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高中数学竞赛标准教材(第十一章圆锥曲线)第十五章复数(中学数学竞赛标准教材) 第十五章复数一、基础学问1复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,bR）的数，称为复数。全部复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。2复数的几种形式。对随意复数z=a+bi（a,bR），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内全部的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；假如将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设xOZ=,|OZ|=r，则a=rcos,b=rsin,所以z=r(cos+isin)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos+isin)，则称为z的辐角。若02，则称为z的辐角主值，记作=Arg(z).r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.假如用ei表示cos+isin，则z=rei，称为复数的指数形式。3共轭与模，若z=a+bi，（a,bR）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）|z1|-|z2|z1±z2|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。4复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一样，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满意平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cos1+isin1),z2=r2(cos2+isin2)，则z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)；若cos(1-2)+isin(1-2)，用指数形式记为z1z2=r1r2ei(1+2),5.棣莫弗定理：r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn).6.开方：若r(cos+isin)，则，k=0,1,2,n-1。7单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,n-1）：（1）对随意整数k，若k=nq+r,qZ,0rn-1，有Znq+r=Zr；（2）对随意整数m，当n2时，有=特殊1+Z1+Z2+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+x+1=(x-Z1)(x-Z2)(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)(x-).8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等。9复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z0）.10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。11实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。12若a,b,cR,a0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当=b2-4ac0时方程的根为二、方法与例题1模的应用。例1求证：当nN+时，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有纯虚根。证明若z是方程的根，则(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化简得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。例2设f(z)=z2+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。解因为4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)| |f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等号成立。所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.2.复数相等。例3设R，若二次方程(1-i)x2+(+i)x+1+i=0有两个虚根，求满意的充要条件。解若方程有实根，则方程组有实根，由方程组得(+1)x+1=0.若=-1，则方程x2-x+1=0中0无实根，所以-1。所以x=-1,=2.所以当2时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为2。3三角形式的应用。例4设n2000,nN，且存在满意(sin+icos)n=sinn+icosn，那么这样的n有多少个？解由题设得，所以n=4k+1.又因为0n2000，所以1k500，所以这样的n有500个。4二项式定理的应用。例5计算：（1）；（2）解(1+i)100=(1+i)250=(2i)50=-250,由二项式定理(1+i)100=)+()i，比较实部和虚部，得=-250，=0。5复数乘法的几何意义。例6以定长线段BC为一边任作ABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ABM、等腰直角ACN。求证：MN的中点为定点。证明设|BC|=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，则B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z1,z2,z3,，由复数乘法的几何意义得：，由+得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=,为定值，所以MN的中点P为定点。例7设A，B，C，D为平面上随意四点，求证：ABAD+BCADACBD。证明用A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B|C-D|+|B-C|A-D|(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|C-D|+|B-C|A-D|A-C|B-D|,“=”成立当且仅当，即=，即A，B，C，D共圆时成立。不等式得证。6复数与轨迹。例8ABC的顶点A表示的复数为3i，底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2，求ABC的外心轨迹。