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2023年重要极限证明（精选多篇） 推荐第1篇：两个重要极限的证明 两个重要的极限 1证明：lim sinxx x®0 =1 证明：如图（a）作单位圆。当0 21 12x< 12 p2 时，显然有OAD面积 xsinx < 1cosx tgx，sinx p2 或1> sinxx >cosx p2 <x<0 时也成立。 图（a） 故（1）式对一切满足不等式0<|x|<的x都成立。 sinxx =1。 由limcosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得lim x®0 x®0 函数f(x)= sinxx 的图象如图（b）所示。 2证明：lim(1+)n存在。 n®¥ n 证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n有 b n+1 图（b） n+1 -a n+1 b-a <(n+1)b或b n n+1 -a n+1 <(n+1)b(b-a)，整理后得不等式a n（1） >b(n+1)a-nb。 n 令a=1+故有(1+ 1n+1) n+1 ，b=1+ 1n) 1n n ，将它们代入（1）。由于(n+1)a-nb=(n+1)(1+ 1n+1 )-n(1+ 1n )=1， n+1 >(1+ 12n ，这就是说(1+)n为递增数列。 n 12n)= 12 再令a=1，b=1+代入（1）。由于(n+1)a-nb=(n+1)-n(1+ 12n) 2n ，故有1>(1+ 12n ) n 12 ，2>(1+ 12n1n ) n 。 不等式两端平方后有4>(1+，它对一切自然数n成立。联系数列的单调性，由此又推得数列(1+)n 是有界的。于是由单调有界定理知道极限lim(1+)n是存在的。 n®¥ n 3证明：lim(1+)x=e。 x®¥ x 证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限： x®+¥ lim(1+ 1x )=e x （1） x®-¥ lim(1+ 1x )=e x （2） 现在先应用2中数列极限lim(1+)n=e，证明（1）式成立。 n®¥ n 设nx 1n+1 <1+ 1x £1+ 1n 及(1+ 1n+1 ) n 1n+1 )<(1+ n 1x )<(1+ x 1n ) n+1 ， （3） 作定义在1，+¥)上的阶梯函数。f(x)=(1+，nx n 由（3）有f(x) x x®+¥ n®¥ 11n+1 (1+ )=lim n n®¥ n+1 11+ n+ ) n+1 =e x®+¥limg(x)=lim(1+n®¥1n)n+1=lim(1+n®¥1n)(1+n1 n)=e，根据迫敛性定理便得（1）式。 11 y)-y现在证明（2）式。为此作代换x=-y，则(1+)x=(1-x=(1+1 y-1)=(1+y1 y-1)y-1(1+1 y-1) 因为当x-时，有y-1+，故上式右端以e为极限，这就证得lim(1+)x=e。 x®-¥1x 以后还常常用到e的另一种极限形式lim(1+a)a=e a®0 1x（4） 1 a®0因为，令a=1x，则x和a0是等价的，所以，lim(1+)=lim(1+a)a。 x®¥x 推荐第2篇：极限的证明 极限的证明 利用极限存在准则证明： (1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x2)的极限为0; (2)证明数列Xn，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,收敛，并求其极限。 1)用夹逼准则: x大于1时,lnx>0,x2>0,故lnx/x2>0 且lnx1),lnx/x2 故(Inx/x2)的极限为0 2)用单调有界数列收敛: 分三种情况,x0=a时,显然极限为a x0>a时,Xn-X(n-1)=/2 且Xn=/2>a,a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A. 对原始两边求极限得A=/2.解得A=a 同理可求x0 综上,数列极限存在,且为 (一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: Th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =§2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 推荐第3篇：极限 定义证明 极限定义证明 趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0 x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于 2这两个用函数极限定义怎么证明? x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0 证明：对于任意给定的>0，要使不等式 |sinx/x-0|=|sinx/x| |sinx/x|2sinx2/2, |sinx|1只需不等式x>1/2成立， 所以取X=1/2，当x>X时，必有|sinx/x-0| 同函数极限的定义可得x+时，sinx/x极限为0.x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2 证明：对于任意给定的>0，要使不等式 |1-4x2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1| 需要0 |1-4x2/2x+1-2|=|2x+1| 由函数极限的定义可得x-1/2时，1-4x2/2x+1的极限为2. 