2023年【微积分第三版赵树源主编】微积分第三版.docx

2023年【微积分第三版赵树源主编】微积分第三版 _ 授课类型_理论课_ 授课时间 2节 授课题目（教学章节或主题）： 第一章 函数 §1.1集合； §1.2实数集；§1.3函数关系；§1.4函数表示法；§1.5建立函数关系的例题 本授课单元教学目标或要求： 理解集合概念，驾驭集合的运算性质，了解实数集的特征。 理解函数的概念，驾驭函数的表示法和函数定义域、值域的求法。学会依据实际问题建立函数关系的方法。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容: 集合的概念及其运算性质；实数集的特征；函数的概念及性质；依据实际问 题建立函数关系的方法。 重点：集合的运算性质和函数的特征。 难点：邻域的理解和驾驭如何依据实际问题建立函数关系的方法。 本授课单元教学手段与方法： 通过描绘文氏图和讲解第7页例9让学生理解和驾驭集合的运算性质。通过作图和用集合的方式表达领域来帮助学生理解邻域的概念。通过讲解第25页例1，让学生驾驭依据实际问题建立函数关系的方法。 本授课单元思索题、探讨题、作业： 思索题：库存问题中如何选择最优批量是经济数学中的一个难点与重点。第26页例2可做为一道思索题供学生课后思索。然后，由老师指导解决。 探讨题：将函数y=7-3x-2用分段形式表示，并绘制函数图形。 利用此题让学生了解初等函数与分段函数的区分。 作业：课本第40页 8，9，14，15，23（2）、（7）、（8），28，30。 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学同济高校第五版 经济应用基础（一）微积分 课程教案 授课类型_理论课_ 授课时间 2节 授课题目（教学章节或主题）： 第一章 函数 §1.6函数的几种简洁性质； §1.7反函数，复合函数；§1.8初等函数；§1.9函数图形的简洁组合与变换。 本授课单元教学目标或要求： （1）了解函数的几种简洁性质； （2）熟识反函数和复合函数的概念； （3）熟识六类基本初等函数的性质及其图形； （4）了解初等函数的构成。能列出简洁实际问题中的函数关系。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容: 探讨函数的四特性质：单调性、有界性、奇偶性和周期性。 反函数与复合函数的构成。 六类基本初等函数与初等函数的定义。 重点：函数的四特性质，初等函数的构成。 难点：函数有界性的理解，复合函数的结构，初等函数的构成。 本授课单元教学手段与方法： 1.通过定义和例题（课本第31，32页）引导学生了解函数的四特性质。 2.通过复习中学所学的六类基本初等函数内容和讲解复合函数的概念，从而引导出初等函数的定义。 3.通过对初等函数是如何合成的了解，为今后的复合函数求导打下基础。 本授课单元思索题、探讨题、作业： 思索题： 1.指导学生完成课本第45页的思索题：练习B(1-18). 。 2.分段函数的定义域是如何确定的。 ìsinx,-2£x<0ï 0£x<3 例：f(x)=íx, ï5,3<x<+¥î 作业：课本第44页48（4）、（7）；51（2）（4）；第45页55（3）、（4）、（6）。 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学同济高校第五版 经济应用基础（一）微积分课程教案 授课类型_理论课_ 授课时间 2节 授课题目（教学章节或主题）： 其次章 极限与连续 §2.1数列的极限； §2.2函数的极限 本授课单元教学目标或要求： 理解数列概念，驾驭数列极限和函数极限的定义； 娴熟驾驭数列和函数极限的“e-M”定义和“e-d”定义的描述方法，并习惯用无限接近但不肯定达到的思维方法； 娴熟驾驭数列和函数极限的有关定理。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容: 数列的概念，数列和函数的“e-M”定义和“e-d”定义，数列和函数极 限的有关定理，用数列和函数的“e-M”定义和“e-d”定义求解和证明简洁的数列和函数的极限问题，数列和函数极限的几何意义。 通过讲解第49页例1-4让学生理解和驾驭数列的概念；通过P50页（1）-（3）引入数列极限的定义；通过通过P53页的例子引入函数极限的定义，分别讲解当x®±¥时的极限定义和x®x0的定义以及左右极限的定义；讲解有关的极限定理；选讲课本中的有 关例题及习题。 重点：数列和函数的“e-M”定义和“e-d”定义。 难点：数列和函数极限中无限接近并不肯定达到的思想及其表示法。 本授课单元教学手段与方法： 首先借助图形直观感受变量的极限概念，让学生对变量在某一改变过程中的极限有感性相识，再引入极限分析上的定义。 