）能依据条件，建立线性目标函数；（3）了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值问题导学：1.对于关于两个变量x,y的不等关系表示成的不等式（组），称为（），假如约束条件中都是关于x,y的一次不等式，称为（）2.在线性约束条件下，欲达到最大值或最小值所涉及的关于变量x,y的函数解析式=f(x,y),称为（），当f(x,y)是关于x,y的一次解析式时，z=f(x,y)称为（）3.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为（），满意线性约束条件的解（x,y）叫做（）由全部可行解组成的集合叫做（），使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的（），使x,y均为整数的最优解叫做（）。4.解线性规划应用题的一般步骤：1.设出_.列出_，确定_3.画出_4.作目标函数表示的一族平行直线，使其中某条直线与_有交点，5.推断_求出目标函数的_，并回到原问题中作答。.典型例题：例1.（1）求z=2x+y的最大值，使x、y满意约束条件 （2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y满意约束条件 例2.某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品运用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品运用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采纳哪种生产支配利润最大？（按每天8h计算） 基础测评：一.选择题.1.若x0,y0,且x+y1,则z=x+y的最大值为()A1B1C2D22.目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时，z的意义是（）A,该直线的截距B.该直线的纵截距C.该直线的纵截距的相反数D.该直线的横截距3.不等式组xy+50x+y0x3表示的平面区域的面积等于（）A、32B、1214C、1154D、632 4.有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运输最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为（）A,Z=6x+4yBz=5x+4yCz=x+yDz=4x+5y5.如图，表示的平面区域是（）6.给出平面区域如图7-28所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）ABC2D二填空题7z=3x+2y，x、y满意，在直线x=3上找出三个整点可行解为_。8给出下面的线性规划问题：求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y满意约束条件，欲使目标函数z只有最小值而无最大值，请你设计一种变更约束条件的方法（仍由三个不等式构成，且只能变更其中一个不等式），那么结果是_。 9.已知变量x,y满意条件x-4y-33x+5y25x1，设z=2x+y,取点（3，2）可求得z=8;取点（5，2）可求得=12;取点（1，1）可求得=3；取点（0，0）可求得z=0，点（3，2）叫做_。，点（0，0）叫做_。点（5，2）和点（1，1）均叫做_。三解答题；10.已知x、y满意不等式组，求z=3x+y的最小值。 11.已知点（x,y）满意不等式组,求在这些点中,使目标函数k6x+8y取得最大值的点P的坐标；使目标函数k8x+6y取得最大值的点P的坐标. 12.下表给出X、Y、Z三种食品的维生素含量及其成本 XYZ维生素A/单位/千克400500300维生素B/单位/千克700100300成本/（元/千克）643 现欲将三种食物混合成100千克的混合食品，要求至少含35000单位维生素A，40000单位维生素B，采纳何种配比成本最小？ 简洁的线性规划1简洁的线性规划1教学目标(1)使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域;(2)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念;(3)了解线性规化问题的图解法,并能应用它解决一些简洁的实际问题;(4)培育学生视察、联想以及作图的实力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的实力;(5)结合教学内容,培育学生学习数学的爱好和“用数学”的意识,激励学生勇于创新.教学建议一、学问结构教科书首先通过一个详细问题,介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个详细实例,介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法-图解法,并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式(组)表示平面的区域.对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏、抽象的概念,按高二学生现有的学问和认知水平难以透彻理解,因此学习二元一次不等式(组)表示平面的区域分为两个大的层次:(1)二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧学问的联系,自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧全部点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线).其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.(2)二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上,画不等式组所表示的平面区域,找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.难点是把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答.对很多学生来说,从抽象到的化归并不比从详细到抽象遇到的问题少,学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题,即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点,并紧紧围绕如何引导学生依据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键.