注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0. 记g(x)=lim(1/n)，n趋于正无穷; 下面证明limg(x)=maxa1,.am,x趋于正无穷。把maxa1,.am记作a。 不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1; 那么存在N1,当x>N1,有a/M 注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0 同理，存在Ni，当x>Ni时，0 取N=maxN1,N2.Nm; 那么当x>N,有 (a/M)n 所以a/M 对n取极限，所以a/M 令x趋于正无穷， a/M 注意这个式子对任意M>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。 令M趋于正无穷，b趋于a; 有a 这表明limg(x)=a; 证毕; 证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。 还有个看起来简单些的方法 记g(x)=lim(1/n)，n趋于正无穷; g(x)=maxf1(x),.fm(x); 然后求极限就能得到limg(x)=maxa1,.am。 其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。 有种简单点的方法，就是 maxa,b=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。 多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式， 故极限可以放进去。 2一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: Th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =§2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 2 推荐第4篇：函数极限证明 函数极限证明 记g(x)=lim(1/n)，n趋于正无穷; 下面证明limg(x)=maxa1,.am,x趋于正无穷。把maxa1,.am记作a。 不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1; 那么存在N1,当x>N1,有a/MN2时，0Ni时，0 那么当x>N,有 (a/M)n 推荐第5篇：用极限定义证明极限材料 例 1、用数列极限定义证明：limn+2=0 n®¥n2-7 n>2时n+2(1)2n(2)2nn+22(3)24(4)|2-0|=2<2<2=<=<e nn-7n-7n-7n-nn-1n-n 2上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2 n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n>，故取N=max7, 2e 44。这样当n>N时，有n>7，n>。 ee 4 因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n>，所以不等号（3）成立的条件是1<e |不等式（4）能成立，因此当n>N时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N时， 在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n+2-0|<e。 n2-7n的方法，因此，对于具体的数， 2可把它放大为（k为大于零的常数）的形式 kn n+4=0 n®¥n2+n+ 1n+4n+4n>4时n+n2n2(1)|2-0|=2<2<=<e n+n+1n+n+1n+n+1n2n 22不等号（1）成立的条件是n>,故取N=max4, ,则当n>N时，上面的不等式都成ee例 2、用数列极限定义证明：lim 立。 注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如： n2+n+1>n 2n2+n+1>n n-n<n22 n(n+1)2>n+ 1(-1)n 例 3、已知an=，证明数列an的极限是零。2(n+1) (-1)n1(1)1(2) 证明："e>0(设0<e<1)，欲使|an-0|=|=<<e成立 22(n+1)(n+1)n+1 11<e解得：n>-1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n+1e 1数n都是成立的，因此取N=-1，则当n>N时，不等号（2）成立，进而上述系列等式由不等式e 和不等式均成立，所以当n>N时，|an-0|<e。 在上面的证明中，设定0<e<1，而数列极限定义中的e是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？ 在数列极限定义中，N是一个正整数，此题如若不设定0<e<1，则N=-1就有1 e 可能不是正整数，例如若e2，则此时N1，故为了符合数列极限的定义，先设定0<e<1，这样就能保证N是正整数了。 那么对于大于1的e，是否能找到对应的N？能找到。按照上面已经证明的结论，当e0.5时，有对应的N1，当n>N1时，|an-0|0.5成立。因此，当nN1时，对于任意的大于1的e，下列式子成立： |an-0|0.51e，亦即对于所有大于1的e，我们都能找到与它相对应的N=N1。因此，在数列极限证明中，e可限小。只要对于较小的e能找到对应的N，则对于较大的e 就自然能找到对应的N。 