本授课单元思索题、探讨题、作业： 思索题：证明： n®+¥ lin (1+ x1 )=1，lin不存在，为思索题供学生课后思索。然后，由n2+1xx®0 老师指导解决。 探讨题：用函数的“e-d”定义证明 lin (x2-1)=0 n®1 利用此题娴熟函数的“e-d”定义。 作业：课本第88-89页 1（3）（4），2（1），3，4（2）。 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学同济高校第五版 经济应用基础（一）微积分 课程教案 授课类型_理论课_ 授课时间 2节 授课题目（教学章节或主题）： 其次章 极限与连续 §2.3变量的极限； §2.4无穷大量与无穷小量。 本授课单元教学目标或要求： （1）理解和驾驭变量极限的定义； （2）理解和驾驭有界变量的定义及性质定理； （3）理解和驾驭无穷大量与无穷小量的定义和性质； （4）理解和驾驭无穷大量与无穷小量的关系； （5）理解和驾驭无穷小量阶的比较。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容: 把前两节中讲授的各种极限统一成变量的极限； 变量极限的性质及定理； 有界变量的定义及性质定理； 无穷大量和无穷小量的定义、关系、性质及定理； 无穷小量阶的比较。 重点：变量极限的性质及定理，无穷小量的性质及阶的比较。 难点：把各种极限定义统一成变量的极限。 本授课单元教学手段与方法： 通过把前两节中的极限过程统一为“某个改变过程中”从而把极限的定义统一为变量的极限定义，反过来一一探讨和理解“某个改变过程中”在各种极限定义中的含义； 本授课单元思索题、探讨题、作业： 思索题： 1.指导学生完成课本第96-97页的思索题：练习B(5-12). 。 2.函数y= 1 在什么改变过程中是无穷大量？又在什么改变过程中是无穷小量？ (x-1)2 作业：课本第89-90页8、9题。 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学同济高校第五版 经济应用基础（一）微积分 课程教案 授课类型_理论课_ 授课时间 2节 授课题目（教学章节或主题）： 其次章 极限与连续 §2.5极限的运算法则。 本授课单元教学目标或要求： （1）理解和驾驭极限的四则运算法则； （2）娴熟运用极限的四则运算法则求各种极限值； 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容: 极限的四则运算法则，加减法法则的证明，无穷小的运算性质， 应用极限的四则运算法则计算函数的极限； 重点：极限的运算法则的应用。 难点：极限的加法和减法运算法则的证明。 本授课单元教学手段与方法： 通过讲解课本中的例题及选讲习题说明极限运算法则的应用。 本授课单元思索题、探讨题、作业： 思索题： 1.指导学生完成课本第91页的思索题：练习A (13-14). 。 作业：课本第90页10(1)(4)(8)(9)(14)(19)(21)(22)。 探讨题： lin x®1 x2+ax+b =5,求a,b的值. 1-x 通过此题加深学生对极限的理解. 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学同济高校第五版 经济应用基础（一）微积分课程教案 授课类型_理论课_ 授课时间 2节 授课题目（教学章节或主题）： 其次章 极限与连续 §2.6 两个重要的极限 本授课单元教学目标或要求： 驾驭极限存在的两个准则; 娴熟驾驭两个重要的极限以及第一个重要极限的证明过程； 娴熟运用两个重要极限来解决实际问题即求极限值。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容: 极限存在的两个准则; 两个重要的极限以及第一个重要极限的证明过程; 运 用两个重要极限来解决一些函数的极限问题 重点：两个重要极限及其应用。 难点：第一个重要极限的证明。 本授课单元教学手段与方法： 讲解极限存在的两个准则,并举P72页的例1,例2加以说明；给出两个重要的极限内容并给出第一个重要极限的证明;讲解课本中的例题并选讲习题. 本授课单元思索题、探讨题、作业： 思索题：求 探讨题： lin ( x®¥ x-1x )，为思索题供学生课后思索。然后，由老师指导解决。 x+1 lin x®0 2arcsinx 3x 利用此题娴熟第一个重要极限的应用,同时应用等价无穷小来求极限。 作业：课本第92页20(1)(2)(3),21（1）（7）。 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学同济高校第五版 授课类型_理论课_ 授课时间 4节 授课题目（教学章节或主题）： 其次章 极限与连续 §2.7函数的连续性。 