实变函数课件优秀PPT.ppt

一一 .引言引言其中积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1 xi1.Riemann积分回顾（分割定义域）达布上和与下和 Riemann积分xi-1 xi达布下和的极限下积分（内填）xi-1 xi达布上和的极限上积分（外包）2.2.新的积分（新的积分（LebesgueLebesgue积分积分,从从分割值域分割值域入手入手）yiyi-1用 mEi 表示 Ei 的“长度”问题：如何把长度,面积,体积概念推广?二Lebesgue外测度为E的Lebesgue外测度。1.定义：，称非负广义实数是非空的，因而定义有意义.2.Lebesgue2.Lebesgue外测度的性质外测度的性质（2）单调性：（3）次可数可加性(1)证明证明:(1):(1)明显成立明显成立.(2):因而(3)：对随意的0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间I nm列近似替换An）注：一般证明都是从大的一边起先，因为外测度的定义用的是下确界由的任意性，即得注：外测度的次可数可加性的等号即使注：外测度的次可数可加性的等号即使A A，B B不交也不交也可能不成立（反例要用不行测集），但有可能不成立（反例要用不行测集），但有:当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不行能同时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点。若d(A,B)0,则例:证明参见教材p-56思索：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广对任意区间 ，有三 零集1.1.零集的定义零集的定义外测度等于零的集合称为零集.证明：例例 设设E E是是0,10,1中的全体有理数，试证明中的全体有理数，试证明E E的外测度为的外测度为0 0 证明：由于E为可数集，再由的任意性知()2.2.平面上的平面上的x x轴的外测度为轴的外测度为0 0思考：思考：.设设E E是平面上的有理点全体，是平面上的有理点全体，则则E E的外测度为的外测度为0 0例：例：CantorCantor集的外测度为集的外测度为0 0。证明：令第n次等分后留下的闭区间为2.零集的性质定理:(1)零集的随意子集还是零集；(2)至多可数个零集的并还是零集.证明:(1)由外测度的单调性即得；(2)由外测度的次可数可加性即得.