南京市2021-2022学年度第一学期期末统考_试题+解析.pdf

南京南京市市 2021-2022 学年度第一学期学年度第一学期期末期末学情调研试卷学情调研试卷 高一数学高一数学 2022.01 一、一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分，共，共 40 分分，在在每小题给出的四个选项中，只有一每小题给出的四个选项中，只有一项项是是符合符合题题目要求的，目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知|Mx xAxB=且，若集合1,2,3,4,5A=，2,4,6,8B =，则M =（ ） A. 2,4 B. 6,8 C. 1,3,5 D. 1,3,6,8 2. 命题“30,0 xxx +”的否定是（ ） A. 30,0 xxx + B. 30,0 xxx + C. 30,0 xxx + D. 30,0 xxx + 3. 已知01x，若2logax=，2xb =，2cx=，则, ,a b c的大小关系为（ ） A. abc B. acb C. cab D. cba 4. 我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题： “今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示用锯去锯这木材，若锯口深21CD =，锯道2AB =，则图中ACB的长度为（ ） A. 2 B. 22 C. D. 2 5. 要得到函数3sin 25yx=+的图象，只需（ ） A. 将函数3sin5yx=+图象上所有点的横坐标变为原来 2 倍（纵坐标不变） B. 将函数3sin10yx=+图象上所有点的横坐标变为原来12倍（纵坐标不变） C. 将函数3sin2yx=图象上所有点向左平移5个单位 D. 将函数3sin2yx=图象上所有点向左平移10个单位 6. 已知, b cR，关于x的不等式20 xbxc+的解集为()2,1，则关于x的不等式210cxbx+ 的解集为（ ） A. 1,12 B. 11,2 C. ()1,1,2 + D. ()1, 1,2 + ODCBA 7. 函数( )()2axbf xxc+=+的图象如图所示，则（ ） A. 0,0,0abc B. 0,0,0abc C. 0,0,0abc D. 0,0,0abc 8. 设函数( )2cos23xf xx x=+，()3,3x ，则不等式()( )()121fxffx+的解集是（ ） A. ()2, 1 B. ()2,1 C. ()1,2 D. ()1,2 二二、多项选择题： （多项选择题： （本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分，共，共 20 分分在在每小题给出的每小题给出的四个四个选项中，有选项中，有多项多项符合题目符合题目要求，全部选对得要求，全部选对得 5 分分，部分选对部分选对得得 3 分分，不选不选或或有有选错的选错的的得的得 0 分）分） 9. 已知, x yR，且0 xy，则（ ） A. sinsinxy B. xy C. 21x y D. 11xyxy+ 10. 已知函数( ),yf xx=R，对于任意, x yR，()( )( )f xyf xf y+=+，则（ ） A. ( )f x的图象经过坐标原点 B. ()( )33fxf x= C. ( )f x单调递增 D. ()( )0fxf x+= 11. 已知函数( )2sin 23f xx=，则（ ） A. 函数( )f x的图象关于点,06对称 B. 函数( )f x的图象关于直线23x =对称 C. 若0,2x，则函数( )f x的值域为3, 3 D. 函数( )f x的单调递减区间为()511, 1212kkk+Z Oyx 12. 已知( )f x是定义域为R的奇函数，满足()( )2f xf x+=，且当(0,1x时，( )2f xx=，则（ ） A. ()32f = B. 函数( )f x是周期函数 C. 不等式( )0f x 的解集是|442,xkxkk+Z D. 当关于x的方程( )f xmx=恰有三个不同的解时，2m = 三三、填空、填空题题：本大题：本大题共共 4 小题小题，每，每小小题题 5 分分，共共 20 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 已知角的终边经过点(),1P x()0 x ，且tanx=，则sin的值为 14. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1C，空气温度为0C，则t分钟后物体的温度（单位：C）满足：()010ekt=+若当空气温度为30 C时，某物体的温度从90 C下降到60 C用时 14 分钟则再经过 28 分钟后，该物体的温度为 C 15. 设函数( )121, 221log,42xaxf xxx + =，若()212ff=，则a = 若函数( )f x有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是 16. 