本授课单元教学目标或要求： （1）了解变更量的定义； （2）理解和驾驭函数在一点连续的定义； （3）驾驭连续函数的定义； （4）理解和驾驭间断点的定义和种类； （5）驾驭连续函数的运算法则; (6)驾驭闭区间上连续函数的性质定理以及其应用; (7)娴熟驾驭用连续函数的性质求函数的极限. 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容: 变更量的定义; 函数在一点连续的定义及连续函数的定义； 间断点的定义和种类；连续函数的运算法; 闭区间上连续函数的性质定理及应用. 用连续函数的性质求函数的极限 重点：函数在一点连续的定义,连续函数的运算法则,闭区间上连续函数的性质及应用。 难点：函数在一点连续的定义。 本授课单元教学手段与方法： 1.通过把函数图给出变更量的定义,并说明变更量可正可负; 2.通过连续函数的图形引入函数在某点连续的定义从而给出连续函数的定义； 3.通过间断函数的图形给出间断点的定义和类型; 4.讲解连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的性质; 5.讲解用连续函数的性质求函数极限的有关例题及其他类型的例题. 本授课单元思索题、探讨题、作业： 思索题： 1.指导学生完成课本第97-98页的思索题：练习B(13-18). 。 2.给f(0)补充定义一个什么数值,能使f(x)在x=0处连续? (1) f(x)= 1+x-x ; (2) f(x)=sinxcon xx 作业：课本第92-94页22(2)、23(3)(4)、30(1)(2)、31、33。 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学同济高校第五版 授课类型_理论课_ 授课时间 2节 授课题目（教学章节或主题）： 其次章 极限与连续 小结、习题课：口头简洁小结本章所讲的基本内容和方法，并通过一些典型的例题来说明, 例1：用极限的定义证明：lin 1 =0 n®¥n2 x2-4 =-4 例2：用函数的定义证明：lin x®-2x+2 例3：求f(x)=在。 例4：计算下列极限： （1）lin(1+ xx ，j(x)=,当x®0时的左右极限，并说明当x®0时的极限是否存xx 1111arctanx2 +L+n)；（2）linxsin；（3）lin； n®¥x®0x®¥24xx21-cos2x1 =0； （5）lin(1-)kx(k为正整数) （4）lin x®0xsinxx®¥x 5 例5：证明方程x-3x=1至少有一个根介于1和2之间。 ìxï 例6：函数f(x)=íx ïxî x£11<x£3 ，在其定义域内是否连续？ x2+1 -ax-b)=0,求a、b的值。 例7：若lin( x®¥x+1 先给出例题的题目，让学生思索25分钟左右，然后老师讲解例题。 授课类型_理论课_ 授课时间 2节 授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分 §3.1引出导数概念的例题； §3.2导数概念（一） 本授课单元教学目标或要求： 理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数，会求曲线的切线 理解导数的物理意义及几何意义。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容: 变速直线运动的速度，平面曲线的切线斜率；导数的定义，一些简洁函数的 求导。 重点是导数的定义，难点是理解导数的实际意义是描述变量改变快慢的程度。 通过讲解引例及 例题例1到例6（课本103页、104页）引入概念，让学生理解导数 的定义及利用定义计算函数的导数。 本授课单元教学手段与方法： 从导数在物理和几何上的应用给出导数的定义，引导学生对导数有直观和深刻的相识,利用引例激发学生对学习导数的爱好。 本授课单元思索题、探讨题、作业： 思索题： 例1求函数f(x)=sin x 的导数. 解: f ¢(x)=lim h®0 sin(x+h)-sinxf(x+h)-f(x) = h®0hh 1hh =lim×2cos(x+)sin h®0h22sinh h =limcos(x+)×=cosx. h®02 2 即 (sin x)¢=cos x . 用类似的方法, 可求得 (cos x )¢=-sin x . 作业：课本第135页 1（2）；3。 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学同济高校第五版 经济应用基础（一）微积分课程教案 授课类型_理论课_ 授课时间 2节 授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分 §3.2导数概念（续）§3.3导数的基本公式与运算法则（一）； 本授课单元教学目标或要求： 娴熟驾驭导数基本公式、导数的四则运算法则，理解导数与连续的关系。