南师附中2021-2022学年度第一学期期末_试题+解析.pdf

南京师大附中南京师大附中 2021-2022 学年度第学年度第 1 学期学期 高一年级高一年级期末期末考试数学考试数学试卷试卷 一、一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分，共，共 40 分分，在在每小题给出的四个选项中，只有一每小题给出的四个选项中，只有一项项是是符合符合题题目要求的，目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 设a为实数，已知集合2|230,Ax xxx=Z，0,Ba=，满足ABA=，则a的取值集合为（ ） A. ()1,3 B. ()()1,00,3 C. 1 D. 1,2 2. 设为实数，函数( )3sin3f xx=+的最小正周期为2，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 4 D. 4 3. 设, x y为正实数，已知lglglg34xyxy+=，则xyyx+的值为（ ） A. 7 B. 17 C. 3 D. 13 4. 设m为实数，已知函数( )25f xxmx=+的两个零点在区间()0,+内，则m的取值范围是（ ） A. (),0 B. (), 2 5 C. () (), 2 52 5, + D. ()2 5,+ 5. ()()cos585tan585sin570= +（ ） A. 23 B. 23 C. 2 D. 2 6. 定义在R上的偶函数( )f x在区间)0,+上单调递增，若( )()1lnffx，则x的取值范围是（ ） A. ()e,+ B. ()1,+ C. ()(), ee, + D. ()10,e,e+ 7. 将函数( )f x的图象向左平移3个单位，再将所的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的12倍，得到函数( )g x的图象已知( )sin 23g xx=+，则( )f x =（ ） A. ( )sin4f xx= B. ( )sinf xx= C. ( )sin3f xx=+ D. ( )sin 43f xx= 8. 已知定义在R上的非常数函数( )f x满足：对于每一个实数x，都有( )( )2122fxf xfx+=+，则( )f x的周期为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 32 二二、多项选择题： （多项选择题： （本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分，共，共 20 分分在在每小题给出的每小题给出的四个四个选项中，有选项中，有多项多项符合题目符合题目要求，全部选对得要求，全部选对得 5 分分，部分选对部分选对得得 3 分分，不选不选或或有有选错的选错的的得的得 0 分）分） 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 若0ab，则baab B. 若0ab，0mn，则bmbnaman+ C. 若0 x ，则21xx +有最小值12 D. 若0,2x，则sin xx 10. 关于函数( )3sin 26f xx=+，下列说法正确的有（ ） A. ( )3cos 23f xx= B. 若( )()120f xf x=，则12xx的最小值为 C. ( )f x的图象关于,012对称 D. ( )f x的单调减区间为()2,63kkk+Z 11. 设r是p的必要条件，r是q的充分条件，s是r的充分必要条件，s是p的充分条件，则下列说法正确的有（ ） A. r是q的必要条件 B. s是q的充分条件 C. s是p的充分必要条件 D. p是q的既不充分也不必要条件 12. 设函数( )()sincosf xxx x=+R，则（ ） A. ( )f x为偶函数 B. ( )f x为周期函数，其中一个周期为2 C. ( )21fx D. ( )f x的值域为1, 2 三三、填空、填空题题：本大题：本大题共共 4 小题小题，每，每小小题题 5 分分，共共 20 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 命题“x R，2xa”的否定为 14. 已知tan3=，0，则cossin的值为 15. 设, p qN，满足()()0,1qppqaaaaa=，则qp的值为 16. 