解设外心M对应的复数为z=x+yi(x,yR)，B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点M对应的复数z满意|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得所以ABC的外心轨迹是轨物线。7复数与三角。例9已知cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，求证：cos2+cos2+cos2=0。证明令z1=cos+isin,z2=cos+isin,z3=cos+isin，则z1+z2+z3=0。所以又因为|zi|=1,i=1,2,3.所以zi=1，即由z1+z2+z3=0得又所以所以cos2+cos2+cos2+i(sin2+sin2+sin2)=0.所以cos2+cos2+cos2=0。例10求和：S=cos200+2cos400+18cos18×200.解令w=cos200+isin200,则w18=1，令P=sin200+2sin400+18sin18×200,则S+iP=w+2w2+18w18.由×w得w(S+iP)=w2+2w3+17w18+18w19，由-得(1-w)(S+iP)=w+w2+w18-18w19=，所以S+iP=，所以8复数与多项式。例11已知f(z)=c0zn+c1zn-1+cn-1z+cn是n次复系数多项式(c00).求证：肯定存在一个复数z0,|z0|1，并且|f(z0)|c0|+|cn|.证明记c0zn+c1zn-1+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，则方程g(Z)-c0ei=0为n次方程，其必有n个根，设为z1,z2,zn，从而g(z)-c0ei=(z-z1)(z-z2)(z-zn)c0，令z=0得-c0ei=(-1)nz1z2znc0，取模得|z1z2zn|=1。所以z1,z2,，zn中必有一个zi使得|zi|1,从而f(zi)=g(zi)+cn=c0ei=cn，所以|f(zi)|=|c0ei+cn|=|c0|+|cn|.9.单位根的应用。例12证明：自O上随意一点p到正多边形A1A2An各个顶点的距离的平方和为定值。证明取此圆为单位圆，O为原点，射线OAn为实轴正半轴，建立复平面，顶点A1对应复数设为，则顶点A2A3An对应复数分别为2，3，n.设点p对应复数z,则|z|=1,且=2n-=2n-命题得证。10复数与几何。例13如图15-2所示，在四边形ABCD内存在一点P，使得PAB，PCD都是以P为直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点Q，使得QBC，QDA也都是以Q为直角顶点的等腰直角三角形。证明以P为原点建立复平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它们对应的复数，由题设及复数乘法的几何意义知D=iC,B=iA；取，则C-Q=i(B-Q)，则BCQ为等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ADQ也为等腰直角三角形且以Q为直角顶点。综上命题得证。例14平面上给定A1A2A3及点p0，定义As=As-3,s4，构造点列p0,p1,p2,使得pk+1为绕中心Ak+1顺时针旋转1200时pk所到达的位置，k=0,1,2,若p1986=p0.证明：A1A2A3为等边三角形。证明令u=，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面为复平面，则p1=(1+u)A1-up0,p2=(1+u)A2-up1,p3=(1+u)A3-up2,×u2+×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w为与p0无关的常数。同理得p6=w+p3=2w+p0,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，从而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，这说明A1A2A3为正三角形。三、基础训练题1满意(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有_组。2若zC且z2=8+6i,且z3-16z-=_。3.复数z满意|z|=5，且(3+4i)z是纯虚数，则_。4已知，则1+z+z2+z1992=_。5.设复数z使得的一个辐角的肯定值为，则z辐角主值的取值范围是_。6设z,w,C,|1，则关于z的方程-z=w的解为z=_。7.设0x1，则2arctan_。8.若，是方程ax2+bx+c=0（a,b,cR）的两个虚根且，则_。9若a,b,cC,则a2+b2c2是a2+b2-c20成立的_条件。10已知关于x的实系数方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m取值的集合是_。11二次方程ax2+x+1=0的两根的模都小于2，求实数a的取值范围。12复平面上定点Z0，动点Z1对应的复数分别为z0,z1，其中z00，且满意方程|z1-z0|=|z1|，另一个动点Z对应的复数z满意z1z=-1，求点Z的轨迹，并指出它在复平面上的形态和位置。13N个复数z1,z2,zn成等比数列，其中|z1|1，公比为q,|q|=1且q±1,复数w1,w2,wn满意条件：wk=zk+h，其中k=1,2,n,h为已知实数，求证：复平面内表示w1,w2,wn的点p1,p2,pn都在一个焦距为4的椭圆上。四、高考水平训练题1复数z和cos+isin对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称，则z=_。2.设复数z满意z+|z|=2+i，那么z=_。3有一个人在草原上闲逛，起先时从O动身，向东行走，每走1千米后，便向左转角度，他走过n千米后，首次回到原动身点，则n=_。4.若，则|z|=_。5.若ak0,k=1,2,n，并规定an+1=a1，使不等式恒成立的实数的最大值为_。6已知点P为椭圆上随意一点，以OP为边逆时针作正方形OPQR，则动点R的轨迹方程为_。7已知P为直线x-y+1=0上的动点，以OP为边作正OPQ(O，P，Q按顺时针方向排列)。则点Q的轨迹方程为_。8已知zC,则命题“z是纯虚数”是命题“”的_条件。9若nN，且n3,则方程zn+1+zn-1=0的模为1的虚根的个数为_。10设(x2022+x2022+3)2022=a0+a1x+a2x2+anxn，则+a3k-_。11.设复数z1,z2满意z1,其中A0，AC。证明：（1）|z1+A|z2+A|=|A|2；（2）12若zC,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值时的复数z.13.给定实数a,b,c,已知复数z1,z2,z3满意求|az1+bz2+cz3|的值。三、联赛一试水平训练题1已知复数z满意则z的辐角主值的取值范围是_。2设复数z=cos+isin(0)，复数z,(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P，Q，R，当P，Q，R不共线时，以PQ，PR为两边的平行四边形第四个顶点为S，则S到原点距离的最大值为_。3设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z1,z2,z20,则复数所对应的不同点的个数是_。