对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类:不能正确理解题意,弄清各元素之间的关系;不能分清问题的主次关系,因而抓不住问题的本质,无法建立数学模型;孤立地考虑单个的问题情景,不能多方联想,形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素,将本课设计为计算机协助教学,从而将实际问题鲜活直观地呈现在学生面前,以利于理解;分析完题后,能够抓住问题的本质特征,从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外,利用计算机可以较快地帮助学生把握找寻整点最优解的方法.三、教法建议(1)对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏的概念,不象二元一次方程表示直线那样已早有所知,为使学生对这一概念的引进不感到突然,应建立新旧学问的联系,以便自然地给出概念(2)建议将本节新课讲授分为五步(思索、尝试、猜想、证明、归纳)来进行,目的是为了分散难点,层层递进,突出重点,只要学生对旧学问把握较好,完全有可能由学生主动去探求新知,得出结论.(3)要举几个典型例题,非凡是似是而非的例子,对理解二元一次不等式(组)表示的平面区域的含义是非常必要的.(4)建议通过本节教学着重培育学生把握“数形结合”的数学思想,尽管侧重于用“数”探讨“形”,但同时也用“形”去探讨“数”,这对培育学生视察、联想、揣测、归纳等数学实力是大有好处的.(5)对作业、思索题、探讨性题的建议:作业主要练习学生规范的解题步骤和作图实力;思索题主要供学有余力的学生课后完成;探讨性题综合性较大,主要用于拓宽学生的思维.(6)若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),应作适当的调整,其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的四周寻求与此直线距离最近的整点,不要在用图解法所得到的近似解四周找寻.假如可行域中的整点数目很少,采纳逐个试验法也可.(7)在线性规划的实际问题中,主要把握两种类型:一是给定肯定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务问怎样统筹支配,能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.线性规划教学设计方案(一)教学目标使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域.重点难点了解二元一次不等式表示平面区域.教学过程引入新课我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集,那么在平面坐标系中,二元一次不等式的解集的意义是什么呢?二元一次不等式表示的平面区域1.先分析一个详细的例子我们知道,在平面直角坐标系中,以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点(0,1)和(1,0)的一条直线l(如图)那么,以二元一次不等式(即含有两个未知数,且未知数的最高次数都是1的不等式)的解为坐标的点的集合是什么图形呢?在平面直角坐标系中,全部点被直线l分三类:在l上;在l的右上方的平面区域;在l的左下方的平面区域(如图)取集合A的点(1,1)、(1,2)、(2,2)等,我们发觉这些点都在l的右上方的平面区域,而点(0,0)、(-1,-1)等等不属于A,它们满意不等式,这些点却在l的左下方的平面区域.由此我们猜想,对直线l右上方的随意点成立;对直线l左下方的随意点成立,下面我们证明这个事实.在直线上任取一点,过点P作垂直于y轴的直线,在此直线上点P右侧的随意一点,都有于是所以因为点,是L上的随意点,所以,对于直线右上方的随意点,都成立同理,对于直线左下方的随意点,都成立所以,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点的集点.是直线右上方的平面区域(如图)类似地,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域.2.二元一次不等式和表示平面域.(1)结论:二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧全部点组成的平面区域.把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线,若画不等式就表示的面区域时,此区域包括边界直线,则把边界直线画成实线.(2)判定方法:由于对在直线同一侧的全部点,把它的坐标代入,所得的实数的符号都相同,故只需在这条直线的某一侧取一个非凡点,以的正负状况便可判定表示这始终线哪一侧的平面区域,非凡地,当时,常把原点作为此非凡点.应用举例例1画出不等式表示的平面区域解;先画直线(画线虚线)取原点(0,0),代入,原点在不等式表示的平面区域内,不等式表示的平面区域如图阴影部分.例2画出不等式组表示的平面区域分析:在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解:不等式表示直线上及右上方的平面区域,表示直线上及右上方的平面区域,上及左上方的平面区域,所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分.课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.(1)(2)(3)(4)(5)总结提炼1.二元一次不等式表示的平面区域.2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方法.3.二元一次不等式组表示的平面区域.布置作业1.不等式表示的区域在的().A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方2.不等式表示的平面区域是().3.不等式组表示的平面区域是().4.直线右上方的平面区域可用不等式表示.5.不等式组表示的平面区域内的整点坐标是.6.画出表示的区域.答案:1.B2.D3.B4.5.