若一个三角形的三边长分别为, ,a b c，记()12pabc=+，则此三角形面积()()()Sp papbpc=，这是著名的海伦公式已知ABC的周长为9，2AB =，则ABC的面积的最大值为 三、解答三、解答题题：本大题：本大题共共 6 小题小题，共，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本小题满分 10 分） 设全集U = R，集合12644xAx=，()|lg5Bx yx= 求UAB； 设a为实数，集合|Cx xa=若“xB”是“xC”的充分条件，求a的取值范围 18. （本小题满分 12 分） 已知( )()()sincos23costan 2f =+ 若( )12f=，且()0,，求的值； 若133f+=，求22sinsin36+的值 19. （本小题满分 12 分） 设定义在R上的函数( )f x、奇函数( )g x和偶函数( )h x，满足( )( )( )f xg xh x=+， 若函数( )()0,1xf xaaa= 求( )g x的解析式； 求( )h x在R上的最小值 20. （本小题满分 12 分） 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著农政全书中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用如图，筒车的半径为 4m，轴心O距离水面 2m，筒车上均匀分布了 12 个盛水筒已知该筒车按逆时针匀速旋转，2 分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时（图中点0P）开始计算时间 将点P距离水面的距离z（单位：m在水面下，z为负数）表示为时间t（单位：分钟）的函数； 已知盛水筒Q与盛水筒P相邻，Q位于P的逆时针方向一侧若盛水筒P和Q在水面上方，且距离水面的高度相等，求时间t 21. （本小题满分 12 分） 已知定义在R上的函数( )412xxf xx=+ 求证：( )f x是奇函数； 求证：( )f x在R上单调递增； 求不等式()()22340fxfx+的解集 22. （本小题满分 12 分） 设函数( )f x的定义域为R，对任意实数, ，有( )( )222ffff+=，且132f=，02f= 求证：()( )()fxf xfx=； 若02x时，( )0f x ，求证：( )f x在0,上单调递减 P0PO水面 1. 【答案】D； 【解析】0,1,2A=，由ABA=可得BA，由0,Ba=可得1a =或2，故选 D 2. 【答案】B； 【解析】由题意可得22=，则4= ，故选 B 3. 【答案】A； 【解析】由lglglg34xyxy+=，可得4lglg3xyxy+=， 则43xyxy+=，则23xyxy+=，则29xxyyxy+=， 则7xyyx+=，故选 A 4. 【答案】B； 【解析】由题意0 ，120 xxm+= ，1250 x x =，解得2 5m ，故选 B 5. 【答案】C； 【解析】原式()()2cos45221tan45sin 3012= + +，故选 C 6. 【答案】D； 【解析】由题意，ln1x ，则ex 或10,ex，故选 D 7. 【答案】B； 【解析】由题意( )g x图象上各点横坐标变为 2 倍，再向右平移3个单位可得到( )f x， 横坐标变为 2 倍可得sin3yx=+，平移可得( )sinsin33f xxx=+=，故选 B 8. 【答案】C； 【解析】由( )( )2122fxf xfx+=+可得( )( )22122fxf xfx+=， 即( )221112224fxf x+=对任意xR成立， 则()221112224f xfx+=， 即()( )221122f xf x+=， 由( )( )2122fxf xfx+=+可得1022fx+对任意xR成立， 即( )12fx 对任意xR成立， 则()( )1122f xf x+=，即()( )f xf x+=对任意xR成立， 则为( )f x的一个周期； 而取( )1sin2xf x+=时，满足( )( )221sin2111111cossin22222442xfxxxf xfx+=+=+=+， 此时( )f x不存在小于的周期； 故选 C 9. 【答案】ACD； 【解析】A 选项，0ab时22babaab，0ab时22ba成立，A 正确； B 选项，0ab，0mn时，()()()()bmbnbmanambnaman+ ()()0ambnanbmabmn+，与,ab mn矛盾，B 错误； C 选项，0 x 时，0 x，则22122xxx+ =，则2112xx +，1x = 时取等，C 正确； D 选项，单位圆中由正弦三角函数线及弧长可知正确；故选 ACD 10. 【答案】ACD； A 选项，由诱导公式，sincos2=，( )3cos 23cos 2623f xxx=+=，A 正确； B 选项，( )0f x =时26xk+=，则212kx =，故12min2xx=，B 错误； C 选项，3sin0012f=，由正弦型函数性质可知，C 正确； D 选项，( )f x减区间需满足322 ,2 622xkk+， 解得减区间为()2,63kkk+Z，D 正确；故选 ACD 11. 【答案】BC； 【解析】由题意，pr，rq，rs，sp，则prsq；故选 BC 12. 【答案】ABD； 【解析】A 选项，sinyx=与cosyx=均为偶函数，则( )f x为偶函数，A 正确； B 选项，( )sincoscossin222fxxxxxf x+=+=+ =，B 正确； C 选项，( )201f=，C 错误； D 选项，( )212 sin cosfxxx= +，由()()22sincos11sincossin cos22xxxxxx+=， 可知11sin cos22xx，则1sin cos0,2xx，即( )21,2fx ， 由题意可知( )0f x ，则( )1, 2f x，D 正确；故选 ABD 13. 