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容: 左、右导数的概念；导数与连续的关系；求导的基本公式和运算法则。 重点是求导的基本公式和运算法则， 难点是左右导数的求法以分段函数在分界点处可导性的探讨，商与乘积的求导法则。 通过 例题（见课本105页、106页，111页、115页）演示求导法则的应用、娴熟求导计算。 本授课单元教学手段与方法： 引导学生依据上节课学的导数的定义，通过演示推导得出基本初等函数的导数公式和运算法则，并通过严格的推理来解决求导问题。 本授课单元思索题、探讨题、作业： 思索题： 例1 求函数y=tanx的导数。 解： y¢=(tanx)¢=( sinx(sinx)¢cosx-sinx(cosx)¢2 )¢=secx 2 cosx(cosx) 2 同理可得：(cotx)¢=-cscx 例2求函数y=secx的导数。 解： y¢=(secx)¢=( 1-(cosx)¢sinx )¢=secxtanx cosxcos2xcos2x 同理可得：（(cscx)¢=-cscxcotx） 作业：课本135页4；136页12（4）13（9） 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学同济高校第五版 经济应用基础（一）微积分课程教案 授课类型_理论课_ 授课时间 2节 授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分 §3.3导数的基本公式与运算法则（二）； 本授课单元教学目标或要求： 驾驭复合函数、隐函数的求导，理解对数函数的求导。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容为复合函数、隐函数、对数函数的求导。 重点是复合函数求导，难点是隐函数、对数求导的方法。 通过例题 （课本117页、120页、122页）演示复合函数求解过程，特殊是将函数正确分解为多个函数的复合的方法，来娴熟复合函数的求导。 本授课单元教学手段与方法： 通过例题由易到难、由浅入深让学生驾驭复合函数的求导过程。强调隐函数的求导思路以及对数求导法适用的对象。通过思索题来总结和提高本次课讲授的求导方法。 本授课单元思索题、探讨题、作业： 思索题： 例1 求曲线x2+2xy-y2=2x在x=2处的切线方程 解： 对方程x+2xy-y=2x两边关于x求导得： 2 2 2x+2y+2xy¢-2y×y¢=2 解得：y¢= 2(1-x-y) 2x-2y 当x=2时，由所给曲线方程解得：í ìx=2ìx=2 或í îy=0îy=4 2(1-x-y) 2x-2y 1=- 2 对于点（2，0）所求切线斜率k1=y¢x=2= y=0 x=2y=0 故所求切线方程为y=- 1 x+1 ， 2 y=4 对于点（2，4），所求切线斜率k2=y¢x=2= 2(1-x-y) 2x-2y = x=2y=4 5 2 故所求切线方程为y= 5 x-1 2 作业：课本137页18（11）（12）（18）138页21（1） 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学同济高校第五版 经济应用基础（一）微积分课程教案 授课类型_理论课_ 授课时间 2节 授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分 §3.4高阶导数 §3.5微分 本授课单元教学目标或要求： 知道高阶导数概念，会求函数的高阶导数; 理解解微分概念，会求函数的微分,理解微分的应用。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容为高阶导数的定义、高阶导数的计算、微分的概念及几何意义、微分的运算法则、微分的应用。 重点是二阶导数和微分的求法，难点为微分的几何意义与微分的应用。 例题用课本127页、131页、134页中例。 本授课单元教学手段与方法： 引导学生反复利用一阶导数来求二阶导数，从微分的实际应用给出微分的定义，让学生相识到微分可以用作近似计算，从解决问题动身给出微分的定义。 