已知正实数, x y满足22342xxyy+=，则95xy+的最小值为 三、解答三、解答题题：本大题：本大题共共 6 小题小题，共，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本小题满分 10 分） 已知集合2|12200,Mx xxx=+R，|1,Nx xm x=R 当2m =时，求MN； 在充分条件，必要条件 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中若问题中的m存在，求出m的取值范围；若问题中的m不存在，请说明理由 问题：是否存在正实数m，使得“xM”是“xN”的 ？ 18. （本小题满分 12 分） 已知函数( )()()2sin cos sin2xxf xx+=+ 求73f的值； 若( )2f=，求22sinsincos1cos+的值 19. （本小题满分 12 分） 如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上记梯形ABCD的周长为y 设CAB=，将y表示成的函数； 求梯形ABCD周长的最大值 20. （本小题满分 12 分） 已知1abc，且1logloglog2ababcc+=+ 若3ca=，求logab的值； 求loglogabbc+的最小值 DCBA 21. （本小题满分 12 分） 已知函数( )2121xxf x+=，( )121xg x+= 利用函数单调性的定义，证明：函数( )f x在区间()0,+上是减函数； 若存在实数()1212,0 x xxx，使得函数( )f x在区间12,x x上的值域为()()21,mmg xg x，求实数m的取值范围 22. （本小题满分 12 分） 已知函数( )323f xxxa x=+，xR 讨论函数( )f x的奇偶性； 设集合()( )|1,Mx f xf xx=+R，| 11Nxx= ，若N ，求实数a的取值范围 1. 【答案】C； 【解析】M表示在A中且不在B中元素组成的集合，即1,3,5M =，故选 C 2. 【答案】C； 【解析】由含量词命题否定的规则，可知选 C 3. 【答案】B； 【解析】01x时，22log012xxx ，故选 B 4. 【答案】B； 【解析】由题意1ADDB=，设半径为r，则21ODr=+，OAr=， 由勾股定理()222121rr=+，解得2r =， 此时2AOB=，则ACB的长度为222r=；故选 B 5. 【答案】D； 【解析】A 选项函数变为13sin25yx=+，B 选项函数变为3sin 210yx=+， C 选项函数变为23sin 23sin 255yxx=+=+， D 选项函数变为3sin 23sin 2105yxx=+=+，故选 D 6. 【答案】A； 【解析】由题意2 1,2 1bc = += ，即1,2bc=， 则不等式210cxbx+ 可化为2210 xx+ ，即()()2110 xx+，解集为1,12，故选 A 7. 【答案】D； 【解析】由定义域()(),cc +可知0c ，由( )20bfc=，可知0b ， 由存在()0,xc，( )0f x =可知0a ，故选 D 8. 【答案】A； 【解析】( )f x为奇函数，且()0,3x时( )f x递增，则( )f x为()3,3上递增的奇函数， 令( )()()( )112g xfxfxf=+，( )g x为()2,2上的增函数， ()( )( )( )10220gfff=+=，则( )0g x 的解集为()2, 1 ； 故选 A 9. 【答案】BCD； 【解析】A 错误，反例：sin sin20=；B 选项，根据yx=单调性可知正确； C 选项，0 xy，则21x y正确；D 选项，0 xy则xxyyxy+，则11xyxy+正确； 故选 BCD 10. 【答案】ABD； 【解析】A 选项，令0 xy=，可得( )( )020ff=即( )00f=，A 正确； B 选项，令yx=可得()( )22fxf x=，令2yx=可得()( )()( )323fxf xfxf x=+=，B 正确； C 选项，设( )0f x =，满足题意，但( )f x不是增函数，C 错误； D 选项，令yx= ，则( )( )()00ff xfx=+，D 正确； 故选 ABD 11. 【答案】AD； 【解析】A 选项，06f=，根据正弦型函数性质可知 A 正确； B 选项，203f=，根据正弦型函数性质可知 B 错误； C 选项，0,2x时 22,333x ，则( )3,2f x ，C 错误； D 选项，( )f x递减只需322 ,2 ,322xkkk+Z，化简可知 D 正确； 故选 AD 12. 【答案】BC； 【解析】由()( )2f xf x+=，可知()()( )42f xf xf x+=+=，即 4 为( )f x的周期，B 正确； 故()( )312 12ff=，A 错误； 根据奇偶性及()( )2f xf x+=画出函数草图，C 正确； 结合草图可知，m比1,22m时，( )f xmx=也有三个解，D 错误； 故选 BC 13. 