(-1,-1)简洁线性规划教案 教学设计35.2简洁线性规划整体设计教学分析本节内容在教材中有着重要的地位与作用线性规划是利用数学为工具，来探讨肯定的人、财、物等资源在肯定条件下，如何精打细算巧支配，用最少的资源，取得最大的经济效益它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学探讨、工程设计、经济管理等很多方面的实际问题中学所学的线性规划只是规划论中的微小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题供应了一种重要的解题方法数学建模法通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培育学生学习数学的爱好、应用数学的意识和解决实际问题的实力把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是本节的重点也是难点对很多学生来说，解数学应用题的最常见的困难是不会将实际问题转化成数学问题，即不会建模，所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点对学生而言，解决应用问题的障碍主要有三类：不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情境，不能多方面联想，形成正迁移针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本节设计为计算机协助教学，充分利用现代化教学工具，从而将实际问题鲜活直观地呈现在学生面前，以利于理解实际教学中留意以下几个问题：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域假如可行域是一个凸多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点究竟哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最终通过的顶点便是；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来推断若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，应作适当的调整其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的旁边寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解旁边找寻假如可行域中的整点数目很少，采纳逐个试验法也是很有效的方法在线性规划的实际问题中，主要驾驭两种类型：一是给定肯定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹支配，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小假如条件允许，可将本节的思索与探讨融入课堂三维目标1使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简洁的实际问题2通过本节内容的学习，培育学生视察、联想以及作图的实力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的实力3通过本节学习，理解线性规划求最优解的原理，明确线性规划在现实生活中的意义重点难点教学重点：求线性目标函数的最值问题，培育学生“用数学”的意识，理解线性规划最优解的原理教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答课时支配2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(问题引入)由身边的线性规划问题导入课题，同时阐明其重要意义如6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元假如想买2枝玫瑰与3枝康乃馨，那么价格比较结果是怎样的呢？可由学生列出不等关系，并画出平面区域由此导入新课思路2.(章头问题引入)在生产与营销活动中，我们经常须要考虑：怎样利用现在的资源取得最大的收益，或者怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务我们把这一类问题称为“最优化”问题线性规划学问恰是解决这类问题的得力工具由此绽开新课推动新课新知探究提出问题1回忆二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法.2怎样从实际问题中抽象出不等式组，并画出所确定的平面区域？3阅读教材，明确什么是目标函数，线性目标函数，约束条件，线性约束条件，线性规划问题，最优解，可行域.,4你能给出解决线性规划问题的一般步骤吗？活动：老师引导学生回顾二元一次不等式表示平面区域常用的方法是：直线定界、原点定域，即先画出对应直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比零大还是比零小；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分老师引导学生探究教材本节开头的问题依据上节所学，学生很简单设出安排生产甲种产品x工时，生产乙种产品y工时，且很简单地列出获得利润总额为f30x40y， 及x，y满意的条件3x2y1200，x2y800，x0，y0.老师引导学生画出上述不等式组表示的区域，如下图结合图形，老师与学生一起探究，原问题就是在x，y满意的状况下，求f的最大值也就是在图中阴影部分内找一点，把它的坐标代入式子30x40y时，使该式值最大若令30x40y0，则此方程表示通过原点的一条直线，记为l0，则在区域OABC内有30x40y0.设这个区域内随意一点P(x，y)到l0的距离为d，则d|30x40y|30240230x40y302402，即30x40y302402d.由此可发觉，点P(x，y)到直线l0的距离d越大，式子30x40y的值就越大这样问题又转化为：在区域OABC内，找与直线l0距离最大的点视察图象易发觉，平移直线l0，最终经过的点为B，易知区域OABC内的点B即为所求解方程组3x2y1200，x2y800，得B(200,300)，代入式子，得fmax30×20040×30018000.即问题中，用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得最大利润18000元进一步探究上述问题，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件z2xy是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数由于z2xy又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题例如：我们刚才探讨的就是求线性目标函数z2xy在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题满意线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由全部可行解组成的集合叫做可行域其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解，接着让学生说出上述问题中的目标函数，约束条件，可行域，最优解分别是什么依据以上探究，我们可以得出用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数求出最优解在可行域内平行移动目标函数，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是无穷最优解，或是无最优解；(6)实际问题须要整数解时，应适当调整确定最优解探讨结果：(1)(4)略应用示例例1已知x、y满意不等式x2y2，2xy1，x0，y0，求z3xy的最小值活动：可先找出可行域，平行移动直线l0：3xy0找出可行解，进而求出目标函数的最小值解：不等式x2y2表示直线x2y2上及其右上方的点的集合；不等式2xy1表示直线2xy1上及其右上方的点的集合可行域如图所示作直线l0：3xy0，作一组与直线l0平行的直线l：3xyt(tR)x、y是上面不等式组表示的区域内的点的横纵坐标，由图可知，当直线l：3xyz通过点P(0,1)时，z取到最小值1，即zmin1.