本授课单元思索题、探讨题、作业： 思索题： 例1 已知y=arctan2x ，求y¢¢(1) 解： y¢=(arctan2x)¢= y¢¢=( 2 1+4x2 216x ¢ )=- 1+4x2(1+4x2)2 y¢¢(1)=- 3 16x (1+4x2)2 2 =- x=1 2 16 25 例2 设隐函数y=xy+2x+y，求dy 解： y=xy+2x+y两端对x求微分得：dy=d(xy)+d(2x)+dy 即：3ydy=ydx+xdy+4xdx+2ydy 从而dy=作业:课本140页34（1）42（5）（7） 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学 2 3 2 2 3 2 2 y+4x dx 2 3y-2y-x 经济应用基础（一）微积分 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用 §4.1 中值定理 本授课单元教学目标或要求： 理解罗尔定理和拉格朗日定理的条件和结论， 会应用拉格朗日定理解决一些数学问题 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：罗尔定理，罗尔定理、拉格朗日中值定理的证明，定理的几何意义。 . 拉格朗日中值定理的应用 重点：拉格朗日中值定理 难点：拉格朗日中值定理及其应用 本授课单元教学手段与方法： 采纳发觉法引导学生从几何图形上发觉罗尔定理与拉格朗日中值定理的结论，通过例子和随堂练习强化所学内容的理解 本授课单元思索题、探讨题、作业： 1、当f(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)时，问f¢(x)=0有几个实根（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、下列函数中，在区间-1,1上满意洛尔定理条件的是（ ） A、f(x)=e， B、f(x)=1-x， C、f(x)=lnx， D、f(x)=x x 2 作业：P193：1，2，4，6 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 同济高校高等数学同济高校第五版 经济应用基础（一）微积分 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用 §4.1 中值定理；§4.2未定式的定值法-罗必达法则 本授课单元教学目标或要求： 了解柯西中值定理，会用洛必达法则求不定式的极限； 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：柯西中值定理及证明， 洛必达法则及证明 ，洛必达法则的推论 柯西中值：假如函数f( x )及F (x) 在闭区间a, b上连续,，在开区间 (a, b ) 内可导,，且F ¢(x) (a, b) 内的每一点处均不为零。那么在(a, b)内至少有一点x ，使等式 f(b)-f(a)f¢(x) = F(b)-F(a)F¢(x) 成立。 罗必达法则 一、罗必达法则（1） 0型 0 设(1) 当x®x0时f(x)和F(x)的极限为0; (2) 在点x0的某些邻域内,f¢(x)及F¢(x)都存在,且F¢(x)¹0; (3) lim x®x0 f¢(x)f(x)f¢(x) =lim存在,(或为¥), 则lim x®xx®x¢¢00F(x)F(x)F(x) （证明见书P151） 推论 若x®x0时， f¢(x)0 仍为型,且f¢(x)，F¢(x)仍满意罗必塔法则条件，则: 0F¢(x) x®x0 lim f(x)f¢(x)f¢¢(x) =lim=lim x®xx®x¢¢¢00F(x)F(x)F(x) 讲解书例1到例14中部分例 增加例1 求lim解: 所求极限为 li1-cosx x®0sinx 型,运用罗必达法则,得: 0 1-cosx(1-cosx)¢sinx =li=li=0 x®0x®0x®0¢sinx(sinx)cosx 注1 运用罗必达法则求极限时,能简化的,要进行简化,并要留意每次应用前要切实检查仍为待定型极限. 2xex-ex+1 例2 求lim xx®06(e-1)2xex-ex+1解: lim xx®06(e-1)2xex-ex+11 =lim lim x®06(ex-1)x®0ex 2ex+2xex-ex ×1 =lim x®06ex =lim 2x+11 = x®066 重点及难点：洛必达法则的应用 本授课单元教学手段与方法： 采纳求解教学方法帮助学生解决极限计算问题，通过大量例子巩固和提高运算技能和技巧的教学方法，使学生娴熟驾驭未定式极限的求法。 本授课单元思索题、探讨题、作业： 11 ) 2 、1、lim(-x x®0xx®1e-1 3、lim 1-cos2x x®03x2 作业：P194：8（1）（3）（4） 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学同济高校第五版 经济应用基础（一）微积分 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用 §4.2未定式的定值法-罗必达法则（续） 本授课单元教学目标或要求： 会用洛必达法则求不定式的极限； 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： . 