2023年两角差的余弦公式教案.doc-两角和的余弦公式.docx

2023年两角差的余弦公式教案.doc:两角和的余弦公式 第三章 三角恒等变换 本章教材分析 本章学问框图 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式, 以及运用这些公式进行简洁的恒等变换. 变换是数学的重要工具, 也是数学学习的主要对象之一. 在本册第一章, 学生接触了同角三角函数公式. 在本章, 学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式, 由此动身导出其他的三角变换公式, 并运用这些公式进行简洁的三角恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上. 通过本章学习, 使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中, 发展推理实力和运算实力, 并体会三角恒等变换的工具性作用, 学会它们在数学中的一些应用. 本章内容支配按两条线进行, 一条明线是建立公式, 学习变换; 一条暗线就是发展推理实力和运算实力, 并且发展实力的要求不仅仅体现在学习变换过程之中, 也体现在建立公式的过程之中. 因此在本章教学中, 老师要特殊留意恰时恰点地提出问题, 引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题, 使学生能依据三角函数式的特点, 渐渐明确三角函数恒等变换不仅包括式子的结构形式变换, 还包括式子中角的变换, 以及不同三角函数之间的变换, 强化运用数学思想方法指导 设计变换思路的意识. 突出数学思想方法的教学, 在类比、推广、特别化等一般逻辑思索方法上进行引导, 本章不仅关注使学生得到和(差) 角公式, 而且还特殊关注公式推导过程中体现的数学思想方法. 例如, 在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想以及向量方法的应用; 从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式, 二倍角的正弦、余弦、正切公式, 在这个过程中, 始终引导学生体会化归思想; 在应用公式进行恒等变换的过程中, 渗透了视察、类比、推广、特别化、化归等思想方法, 特殊是充分发挥了“视察”“思索”“探究”等栏目的作用, 对学生解决问题的一般思路进行引导, 这对学生养成科学的数学思索习惯能起到主动的促进作用. 另外, 还在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结. 例如, 在旁白中有“倍是描述两个数量之间关系的,2是的二倍,4是2的二倍, 这里蕴含着换元的思想”等, 都是为了加强思想方法而设置的. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是历届高考考查的“重点”和“热点”,在高考中占有重要的地位, 主要考查对这十一个公式的正用、逆用、变形用, 考查对公式的娴熟驾驭程度和敏捷运用实力, 其考查难度属低档, 这就要求我们不要过分引导学生去挖掘一些特别的改变技巧, 应把主要精力放在学生驾驭数学规律和通性通法上. 老师在教学中, 要留意限制好难度. 因为近几年的高考中对三角部分的考查难度降低, 但教材中部分习题却有肯定难度, 因此老师要把握好难度. 本章教学时间约需8课时, 详细安排如下(仅供参考): 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 整体设计 一、教学分析 本节是以一个实际问题做引子, 目的在于从中提出问题, 引入本章的探讨课题. 在用方程的思想分析题意, 用解直角三角形的学问布列方程的过程中, 提出了两个问题:实际问题中存在探讨像tan(45°+)这样的包含两个角的三角函数的须要; 实际问题中存在探讨像sin与tan(45°+)这样的包含两角和的三角函数与、45°单角的三角函数的关系的须要. 以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系, 增加学生的应用意识, 激发学生学习的主动性, 同时也让学生体会数学学问产生、发展的过程. 本节首先引导学生对cos(-)的结果进行探究, 让学生充分发挥想象力, 进行猜想, 给出全部可能的结果, 然后再去验证其真假. 这也展示了数学学问的发生、发展的详细过程, 最终提出了两种推导证明“两 角差的余弦公式”的方案. 方案一, 利用单位圆上的三角函数线进行探究、推导, 让学生动手画图, 构造出-角, 利用学过的三角函数学问探究存在肯定的难度, 老师要作恰当的引导. 方案二, 利用向量学问探究两角差的余弦公式时, 要留意推导的层次性:在回顾求角的余弦有哪些方法时, 联系向量学问, 体会向量方法的作用; 结合有关图形, 完成运用向量方法推导公式的必要打算; 探究过程不应追求一步到位, 应先不去理睬其中的细微环节, 抓住主要问题及其线索进行探究, 然后再反思, 予以完善; 补充完善的过程, 既要运用分类探讨的思想, 又要用到诱导公式. 本节是数学公式的教学, 老师要遵循公式教学的规律, 应留意以下几方面:要使学生了解公式的由来; 使学生相识公式的结构特征, 加以记忆; 使学生驾驭公式的推导和证明; 通过例子使学生熟识公式的应用, 敏捷运用公式进行解答有关问题. 