4已知复数z满意|z|=1，则|z+iz+1|的最小值为_。5设，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2对应复平面上的点A，B，点O为原点，AOB=900，|AO|=|BO|，则OAB面积是_。6设，则(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的绽开式为_。7已知()m=(1+i)n(m,nN+)，则mn的最小值是_。8复平面上，非零复数z1,z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_。9.当nN,且1n100时，的值中有实数_个。10已知复数z1,z2满意，且，则的值是_。11集合A=z|z18=1,B=w|w48=1,C=zw|zA,wB，问：集合C中有多少个不同的元素？12证明：假如复数A的模为1，那么方程的全部根都是不相等的实根（nN+）.13.对于适合|z|1的每一个复数z，要使0|z+|2总能成立，试问：复数，应满意什么条件？六、联赛二试水平训练题1设非零复数a1,a2,a3,a4,a5满意其中S为实数且|S|2，求证：复数a1,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上。2求证：。3已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+cn是复变量z的实系数多项式，且|p(i)|1，求证：存在实数a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)24b2+1.4运用复数证明：任给8个非零实数a1,a2,a8，证明六个数a1a3+a2a4,a1a5+a2a6,a1a7+a2a8,a3a5+a4a6,a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中至少有一个是非负数。5已知复数z满意11z10+10iz9+10iz-11=0，求证：|z|=1.6.设z1,z2,z3为复数，求证：|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。 第十四章极限与导数(中学数学竞赛标准教材) 第十四章极限与导数 一、基础学问1极限定义：（1）若数列un满意，对随意给定的正数，总存在正数m，当nm且nN时，恒有|un-A|成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A，称右极限。类似地表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。2极限的四则运算：假如f(x)=a,g(x)=b，那么f(x)±g(x)=a±b,f(x)g(x)=ab,3.连续：假如函数f(x)在x=x0处有定义，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。4最大值最小值定理：假如f(x)是闭区间a,b上的连续函数，那么f(x)在a,b上有最大值和最小值。5导数：若函数f(x)在x0旁边有定义，当自变量x在x0处取得一个增量x时（x充分小），因变量y也随之取得增量y(y=f(x0+x)-f(x0).若存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或改变率），记作(x0)或或，即。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数(x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率。6几个常用函数的导数：（1）=0（c为常数）；（2）（a为随意常数）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）7导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)0,则（1）；（2）；（3）（c为常数）；（4）；（5）。8复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x)，已知(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x)处可导，则复合函数y=f(x)在点x处可导，且（f(x)=.9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递减。10极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-,x0+)内可导，（1）若当x(x-,x0)时，当x(x0,x0+)时，则f(x)在x0处取得微小值；（2）若当x(x0-，x0)时，当x(x0,x0+)时，则f(x)在x0处取得极大值。12极值的其次充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-,x0+)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。（1）若，则f(x)在x0处取得微小值；（2）若，则f(x)在x0处取得极大值。13罗尔中值定理：若函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在(a,b)，使证明若当x(a,b)，f(x)f(a)，则对随意x(a,b)，.若当x(a,b)时，f(x)f(a)，因为f(x)在a,b上连续，所以f(x)在a,b上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值mf(a)且f(c)=m，则c(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。14Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则存在(a,b)，使证明令F(x)=f(x)-,则F(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在(a,b)使=0，即15曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）假如对随意xI,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）假如对随意xI,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式：设1,2,nR+，1+2+n=1。（1）若f(x)是a,b上的凸函数，则x1,x2,xna,b有f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、方法与例题1极限的求法。例1求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）=；（2）当a1时，当0a1时，当a=1时，（3）因为而所以（4）例2求下列极限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+)(|x|1)；（2）；（3）。