【答案】2,xxa R； 【解析】由命题否定规则，命题的否定为2,xxa R 14. 【答案】105； 【解析】由tan3=可知sin3cos=，由()0,可知sin0，则cos0， 代入22sincos1+=解得3 10sin10=，10cos10=，则10cossin5= 15. 【答案】1； 【解析】由()qppqaaa=可得pqp qaa+=，由0,1aa，可得pqpq=+，则()()111pq=， 由, p qN可知1,1pq N，则111pq = =，则2pq=，则1qp= 16. 【答案】3 52； 【解析】由题意92p =，2c =，() ()22papbpabc+=， 由02bcapa+=，02acbpb+=，则()()22papb，ab=时取等， 则()()()()9 93 5122 22Sp papbpcp pc= = 17. 【答案】 2,5； (,5 【解析】 由题意)2,6A= ，()5,B =+，则(,5UB = ，2,5UAB = ； 由“xB”是“xC”的充分条件，可知BC，则5a ，实数a的取值范围是(,5 18. 【答案】 3； 119 【解析】 ( )sinsincossintanf=，由题意()1cos,0,2=，则3=； 由133f+=，可知1cos33+=，令3x=+，则1cos3x =， ()2222211sinsinsinsinsincos1coscos3629xxxxxx+=+=+= += 19. 【答案】 ( )2xxaag x=； 1 【解析】 由( )( )( )f xg xh x=+，可知()()()fxgxhx=+， 由( )g x为奇函数，( )h x为偶函数，可知()( )gxg x=，()( )hxh x=， 则()( )( )fxg xh x=+， 则( )( )()22xxf xfxaag x=，( )( )()22xxf xfxaah x+=； 0,1aa时，0 xa ，则1122xxxxxxaaaaaa+=+=，1xa =即0 x =时取等， 则( )2xxaah x+=在R上的最小值为 1 20. 【答案】 4sin 26zt=+，0t ； 72,12tkk=+N 【解析】 以O为原点，平行于水面向右作为x轴正方向建立平面直角坐标系， 设(),P x y，则P距离水面的距离2zy=+，sinyr=，为Ox为始边，OP为终边的角， 由O到水面距离为2，半径4r =，可知06POx=， 由该筒车按逆时针匀速旋转，2 分钟转动一圈，可知022POPtt= =， 则6t=，则sin4sin 6yrt=，则4sin 26zt=+，0t ； 由筒车上均匀分布了 12 个盛水筒，可知6POQ=，设(),QQQ xy，则sin6Qyr=+， 则4sin 4sin66Qytt=+=，由P点纵坐标4sin 6yt=，P和Q在水面上方，且距离水面的高度相等可得sinsin 6tt=， 则2 6ttk=+或2 6ttk=+， 解得7,12tkk=+Z， 由盛水筒P和Q在水面上方，可得4sin2t ，即1sin2t ， 则72 2 66ktk+，k Z， 则72,12tkk=+Z，由0t 可知72,12tkk=+N 21. 【答案】 证明见解析； 证明见解析； ()(),12,+； 【解析】 函数定义域为R，关于 0 对称 ()( )411422xxxxfxxxf x= += += 所以函数( )f x是奇函数； 任取12,x x R，12xx ()()()()121212121222222xxxxxxf xf xxx+=+ 因为12xx 所以12120,220 xxxx，( )()120f xf x 所以( )f x在R上单调递增； 不等式可化为()()()223443fxfxfx = 因为( )f x在R上单调递增 所以不等式可化为2243xx 解得()(),12,x + 22. 【答案】 证明见解析； 证明见解析 【解析】 令3=可得( )22033fff=， 由1032f=，解得( )01f=， 令, xx= 可得( )()( ) ( )20f xfxff x+=， 化简得()( )fxf x=， 令,xx=可得( )()22022xf xfxff+=， 所以( )()f xfx=， 综上，()( )()fxf xfx=； 因为( )()f xfx=，所以,2x时( )()0f xfx=， 又因为( )()f xfx=，所以,02x 时( )0f x ，,2x 时( )0f x ， 任取12,0,x x ，12xx， 令12,xx=可得()()121212222xxxxf xfxff+=， 因为()12120,2 ,0 xxxx+ ， 所以120,22xx+，1202xxf+，12 ,22 2xx+ ，1202xxf+ 所以上式可化为()()1212122022xxxxf xf xff+=， 所以函数( )f x在0,上单调递减