点评：简洁线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的(1)找寻线性约束条件，线性目标函数；(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；(3)在可行域内求目标函数的最优解.变式训练若变量x，y满意2xy40，x2y50，x0，y0，则z3x2y的最大值是_答案：70解析：由不等式组2xy40，?x2y50，?x0，?y0画出可行域如下图结合图形，由2xy40，x2y50x10，y20，于是zmax3×102×2070. 例2(教材本小节例2)活动：教材此例的数据以表格的形式给出这样可使量与量之间的关系一目了然，特别有助于我们顺当地找出约束条件和目标函数，特殊是对于那些量比较多的问题本例难度不大，可由学生自己完成，老师赐予适当点拨点评：完成此例后，可让学生对应用线性规划解决实际问题作一简洁归纳对较好的学生，老师可结合思索与探讨进行归纳.变式训练某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，打算加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌须要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱须要方木料0.2m3、五合板1m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，假如只支配生产书桌，可获利润多少？假如只支配生产书橱，可获利润多少？怎样支配生产可使所得利润最大？解：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则0.1x90，2x600x900，x300x300.z80x，当x300时，zmax80×30024000(元)，即假如只支配生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元(2)设只生产书橱y张，可获利润z元，则0.2y90，y600y450，y600y450.z120y，当y450时，zmax120×45054000(元)，即假如只支配生产书橱，最多可生产450个，获得利润54000元(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元则0.1x0.2y90，2xy600，x0，y0x2y900，2xy600，x0，y0，z80x120y，可行域如图由图可知：当直线y23xz120经过可行域上的点M时，截距z120最大，即z最大，解方程组x2y900，?2xy600，得M的坐标为(100,400)zmax80x120y80×100120×40056000(元)因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56000元. 例3某工厂生产甲、乙两种产品已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元工厂在生产这两种产品的安排中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t，甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t)，能使利润总额达到最大？活动：将已知数据列成下表，然后按线性规划解决实际问题的步骤完成，本例可由学生自己完成 解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，那么10x4y300，5x4y200，4x9y360，x0，y0；目标函数为z600x1000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域如图作直线l：600x1000y0，即直线l：3x5y0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z600x1000y取最大值解方程组5x4y200，4x9y360，得x3602912.4，y10002934.4.M的坐标为(12.4,34.4)答：应生产甲产品约12.4t，乙产品34.4t，能使利润总额达到最大知能训练1设变量x，y满意约束条件：yx，x2y2，x2，则zx3y的最小值为()A2B4C6D82医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配养分餐甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元若病人每餐至少须要35单位蛋白质和40单位铁质试问：应如何运用甲、乙原料，才能既满意养分，又使费用最省？答案：1D解析：在坐标平面内画出不等式组yx，x2y2，x2所表示的平面区域，作出直线x3y0，平移该直线，并结合图形(图略)知点(2,2)为最优解所以目标函数的最小值为zmin23×28，故选D.2活动：将已知数据列成下表： 原料/10g蛋白质/单位铁质/单位甲510乙74费用32 设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，则须要的费用为z3x2y；病人每餐至少须要35单位蛋白质，可表示为5x7y35；同理，对铁质的要求可以表示为10x4y40，这样，问题成为在约束条件5x7y35，10x4y40，x0，y0下，求目标函数z3x2y的最小值解：设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，总费用为z，那么5x7y35，10x4y40，x0，y0；目标函数为z3x2y，作出可行域如图把z3x2y变形为y32xz2，得到斜率为32，在y轴上的截距为z2，随z改变的一组平行直线由图可知，当直线y32xz2经过可行域上的点A时，截距z2最小，即z最小由10x4y40，5x7y35，得A(145，3)，zmin3×1452×314.4.甲种原料运用145×1028(g)，乙种原料运用3×1030(g)时，费用最省课堂小结1让学生自己归纳整合本节所学的学问方法及用线性规划解决实际问题的方法步骤，自己在本节中的最大收获有哪些？2老师强调，通过本节学习，需驾驭如何用线性规划解决实际问题的解题思路：首先，应精确建立数学模型，即依据题意找出约束条件，确定线性目标函数然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解最终，还要依据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际状况求得最优解作业习题35A组3、4、5；习题35B组3.