解（1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+)=（2）=（3）=2连续性的探讨。例3设f(x)在(-,+)内有定义，且恒满意f(x+1)=2f(x)，又当x0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试探讨f(x)在x=2处的连续性。解当x0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，则x=t-1，当x1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-10,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t1,2)时,有f(t)=2(t-1)(2-t)2；同理，当x1,2)时，令x+1=t，则当t2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)=所以，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。3利用导数的几何意义求曲线的切线方程。解因为点(2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0,y0)，则，切线的斜率为，所以切线方程为y-y0=，即。又因为此切线过点（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即x+y-2=0.4导数的计算。例5求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x0且)。解（1）3cos(3x+1).(2)（3）（4）（5）5用导数探讨函数的单调性。例6设a0，求函数f(x)=-ln(x+a)(x(0,+)的单调区间。解，因为x0,a0，所以x2+(2a-4)x+a20；x2+(2a-4)x+a+0.（1）当a1时，对全部x0，有x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增；（2）当a=1时，对x1,有x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+)内递增；（3）当0a1时，令，即x2+(2a-4)x+a20，解得x2-a-或x2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)内单调递增，在(2-a+,+)内也单调递增，而当2-a-x2-a+时，x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)内单调递减。6利用导数证明不等式。例7设，求证：sinx+tanx2x.证明设f(x)=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0cosx1），所以=cosx+sec2x-2=cosx+.又f(x)在上连续，所以f(x)在上单调递增，所以当x时，f(x)f(0)=0，即sinx+tanx2x.7.利用导数探讨极值。例8设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是微小值。解因为f(x)在(0,+)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以当x(0,1)时，所以f(x)在(0,1上递减；当x(1,2)时，所以f(x)在1，2上递增；当x(2,+)时，所以f(x)在2，+）上递减。综上可知f(x)在x1=1处取得微小值，在x2=2处取得极大值。例9设x0,y0,1，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。解首先，当x0,y0,1时，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,当时，因为cosx0,tanxx，所以；当时，因为cosx0,tanx0,x-tanx0，所以；又因为g(x)在(0,)上连续，所以g(x)在(0,)上单调递减。又因为0(1-y)xx，所以g(1-y)xg(x)，即，又因为，所以当x(0,),y(0,1)时，f(x,y)0.其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时，f(x,y)取最小值0。三、基础训练题1=_.2已知，则a-b=_.3_.4_.5计算_.6若f(x)是定义在(-,+)上的偶函数，且存在，则_.7函数f(x)在(-,+)上可导，且，则_.8若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_.9函数f(x)=x-2sinx的单调递增区间是_.10函数的导数为_.11若曲线在点处的切线的斜率为，求实数a.12.求sin290的近似值。13设0ba,求证：四、高考水平练习题1计算=_.2计算_.3函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间是_.。4函数的导数是_.5函数f(x)在x0邻域内可导，a,b为实常数，若，则_.6函数f(x)=ex(sinx+cosx),x的值域为_.7过抛物线x2=2py上一点(x0,y0)的切线方程为_.8当x0时，比较大小：ln(x+1)_x.9.函数f(x)=x5-5x4+5x3+1,x-1,2的最大值为_，最小值为_.10曲线y=e-x(x0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，则S(t)的最大值为_.11若x0，求证：(x2-1)lnx(x-1)2.12函数y=f(x)在区间(0,+)内可导。导函数是减函数，且0，x0(0,+).y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程，另设g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),表示m；（2）证明：当x(0,+)时，g(x)f(x)；（3）若关于x的不等式x2+1ax+b在(0,+)上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满意的关系。13.设各项为正的无穷数列xn满意lnxn+,证明：xn1(nN+).五、联赛一试水平训练题1设Mn=（十进制）n位纯小数0只取0或1（i=1,2,n-1），an=1，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中全部元素的和，则_.2若(1-2x)9绽开式的第3项为288，则_.3设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)0的解集为_.4曲线与的交点处的切线夹角是_.5已知aR+，函数f(x)=x2eax的单调递增区间为_.6已知在(a,3-a2)上有最大值，则a的取值范围是_.7当x(1,2时，f(x)=恒成立，则y=lg(a2-a+3)的最小值为_.8已知f(x)=ln(ex+a)(a0)，若对随意xln(3a),ln(4a)，不等式|m-f-1(x)|+ln0恒成立，则实数m取值范围是_.9.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0ab，证明：0g(a)+g(b)-(b-a)ln2.10.