基本内容：罗必达法则 (II) 设 (1) 当x®¥时f(x)和F(x)的极限为0; (2) 当x>M,M>0时, f¢(x)和F¢(x)都存在,且F¢(x)¹0; f¢(x)f(x)f¢(x) =lim (3) lim存在,(或为¥), 则lim x®¥F¢(x)x®¥F(x)x®¥F¢(x) 二、 ¥型 ¥ 1.罗必达法则(III)设 (1) 当x®x0时,f(x)®¥,F(x)®¥ (2) 在点x0的某一去心邻域内,f¢(x)及F¢(x)都存在,且F¢(x)¹0 (3) lim x®x0 f¢(x)f(x)f¢(x) =lim存在,(或为¥), 则lim x®xx®x¢¢00F(x)F(x)F(x) 2. 罗必达法则(IV)设 (1) 当x®¥时,f(x)®¥,F(x)®¥ (2) 当x>M,M>0时, f¢(x)和F¢(x)都存在,且F¢(x)¹0; (3) lim f¢(x)f(x)f¢(x) =lim存在,(或为¥), 则lim x®¥F¢(x)x®¥F(x)x®¥F¢(x) lnsinlx (l>0,p>0) lnsinpx ¥ 型,运用罗必达法则(III),得: ¥ 例1 求lim+ x®0 解: 所求极限为 lcoslx lnsinlx=limlcoslxsinpx =lim lim x®0+lnsinpxx®0+pcospxx®0+pcospxsinlx sinpx = lcoslxsinpx limlim+ x®0x®0pcospxsinlxlsinpx ×1×lim x®0+sinlxp lpcospxlplim=×=1 px®0+lcoslxpl = = 三、其它待定型0×¥,¥-¥,00,1¥,¥0 它们总可以通过适当的变换为重点：罗必达法则的应用 难点：其它待定型0×¥,¥-¥,0,1,¥化为 ¥ 0¥ 型或型,然后再运用罗必达法则. 0¥ 0¥ 型或型的极限计算 0¥ xlnx 例2 求lim+ x®0 2 解: 所求极限为0×¥型,故可化为: lnxx-112 xlnx=li=li=-limx=0 lim+ x®0+x®0+x-2x®0+-2x-3x®02 2 xlnx=0,a>0 一般的,有lim+ x®0 a 本授课单元教学手段与方法： 采纳求解教学方法帮助学生解决极限计算问题，通过大量例子巩固和提高运算技能和技巧的教学方法，使学生娴熟驾驭除 0¥ 型或型外的未定式极限求法。 0¥ 本授课单元思索题、探讨题、作业： 1 11tx2+lnxsinx 1、lim(sin+cos) 2、lim(cosx) 3、lim t®¥x®0x®+¥ttxlnx 作业：P194：8（6）（7）（8）（11） 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 同济高校高等数学第四、五版 经济应用基础（一）微积分 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用 §4.3函数的增减性 本授课单元教学目标或要求： 1. 驾驭用导数判定函数单调性的方法，会求函数的单调区间。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 定理4.3 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导， （1） 假如在(a,b)内f¢(x)>0，则f(x)在a,b上单调增加（）; （2） 假如在(a,b)内f¢(x)<0，则f(x)在a,b上单调削减（）. 如将定理中的闭区间换成其它各种区间（包括无限区间），定理3.1的结论仍成立，使定理4.3结论成立的区间，就是函数的单调区间。 讲解书例1，例2 增加下例 x3 例3 确定函数y=的单调区间。 3 3-x 解： 函数的定义域为(-¥,-3)U(-,)U(3,+¥) x=±3为函数的间断点。 3x2(3-x2)-x3(-2x)9x2-x4x2(3+x)(3-x) y¢= = (3-x2)2(3-x2)2(3-x2)2 令y¢=0得：x1=0,x2=-3,x3=3 用x=±,±3,0分定义成如下区间，列表探讨如下： 所以函数的单调削减区间为(-¥,-3,3,+¥)， 单调增加区间为：-3,-),(-,),(,3 . 本授课单元教学手段与方法： 采纳呈现法，通过图形示例，引导学生发觉函数的单调性与导数符号的关系。 本授课单元思索题、探讨题、作业： 1、下列函数在指定区间(-¥,+¥)上单调增加的是（ ） Asinx Be x Cx 2 2、确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 2、 求证 ： ln x> x-1 x+1 (x>1) 作业：P195：9（1）（5）