概率论与数理统计复习资料（一）.docx
概率论与数理统计复习资料（一）复习资料 1 11. 设1 ( )f x 为标准正态分布的概率密度，2 ( )f x 为 1,3 - - ， 上的匀称分布的概率密度，若12( ), 0( ) ( 0, 0)( ) 0af x xf x a bbf x x£ £ ì ì= > >í í> >î î为概率密度，则 , a b 应满意（A A ）2 3 4 a b + = （B B ）3 2 4 a b + = （C C ）1 a b + = （D D ）2 a b + = 2. 设总体 X 听从参数为 ( 0) l l > > 的泊松分布，1 2 1, , ,nX X X+ +为来自总体 X 的简洁随机样本，记2111( )ni iiT X Xn+ += = -å å，则 ( ) E T = = （A A ）l l （B B ）2 l l （C C ）2l l （D D ）22 l l 3. 设总体 X ，1 2, , ,nX X X ××× 是取自总体 X 的一个样本，X 为样本均值，则不是总体期望 m m 的无偏估计量的是(A) X(B) 1 2 3X X X + -(C) 1 2 30.2 0.3 0.5 X X X + + (D) 1niiX= =å å 4. 对于事务 , A B ，下列命题正确的是 A 若 , A B 互不相容，则 A B 与 与 也 互 不 相 容. . B 若 , A B 相容，则 A B 与 与 也 相 容. .若 , A B 互不相容，则 A B 与 与 也 相 互 独 立. .若 A B 与 与 相 互 独 立, ,那么 A B 与 与 相 互 独 立. .5. 设 , A B ， 为对立事务，( ( ) ) 0 1 P B < < ， ，则下列概率值为 1 1 的是】(A) ( ( ) ) | P A B ;(B) ( ( ) ) | P B A ;(C) ( ( ) ) | P A B ; (D) ( ( ) ) P AB 6. 设 , A B 为随机事务， ( ( ) ) ( ( ) ) 0.7 P A P B + = ， ( ( ) ) 0.3 P AB = = ，则 ( ( ) ) ( ( ) ) P AB P AB + = 0.17. 在一副扑克牌（2 52 取 张）中任取 4 4 则 张，则 4 4 张牌花色不全相同的概率为1 4 44 13 521 / 0.99 C C C - » 8. 设1 2 3 4, , , X X X X 是来自正态总体 ( ( ) ) 0,4 X N N 的样本，则当 a = = 1/20 ， 时，( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )2 221 2 3 42 2 2 Y a X X a X X c c = + + - 。9. 随机变量 X X 的分布函数0, 0;1/ 2 0 1;( )2/ 3 1 3;1, 3,xxF xxx< < ì ìï ï£ <ï ï= = í í£ <ï ïï ï³ ³î î， ，则 1 P X = = _ _1/6_ _.1 1 0. 变量 ( ( ) ) t t n ，其概率密度为 ( ( ) ) ; t x n ，若 | | P t g a > = ，则有 ( ; ) t x n dxg g - -¥= =ò ò_ _/2 a a 。11. 已知男性中有 5% 是色盲，女性中有 0.25% 是色盲 . 今从男女人数相等的人群中随机地选择一人，问 (1) 此人恰好是色盲患者的概率？ (2) 假如此人恰是色盲，那么此人是男性的概率是多少？解：设 A A ：选择出的人是男人；B B ：选择出的人是色盲，则( ) 0.5 P A = = ， ( ) 0.5 P A = = ， ( | ) 0.05 P B A = = ， ( | ) 0.0025 P B A = = 此人恰好是色盲患者的概率为( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )0.05 0.5 0.0025 0.50.02625P B P B A P A P B A P A = += ´ + ´= =假如此人恰是色盲，那么此人是男性的概率是( | ) ( ) 0.05 0.5( | ) 20/ 21( ) 0.02625P B A P AP A BP B´ ´= = = 12 . . 设二维随机变量 ( , ) X Y 的密度函数为2 21( , )0c x yf x yì ì + £= = í íî î其 它(1). 求 c ；(2). 求随机变量 X , , Y 的边缘密度；(3). , X Y 的相关系数, X Yr r ；(4). 判定 , X Y 是否相关是否独立. .