推荐第6篇：极限存在准则,两个重要极限 西南石油大学高等数学专升本讲义 极限存在准则 两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1000 1、limn®¥åi= 1n1n+i1 n+i221000个0相加，极限等于0。 2、limn®¥åi=1无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、lim xn，其中xn=n®¥ x1= 对于 2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则： 一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则如果数列xn,yn及zn满足下列条件: (1)yn£xn£zn n®¥(n=1,2,3L)n®¥(2)limyn=a,limzn=a, n®¥ 那么数列xn的极限存在, 且limxn=a.证：Qyn®a,zn®a,"e>0,$N1>0,N2>0,使得 当n>N1时恒有yn-a<e, 当n>N2时恒有zn-a<e, 取N=maxN1,N2,上两式同时成立,即a-e<yn<a+e, a-e<zn<a+e, 当n>N时，恒有 a-e<yn£xn£zn<a+e,即xn-a<e成立, limxn=a.n®¥ 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则 如果当xÎU(x0,d) (或x>M)时,有 o (1)g(x)£f(x)£h(x), (2)limg(x)=A,limh(x)=A, x®x0(x®¥) x®x0(x®¥) 那么limf(x)存在, 且等于A. x®x0(x®¥) 准则 I和准则 I'称为夹逼准则。 【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出yn与zn，并且yn与zn的极限是容易求的。 例 1求n + +L+ 解： n®¥ 1+1n +L+ n =lin®¥ =1, 又lim n®¥ nn+n =lim =1,lin®¥ n+1 + 1n 2由夹逼定理得：lim( n®¥ 1n+1 + 1n+2 +L+ 1n+n )=1. 【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 2.单调有界准则 准则单调有界数列必有极限. 加的；如果数列xn满足条件x1³x2³x3³L³xn³xn+1³L，就称数列xn是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。 几何解释: 如果数列xn满足条件x1£x2£x3£L£xn£xn+1£L，就称数列xn是单调增 例2 证明数列xn=【分析】已知xn+1= 23nn+1 A n重根式）的极限存在 2+xn，x1=2，求limxn。首先证明是有界的，然后证明是 n®¥ 单调的，从而得出结论 证： 1、证明极限存在 a) 证明有上界 x1=<2，设xn=+xn-1<2，则xn+1=2+xn<+2= 2所以对任意的n，有xn<2 b) 证明单调上升 xn+1-xn=2+xn-xn>xn+xn-xn=2xn-xn>xn×xn-xn=0 所以limxn存在 n®¥ 2、求极限 设limxn=l，则l= n®¥ 2+l，解得l=2（l=-1舍去） 所以limxn= 2n®¥ 二、两个重要极限 1.lim sinx = 1x®0x 如右图所示，设单位圆O,圆心角ÐAOB=x,(0<x< p )， 作单位圆的切线，得DACO.扇形OAB的圆心角为x,DOAB的高为BD,于是有sinx=BD, x=弧AB, tanx=AC, sinxp <1,上式对于-<x<0也成立. sinx<x<tanx, 即cosx<x2xx2x 2当0<x<时,0<cosx-=1-cosx =2sin,<2() = 2222 p sinxx2 =1.Qlim=0, lim(1-cosx)=0,limcosx=1, 又Qlim1=1, lim x®0x®0x®0x®0x®02x 例3求下列极限 （1）lim 1-cosx . x®0x2 2sin2 解：原极限=lim x®0 xxx sin2sin =1lim()2 =1×12 =1.=1lim 222x®0(x)22x®0xx2 22 （2）limxsin x®¥ x 解：原极限=lim 1siny =1（令y=） y®0xy （3）lim x®p sinx x-p 解：原极限=lim sin(x-p)+p=-1； x®px-p 1x1n¥ 2.lim(1+)=e，lim(1+x)x=e，lim(1+)=e；“1”型 x®¥n®+¥x®0xn 【说明】 （1）上述三种形式也可统一为模型lim(1+m(x) m(x)®0¥ m(x) =e （2）第二个重要极限解决的对象是1型未定式。 例如，lim(2+x) x®-1 2x+1 ìü =limí1+(x+1)x+1ý=e2 x®-1îþ 例4求下列极限 （1）lim(1-x 1x).x x 解：原极限=lim(1+ 1-x-1 =lim x®¥-x 11 =.-xe(1+) -x æx-2ö （2）limç÷ x®¥x+3èø 5öæ解：原极限=limç1-÷x®¥x+3øè ¥ x - x+3-5x ×5x+ 3=e -5xx®¥x+3lim =e - 5【补充】“1”型计算公式：lim1+f(x) x®x0 g(x) =e x®x0 limg(x)f(x) 其中x®x0时，f(x)®0,g(x)®¥。 