设计感想1本节内容与实际问题联系紧密，有利于培育学生学习数学的爱好和“用数学”的意识以及解决实际问题的实力本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的典型教材，也是培育学生视察、作图实力的典型教材2通过实例给出解题步骤，让其更深化了解并驾驭新知这里强调的还有作图的规范问题，这是学生简单忽视的，但这又是本节课很重要的一部分3关于难度把握问题，依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按高二学生现有的学问和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题，以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节学问内容定为了解层次但这个了解不同于其他的了解，应留意让学生切实学会从实际问题抽象出约束条件及目标函数，并留意规范书写解答步骤(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(干脆导入)上一节课我们探究了用线性规划解决实际问题的一种类型，这节课我们进一步探究有关线性规划的一些问题，看看用线性规划还能解决哪些实际问题老师出示多媒体课件，提出问题，由此引入新课思路2.(问题导入)关于线性规划的整点问题是个难点，我们是用平移直线的方法来解决的，须要画图精确，令学生很头痛下面我们探究调整最优值法来确定最优整数解的方法老师用多媒体出示以下问题：某人有楼房一座，室内面积共有180平方米，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18平方米，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元，小房间每间面积15平方米，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元假如他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？学生很简单设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x，y满意18x15y180，1000x600y8000，x0，xN，y0，yN.作出可行域(出示多媒体课件)，作直线l：200x150y0，即l：4x3y0，把直线l向右上方平移，直线经过可行域上的点B时，与原点距离最大，此时z200x150y取得最大值，解方程组6x5y60，5x3y40，得点B的坐标为(207，607)，由于B的坐标不是整数，而最优解(x，y)中，x、y必需都是整数，所以可行域内的点B不是最优解以下老师与学生共同探究调整最优值法来确定最优整点的方法：将B点坐标代入4x3yz，得z3717，所以令4x3y37.所以y374x3，x373y4，代入约束条件得y9，x无解；再令4x3y36，所以y364x3，x363y4，代入约束条件得7y12,0x4.又因为4x3y36，所以得最优解为(0,12)和(3,8)，此时z的最大值是36，最大利润是1800元用图解法解决时，简单丢一组解，而选择调整最优值法，即可避开丢解问题，只是须要肯定的不等式及不定方程的学问激励学生课外进一步探究其他方法推动新课新知探究提出问题1回忆上节课我们利用线性规划解决实际问题的方法、步骤、格式，解题时应留意哪些问题？2前面我们解决了可行域中整点问题，明确了求可行域中最优解问题，请思索最优解的个数有可能为多数个吗？活动：老师与学生一起回忆上节课利用线性规划解决实际问题时应留意：在寻求约束条件时，要留意挖掘隐含条件；在确定最优解时，首先要给予因变量的几何意义，然后利用图形的直观来确定最优解；在确定最优解时，用直线的斜率来定位关于可行域中的整点求法，是以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的旁边寻求与此直线距离最近的整点假如可行域中的整点数目很少，采纳逐个试验法也是很有效的方法下面我们进一步探究最优解问题以及用线性规划解决的另一类实际问题探讨结果：(1)略(2)求最优解，若没有特别要求，一般为边界交点但取得最值的最优解可能有无穷多个若通过图形视察不易辨别时，可把边界交点代入验证应用示例例1某公司安排2022年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元甲、乙电视台的收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何安排在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？活动：这是高考中继江苏卷线性规划大题后其次个线性规划大题，老师引导学生按前面的方法列出表格，则各量之间的关系即一目了然本题难度不大，可由学生自己解决列表如下： 甲乙合计时间x分钟y分钟300收费500元/分钟200元/分钟9万元 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元由题意得xy300，500x200y90000，x0，y0.目标函数为z3000x2000y.二元一次不等式组等价于xy300，5x2y900，x0，y0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作直线l：3000x2000y0，即3x2y0.平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值联立xy300，5x2y900，解得x100，y200.点M的坐标为(100,200)zmax3000x2000y700000(元)答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元例2(教材本小节例3)活动：本例是整数线性规划问题整数线性规划问题的可行域是由满意不等式的整点组成的集合，所求的最优解必需是整数解我们知道，最优解一般都为边界的交点，若这个交点不是整数，则须要平移直线找到旁边的最优解本例可由老师与学生共同完成点评：找整数最优解是个难点，要求画图精确，要使学生明白如何找整数最优解的原理.变式训练某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y必需满意约束条件5x11y22，2x3y9，2x11，则z10x10y的最大值是()A80B85C90D95答案：C解析：画出约束条件表示的平面区域，如图所示由x112，5x11y22，解得A(112，92)而由题意知x和y必需是正整数，直线yxz10平移经过的整点为(5,4)时，z10x10y取得最大值90. 例3某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2