二、教学目标 1学问与技能： 通过让学生探究、猜想、发觉并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系, 并通过强化题目的训练, 加深对两角差的余弦公式的理解, 培育学生的运算实力及逻辑推理实力, 提高学生的数学素养. 2过程与方法： 通过两角差的余弦公式的运用, 会进行简洁的求值、化简、证明, 体会化归思想在数学当中的运用, 使学生进一步驾驭联系的观点, 自觉 地利用联系改变的观点来分析问题, 提高学生分析问题、解决问题的实力. 3情感看法与价值观： 通过本节的学习, 使学生体会探究的乐趣, 相识到世间万物的联系与转化, 养成用辩证与联系的观点看问题. 创设问题情境, 激发学生分析、探求的学习看法, 强化学生的参加意识, 从而培育学生分析问题、解决问题的实力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法. 三、重点难点 教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式. 教学难点:探究过程的组织和适当引导. 四、课时支配 1课时 五、教学设想 （一）导入新课 思路1. (问题导入) 播放多媒体, 出示问题, 让学生仔细阅读课本引例. 在用方程的思想分析题意, 用解直角三角形的学问布列方程的过程中, 提出了两个问题:实际问题中存在探讨像tan(45°+)这样的包含两个角的三角函数的须要; 实际问题中存在探讨像sin与tan(45°+)这样的包含两角和的三角函数与、45°单角的三角函数的关系的须要. 在此基础上, 再一般化而提出本节的探讨课题进入新课. 思路2.(复习导入) 我们在初中时就知道cos45°=2,cos30°=, 22 由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于 cos45°-cos30°呢？老师可让学生验证, 经过验证可知, 我们的猜想是错误的. 那么原委是个什么关系呢？cos(-)等于什么呢？这时学生急于知道答案, 由此绽开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础. （二）推动新课、新知探究、提出问题 请学生猜想cos(-)=? 利用前面学过的单位圆上的三角函数线, 如何用、的三角函数来表示cos(-)呢？ 利用向量的学问, 又能如何推导发觉cos(-)=? 细心视察C (-)公式的结构, 它有哪些特征？其中、角的取值范围如何？ 如何正用、逆用、敏捷运用C (-)公式进行求值计算？ 活动:问题, 出示问题后, 老师让学生充分发挥想象实力尝试一下, 大胆猜想, 有的同学可能就首先想到cos(-)=cos-cos的结论, 此时老师适当的点拨, 然后让学生由特别角来验证它的正确性. 如=60°,=30°,则cos(-)=cos30°= 1 22, 而cos-cos=cos60°-cos30°= cos(-)cos-cos. , 这一反例足以说明 让学生明白, 要想说明猜想正确, 需进行严格证明, 而要想说明猜想错误, 只需一个反例即可. 问题, 既然cos(-)cos-cos,那么cos(-)原委等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题, 是-这个角的余弦问题, 我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？ 图1 如图1, 设角的终边与单位圆的交点为P 1, POP 1=,则POx=-.过点P 作PM 垂直于x 轴, 垂足为M, 那么OM 就是角-的余弦线, 即OM=cos(-),这里就是要用角、的正弦线、余弦线来表示OM. 过点P 作PA 垂直于OP 1, 垂足为A, 过点A 作AB 垂直于x 轴, 垂足为B, 过点P 作PC 垂直于AB, 垂足为C. 那么,OA 表示cos,AP表 是示sin,并且PAC=P 1Ox=.于所,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=coscos+sinsin, 以,cos(-)=coscos+sin sin. 老师引导学生进一步思索, 以上的推理过程中, 角、-是有条件限制的, 即、-均为锐角, 且>,假如要说明此结果是否对随意角、都成立, 还要做不少推广工作, 并且这项推广工作的过程比较繁琐, 由同学们课后动手试一试. 图2 问题, 老师引导学生, 可否利用刚学过的向量学问来探究这个问题呢? 如图2, 在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O, 以Ox 为始边作角、,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B, 则OA =(cos,sin),OB =(cos,sin),AOB =-. 由向量数量积的定义有=|·cos(-)=cos(-), 由向量数量积的坐标表示有 =(cos,sin)(cos,sin)=coscos+sinsin, 于是,cos(-)=coscos+sinsin. 