【答案】22； 【解析】由终边过(),1P x可得1tanx=，则1xx=，由0 x 可得1x =，则2sin2= 14. 【答案】37.5； 【解析】由题意()1460309030 ek=+，则141e2k=， 设再经过28分钟后温度()()()34214309030 e309030307.537.5tte=+=+=+= 15. 【答案】12；3, 12； 【解析】若()212ff=，可得12211log22a+=，则12a = ； 12,2x 时，( )1,22f xaa+，1,42x时，( )2,1f x ； 由( )f x有最小值，且无最大值，可得21a +，且122a ，则a的范围是3, 12 16. 【答案】4 3； 【解析】由22342xxyy+=可得()()32xyxy+=， 由, x y为正实数可得30,0 xyxy+， 则()()()()952 332 6 34 3xyxyxyxyxy+=+=，()()2 33xyxy+=+取等 4321Oyx 17. 【答案】 ()2,3； )9,+； 不存在 ()2,10M =，()1,3N = ，则()2,3MN =； 充分条件，由题意xM时xN，则()2,10 x时1xm恒成立， ()2,10 x时()11,9x ，则9m ，实数m的取值范围是)9,+； 必要条件，由题意NM， 由0m 可得()1,1Nmm=+，则12,110mm+，无解，不存在m 18. 【答案】 3； 1 【解析】 ( )()2sincostancosxxf xxx=，则77tantan3333f=； 若( )2f=，则tan2=， 则2222222sinsincossinsincostantan4211cossin2costan242+=+ 19. 【答案】 24sin4sin4,0,4y= +； 5 【解析】 由题意2AB =，90ACB=，由CAB=可得2sinBC=，则2sinAD=， 过C作CHAB交AB于H，可得2cossin2sinBHBCCBABC=， 则2224sinCDABBH=，则2224sin22sin4sin4sin4y=+=+， 由0CD 可得0,4，则24sin4sin4,0,4y= +； 0,4时2sin0,2，令2sin0,2t=，则221444452yttt= += +， 则12t =时，max5y=，则梯形ABCD周长的最大值为5 20. 【答案】 2m =或32； 22+ 【解析】 令log,logabbmcn=，则logloglogaabcbcmn=， 由1abc可得1,1mn， 由1logloglog2ababcc+=+可得12mnmn+=+， 3ca=时3log3amna=，则3nm=，则3132mm+=+，即27302mm+=， 则2m =或32，此时,m n均大于 1，满足题意； 由可知12mnmn+=+，则()()1112mn=， 由1,1mn可得10,10mn ， 则()()loglog112211222abbcmnmnmn+=+= + +=+， 当且仅当2112mn = =时取等，则loglogabbc+的最小值为22+ 21. 【答案】 证明详见解析； ()9,+ 【解析】 对任意120 xx，( )()()()()21121212122 222121212121 21xxxxxxxxf xf x+=， 120 xx时12122xx，则21220 xx，1210 x ，2210 x ， 则( )()120f xf x，即( )()12f xf x， 则函数( )f x在区间()0,+上是减函数； 由( )f x在()0,+上为减函数，120 xx时( )f x在12,x x上递减， 则值域为()()21,f xf x，由题意可知()()()()2121,mmf xf xg xg x=， 即( )( )mf xg x=存在两不等正根，即1212121xxxm+=存在两不等正根， 令21xt =，, t x一一对应，则1121tmtt+=在1t 有两不等实根， 即()22110tm tm+ =在1t 有两不等实根， 令( )()2211g ttm tm=+，则( )()()2101141810gmmm =，解得9m ， 则实数m的取值范围是()9,+ 22. 【答案】 0a =时为奇函数；0a 时为非奇非偶函数； 1,1 【解析】 函数定义域为R，关于 0 对称 0a =时，()( )32fxxxf x= = ，为奇函数； 0a 时，()( )323fxxxa xf x= +，且()( )fxf x ，为非奇非偶函数； 依题可得，1,1x 时，()( )1f xf x+恒成立 即()()331213123xxa xxxa x+ 即()2333333xa xaa x+ + 0,1x时，21xxa+ 恒成立 因为22131124xxx+ =+ 所以1,1aa ； )1,0 x 时，()21210 xa xa+ +恒成立 记( )()2121h xxa xa=+ + 1212a+ ，即12a 时 ()10h ，解得112a； 1202a+，即12a 时 ( )00h，解得112a ； 12102a+ ，即1122a 时 1202ah+，恒成立； 综上，实数a的取值范围是1,1