解：(1) 由 ( , ) 1 f x y dxdy+¥ +¥-¥ -¥= =ò ò得1cp p= = (2)222112 11/ | | 1 | | 1( ) ( , )00xxXxdy x xf x f x y dyp pp p- -¥ ¥- -¥ì ìì ì - -ï ï £ £ £ £= = =í íï ïî îî îò òò ò其 它其 它由对称性222112 11/ | | 1| | 1( ) ( , )00yyYydy yyf y f x y dxp pp p- -¥ ¥- -¥ì ìì ì - -£ £ ï ï£ £= = =í íï ïî îî îò òò ò其 它其 它(3)2 21 11 12 1 2 1( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0,X Yy xE X xf x dx x dx E Y yf y dx y dxp pµ µ-µ - -µ - - - -= = = = = =ò ò ò ò1( ) ( , ) 0DE XY xyf x y dydx xy dydxp pµ µ-µ -µ= = =ò ò òò所以 cov( , ) ( ) ( ) ( ) 0, X Y E XY E X E Y = - = 从而 0 r r = =X ,Y(4) X 与 Y 也不独立，因为1( , ) ( ) ( )X Yf x y f x f yp p= ¹ （ （2 分）13. 某厂生产一批零件，已知长度 X （单位：cm ）听从正态分布2( , ) N m s 且标准差为 1cm ，现从中随机地抽取 6 16 个零件，测得到长度的平均值为 40(cm) ，求长度均值的置信水平为 5 0.95 的置信区间附注：标准正态分布函数值 95 . 0 ) 645 . 1 ( , 975 . 0 ) 96 . 1 ( = = F F = = F F 解因为2 ( , ) X N m s , 且 已知，故用 U 估计法又因) 1 , 0 ( NnXUs sm m - -= = 所以 m 置信度为 a a - - 1 的置信区间为2 2( , ) X U X Un na as s- × + × 将 96 . 12=am , 16 = n ， 40 = X 1 = = s s 代入上置信区间得所求 m 的置信度为 5 0.95 的置信区间是（ 39.51 ， 40.49 ）. 14. 设 总 体 X 的 概 率 密 度 为1 ,0 1( )0,x xf xq qq q- -ì ì< < ï ï= = í íï ï î î 其 他， 0 q q > > 未 知 ，1 2, ,nX X X 为来自总体的一个样本 . 求参数 q q 的矩估计量和极大似然估计量. .解：由 ( )1E X Xq qq q= =+ +，2s得 q q 的矩估计量2ˆ1XXq qæ ö= = ç ÷- -è ø似然函数为11( )niiL xq qq q- -= = = Õ，取对数得 ( ( ) )( ( ) )1ln ( ) ln 1 ln2niinL x q q q= = + -å å由导数( ( ) ) ( ( ) ) ln ( )0d Ldq qq q= = ，得极大似然估计量221ˆ/ lnniin X q q= =æ ö= =ç ÷è øå å15. 某超市为增加销售，对营销方式、管理人员等进行了一系列调整，调整后随机抽查了 9 9 天的日销售额（单位：万元），经计算知254.5, 11.13 x s = = 。据统计调整前的日平均销售额为 2 51.2 万元，假定日销售额听从正态分布。试问调整措施的效果是否显著？附表：0.05 0.025(8) 1.8595, (8) 2.3060 t t = = 解：假设0 0 1 0: 51.2, : 51.2 H H m m m m £ = > = 检验所用的统计量02( 1)XT t nSnm m - -= - 拒绝域为0.05( 1) (8) T t n ta a³ - = 由于0.052.968 1.8595 (8) t t = ³ = ，故拒绝原假设，认为调整措施效果明显。16. 设 A B C , , 随意三个事务 ， 试证明 ：( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) P AB P BC P B P AC + - £证明：因为 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) P AB P BC P AB BC P ABC + = + , 又由于 AB BC B Ì Ì, ABC AC Ì Ì ，所以 ( ( ) ) ( ( ) ) P AB BC P B £ £ ， ( ( ) ) ( ( ) ) P ABC P AC £ £ , 所以 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) P AB P BC P B P AC + £ + ,即 即 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) P AB P BC P B P AC + - £