(1)设函数f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0x1)，求f(x)的最小值；（2）设正数p1,p2,满意p1+p2+p3+=1，求证：p1log2p1+p2log2p2+log2-n.11.若函数gA(x)的定义域A=a,b)，且gA(x)=,其中a,b为随意的正实数，且ab，（1）求gA(x)的最小值；（2）探讨gA(x)的单调性；（3）若x1Ik=k2,(k+1)2,x2Ik+1=(k+1)2,(k+2)2，证明：六、联赛二试水平训练题1证明下列不等式：（1）；（2）。2当0abcd时，求f(a,b,c,d)=的最小值。3已知x,y(0,1)求证：xy+yx1. 第十三章排列组合与概率(中学数学竞赛标准教材) 第十三章排列组合与概率 一、基础学问1加法原理：做一件事有n类方法，在第1类方法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，在第n类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+mn种不同的方法。2乘法原理：做一件事，完成它须要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2××mn种不同的方法。3排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，根据肯定依次排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(mn)元素的全部排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示，=n(n-1)(n-m+1)=,其中m,nN,mn,注：一般地=1，0！=1，=n!。4N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。5组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计依次地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(mn)个元素的全部组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示：6组合数的基本性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。7定理1：不定方程x1+x2+xn=r的正整数解的个数为。证明将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x1,x2,xn),将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种。故定理得证。推论1不定方程x1+x2+xn=r的非负整数解的个数为推论2从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为8二项式定理：若nN+,则(a+b)n=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。9随机事务：在肯定条件下可能发生也可能不发生的事务叫随机事务。在大量重复进行同一试验时，事务A发生的频率总是接近于某个常数，在它旁边摇摆，这个常数叫做事务A发生的概率，记作p(A),0p(A)1.10.等可能事务的概率，假如一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事务A包含的结果有m种，那么事务A的概率为p(A)=11.互斥事务：不行能同时发生的两个事务，叫做互斥事务，也叫不相容事务。假如事务A1，A2，An彼此互斥，那么A1，A2，An中至少有一个发生的概率为p(A1+A2+An)=p(A1)+p(A2)+p(An).12对立事务：事务A，B为互斥事务，且必有一个发生，则A，B叫对立事务，记A的对立事务为。由定义知p(A)+p()=1.13相互独立事务：事务A（或B）是否发生对事务B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事务叫做相互独立事务。14相互独立事务同时发生的概率：两个相互独立事务同时发生的概率，等于每个事务发生的概率的积。即p(AB)=p(A)p(B).若事务A1，A2，An相互独立,那么这n个事务同时发生的概率为p(A1A2An)=p(A1)p(A2)p(An).15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依靠于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.16.独立重复试验的概率:假如在一次试验中,某事务发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事务恰好发生k次的概率为pn(k)=pk(1-p)n-k.17离散型随机为量的分布列：假如随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数就是一个随机变量，可以取的值有0,1,2,10。假如随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。一般地，设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,xi,取每一个值xi(i=1,2,)的概率p(=xi)=pi，则称表x1x2x3xipp1p2p3pi为随机变量的概率分布，简称的分布列，称E=x1p1+x2p2+xnpn+为的数学期望或平均值、均值、简称期望，称D=(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+(xn-E)2pn+为的均方差，简称方差。叫随机变量的标准差。18二项分布：假如在一次试验中某事务发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事务恰好发生k次的概率为p(=k)=,的分布列为01xiNp 此时称听从二项分布，记作B(n,p).若B(n,p)，则E=np,D=npq,以上q=1-p.19.几何分布：在独立重复试验中，某事务第一次发生时所做试验的次数也是一个随机变量，若在一次试验中该事务发生的概率为p，则p(=k)=qk-1p(k=1,2,)，的分布听从几何分布，E=，D=(q=1-p).二、方法与例题1乘法原理。例1有2n个人参与收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？解将整个结对过程分n步，第一步，考虑其中随意一个人的配对者，有2n-1种选则；这一对结好后，再从余下的2n-2人中随意确定一个。其次步考虑他的配对者，有2n-3种选择，这样始终进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有(2n-1)×(2n-3)××3×1=2加法原理。例2图13-1所示中没有电流通过电流表，其缘由仅因为电阻断路的可能性共有几种？解断路共分4类：1）一个电阻断路，有1种可能，只能是R4；2）有2个电阻断路，有-1=5种可能；3）3个电阻