我们发觉, 运用向量工具进行探究推导, 过程相当简洁, 但在向量数量积的概念中, 角-必需符合条件0-,以上结论才正确, 由于、都是随意角,-也是随意角, 因此就是探讨当-是随意角时, 以上公式是否正确的问题. 当-是随意角时, 由诱导公式, 总可以找到一个角0,2),使cos=cos(-),若0, 则OA OB =cos=cos(-).若,2, 则2-0, 且=cos(2-)=cos=cos(-). 由此可知, 对于随意角、都有 此公式给出了随意角、的正弦、余弦值与其差角-的余弦 值之间的关系, 称为差角的余弦公式, 简记为C (-). 有了公式C (-)以后, 我们只要知道cos、cos、sin、sin的值, 就可以求得cos(-)的值了. 问题, 老师引导学生细心视察公式C (-)的结构特征, 让学生自己发觉公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆, 特殊是运算符号, 左“-”右“+”.或让学生进行简洁填空, 如:cos(A-B)=_,cos(-)= _等. 因此, 只要知道了sin、cos、sin、cos的值就可以求得cos(-)的值了. 问题, 对于公式的正用是比较简单的, 关键在于“拆角”的技巧, 而公式的逆用则须要学生的逆向思维的敏捷性, 特殊是变形应用, 这就须要学生具有较强的视察实力和娴熟的运算技巧. 如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°= cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin. 探讨结果:略. （三）应用示例 思路1 例1 利用差角余弦公式求cos15°的值. 活动:先让学生自己探究, 对有困难的学生老师可点拨学生思索题目中的角15°, 它可以拆分为哪些特别角的差, 如15°=45°-30°或者3, 2 15°=60°-45°, 从而就可以干脆套用公式C (-)计算求值. 老师不要包办, 充分让学生自己独立完成, 在学生的详细操作下, 体会公式的结构, 公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法. 对于很快就完成的同学, 老师激励其换个角度接着探究. 解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°sin45°sin30° =221+2+=. 22224 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°sin60°sin45° =122236+2+=. 2224 点评:本题是指定方法求cos15°的值, 属于套用公式型的, 这样可以使学生把留意力集中到运用公式求值上. 但是仍旧须要学生将这个非特别角拆分成两个特别角的差的形式, 敏捷运用公式求值. 本例也说明白差角余弦公式也适用于形式上不是差角, 但可以拆分成两角差的情形. 至于如何拆分, 让学生在应用中细致体会. 变式训练 1. 不查表求sin75°,sin15°的值. 解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°sin45°sin30° =221+2+=. 22324 sin15°=-cos 215 =1-(6+228-2626-2) =. 4164 点评:本题是例题的变式, 比例题有肯定的难度, 但学生只要细心分析, 利用相关的诱导公式, 不难得到上面的解答方法. 2. 不查表求值:cos110°cos20°sin110°sin20°. 解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0. 点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉, 须要老师加以引导, 让学生细心视察, 再结合公式C (-)的右边的特征, 逆用公式便可得到cos(110°-20°). 这就是公式逆用的典例, 从而培育了学生思维的敏捷性. 例2 已知sin=,(,),cos=- 值. 活动:老师引导学生视察题目的结构特征, 联想到刚刚推导的余弦公式, 学生不难发觉, 欲求cos(-)的值, 必先知道sin、cos、sin、cos的值, 然后利用公式C (-)即可求解. 从已知条件看, 还少cos与sin的值, 依据诱导公式不难求出, 但是这里必需让学生留意利用同角的平方和关系式时, 角、所在的象限, 精确推断它们的三角函数值的符号. 本例可由学生自己独立完成. 解:由sin=,(,),得 cos=-sin 2a =-() 2=-. 又由cos=-5,是第三象限角, 得 13454525,是第三象限角, 求cos(-)的1324535 sin=-cos 2=-(-) 2=- 所以cos(-)=coscos+sinsin 51312. 13 =(-) (-) +(-3 5513451233) =-. 1365 点评:本题是干脆运用公式C (-)求值的基础练习, 但必需思索运用公式前应作出的必要打算. 特殊是运用同角三角函数平方关系式求值时, 肯定要弄清角的范围, 精确推断三角函数值的符号. 老师可提示学生留意这点, 养成良好的学习习惯. 