证明：lim1+f(x) x®x0 g(x) =limeg(x)In1+f(x)=ex®x0 x®x0 limg(x)In1+f(x) =e x®x0 limg(x)f(x) 例5求下列极限 （1）lim(1+tanx-sinx) x®0 x 【分析】是幂指数函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式 x ¥¥ 解：lim(1+tanx-sinx)=e x®0 1x tanx-sinxx®0xlim =e sinx(1-cosx) x®0xcosxlim =e x3 x®02xlim =1 （2）lim(cosx+sinx) x®0 【分析】是幂指函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式。 2×1 2x 12x sin2xx®02xlim ¥¥ 解：原极限=lim(cosx+sinx) x®0 =lim(1+sin2x) x®0 =e=e。 （3）lim( x®¥ x-2x ) x+3 ¥ ¥ 【分析】是幂指数函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式，但它不是标准型，通过“加1减1”变成标准型。 -5xxlim lim(1+)=e®¥x+3=e-5 解：原极限=x®¥x+3 【思考题1】设有k个正数a1，a2，ak，令a=maxa1，a2，an，求 nn （“大数优先”准则）。 lima1n+a2+L+ak nn an£a1n+a2+L+ak£an+an+L+an=kan=ka -5x n®¥ 解：a= nnn 而limka=a，所以由夹逼准则：limna1+a2+L+ak=a n®¥ n®¥ 【思考题2】设x0>0，xn+1= 12 (xn+)，求limxn n®¥2xn 212 =2，所以数列xn有下界。 (xn+)³xn×xn2xn 解：显然 xn³0。因为xn+1= 121xn2-xn 又因为xn+1-xn=(xn+)-xn=-=£0，所以数列xn单调下降，即 2xnxn22xn n®¥ limxn存在。设limxn=l，则l= n®¥ 12 (l+)，解得l=2，所以limxn=2 n®¥2l 【思考题3】求limcos n®¥ xxx cos2Lcosn； 222 解：原极限=lim n®¥ sinx2nsin x 2n =lim sinx =1(x¹0) n®¥x 【思考题4】求极限lim3+9 x®+¥ ( x 1xx 解：lim3+9 x®+¥ ( x 1xx =lim9 x®+¥ (1xx éæ1öæ1ö çx+1÷ =9×limêç1+x÷ x®+¥3øè3øêëè x 3x ùúúû 13×x =9×e=9 n 【课堂练习】求 lim i n®¥ å2 in +n+i 。 =1 解： n(n+1)212n n2+n+n=n2+n+n+n2+n+n+L+n2 +n+n ? 12n2+n+1n2+n+2+L+n n2+n+n ? 12nn(n+n2+n+1 n2+n+1+L+n2+n+1=1)2 n2 +n+1 而n(n+1)21n(nlim®¥n2+n+n=2， limn+1)2n®¥n2+n+1=12 所以 原极限=1 【内容小结】 o 1、夹逼准则 当 xÎU(x0,d)时，有 f(x)£g(x)£h(x)xlim®xf(x)=A=limh(x)，则lim0 x®x0 x®xg(x)=A。 2、单调有界准则 （1）单调上升有上界的数列，极限一定存在； （2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。 3、两个重要极限（1）lim sinx x®0x =1 (x为弧度）； （2）lim®¥(1+11 x )x =e，limx®0(1+x)xx=e 且 ， 推荐第7篇：数列极限的证明 数列极限的证明 X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限 求极限我会 |Xn+1-A| 以此类推，改变数列下标可得|Xn-A| |Xn-1-A| |X2-A| 向上迭代，可以得到|Xn+1-A| 2只要证明x(n)单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： 证明x(n)单调增加。 x(2)=5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1)=-(分子有理化) =/【+】>0。 证明x(n)有上界。 x(1)=1 设x(k) x(k+1)= 3当0 当0 构造函数f(x)=x*ax(0 令t=1/a，则：t> 1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)x=x/tx(t>1) 则： lim(x+)f(x)=lim(x+)x/tx =lim(x+)(分子分母分别求导) =lim(x+)1/(tx*lnt) =1/(+) =0 所以，对于数列n*an，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim=0 n (2)lim=3/2 n (3)lim=0 n (4)lim0.9999=1 nn个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。Lim就省略不打了。 n/(n2+1)=0 (n2+4)/n=1 sin(1/n)=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了 第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n2+1)=lim(1/n)/(1+1/n2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n2)=0/1=0 lim(n2+4)/n=lim(1+4/n2)=1+lim(4/n2)=1+4lim(1/n2)=1 limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0 推荐第8篇：数列极限的证明