变式训练 已知sin=,(0,),cos=- 解:当4 5455,是第三象限角, 求cos(-)的值. 134,)时, 且sin=, 得25cos=-sin 2a =-() 2=-, 又由cos=-5,是第三象限角, 得 1335 sin=-cos 2=-(-) 2=-5 1312. 13 所以cos(-)=coscos+sinsin 1233) =-. 1365. 4当(0,) 时, 且sin=, 得 25=(-) (-) +(-3551345 cos=-sin 2a =-() 2=, 又由cos=-5,是第三象限角, 得 134535 sin=-cos 2=-(-) 2=- 所以cos(-)=coscos+sinsin =(-) +(-3 5513451263) =-. 136551312. 13 点评:本题与例2的显著的不同点就是角的范围不同. 由于 (0,),这样cos的符号可正、可负, 需探讨, 老师引导学生运用分类探讨的思想, 对角进行分类探讨, 从而培育学生思维的严密性和逻辑的条理性. 老师强调分类时要不重不漏. 思路2 例1 计算:(1)cos(-15°); (2)cos15°cos105°sin15°sin105° (3)sinxsin(x+y)cosxcos(x+y). 活动:老师可以大胆放给学生自己探究, 点拨学生分析题目中的角-15°, 思索它可以拆分为哪些特别角的差, 如-15°=15°-30°或-15°=45°-60°, 然后套用公式求值即可. 也可化cos(-15°)=cos15°再求值. 让学生细心视察(2)(3)可知, 其形式与公式C (-)的右边一样, 从而化为特别角的余弦函数. 解:(1)原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°sin45°sin30° =2216+2+=. 22224 (2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0. (3)原式=cosx-(x+y)=cos(-y)=cosy. 点评:本例重点是训练学生敏捷运用两角差的余弦公式进行计算求值, 从不同角度培育学生正用、逆用、变形用公式解决问题的实力, 为后面公式的学习打下坚固的基础. 例2 已知cos=,cos(+)=-1711, 且、(0, ), 求cos的值. 142 活动:老师引导学生视察题目中的条件与所求, 让学生探究、 +、之间的关系, 也就是找寻已知条件中的角与所求角的关系. 学生通过探究、探讨不难得到=(+)-的关系式, 然后利用公式C (-)求值即可. 但还应提示学生留意由、的取值范围求出+的取值范围, 这是很关键的一点, 从而推断sin(+)的符号进而求出cos. 解:、(0,), +(0,). 又cos=,cos(+)=- sin=-cos 2a =43, 7 53. 141711, 142sin(+)=-cos 2(a +) = 又=(+)-, cos=cos(+)cos+sin(+)sin =(-1115341) +=. 1471472 点评:本题相对于例1难度大有提高, 但是只要引导适当, 学生不难得到= (+)-的关系式, 继而运用公式解决. 但值得留意的是+的取值范围确定, 也是很关键的, 这是我们以后解题当中常见的问题. 变式训练 1. 求值:cos15°+sin15°. 解 =2(:原式22cos15°+sin15°)=2(cos45°cos15°+sin45°sin15°) 22 . 2=2cos(45°-15°)= 2cos30°= 2. 已知sin+sin=,cos+cos=, 求cos(-)的值. 解:(sin+sin)2=() 2,(cos+cos)2=() 2, 以上两式绽开两边分别相加得2+2cos(-)=1, cos(-)=-. 点评:本题又是公式C (-)的典型应用, 解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方, 从而得到公式C (-)中coscos和sinsin的值, 即可求得cos(-)的值, 本题培育了学生综合运用三角函数公式解决问题的实力. 3. 已知锐角、满意cos=,tan(-)=-, 求cos. 41 53 34解:为锐角, 且cos=, 得sin=. 1*5 又0 - 又tan(-)= - cos(-)=3 132222. 1 从而sin(-)=tan(-)cos(-)=-. cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-) = 4531+(-). 539. 50 （四）课堂小结 1. 先由学生自己思索、回顾公式的推导过程, 视察公式的特征, 特殊要留意公式既可正用、逆用, 还可变用及驾驭变角和拆角的思想方法解决问题. 然后老师引导学生围绕以下学问点小结:(1)怎么联系有关学问进行新学问的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的相识; 三角变换的特点. 2. 老师画龙点睛:本节课要理解并驾驭两角差的余弦公式及其推导, 要正确娴熟地运用公式进行解题, 在解题时要留意分析三角函数名称、角的关系, 精确推断三角函数值的符号. 多对题目进行一题多解, 从中比较最佳解决问题的途径, 以达到优化解题过程, 规范解题步骤, 领悟变换思路, 强化数学思想方法之目的. （五）作业