概率论与数理统计习题解答(第二版-)李书刚编,科学出版社.doc

''第一章 随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10 件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下（1）S= 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12（2）S= (x, y)| x2+y202. 设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列事件：（1）A 发生，B 和 C 不发生；（2）A 与 B 都发生，而 C 不发生；（3）A、B、C 都发生；（4）A、B、C 都不发生；（5）A、B、C 不都发生；（6）A、B、C 至少有一个发生；（7）A、B、C 不多于一个发生；（8）A、B、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (8)ABCABCABCABCABCABCABBCAC ABBCC A3在某小学的学生中任选一名，若事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示该生是三年级学生，事件 C 表示该学生是运动员，则（1）事件 AB 表示什么？（2）在什么条件下 ABC=C 成立？ （3）在什么条件下关系式是正确的？CB （4）在什么条件下成立？AB解 所求的事件表示如下（1）事件 AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员. ''（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C 成立. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式是正确的. CB （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，成立. AB4设 P(A)0.7，P(AB)0.3，试求()P AB解 由于 AB = A AB, P(A)=0.7 所以P(AB) = P(AAB) = P(A)P(AB) = 0.3,所以 P(AB)=0.4, 故 = 10.4 = 0.6.()P AB5. 对事件 A、B 和 C，已知 P(A) = P(B)P(C) ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 求1418 A、B、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于故 P(ABC) = 0,()0,ABCAB P AB则 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC)111150 0044488 6. 设盒中有 只红球和 b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：A两球颜色相同，B两球颜色不同. 解 由题意，基本事件总数为，有利于 A 的事件数为，有利于 B 的事件数为2 a bA22 abAA , 1111112abbaabA AA AA A则 2211222( )( )ababa ba bAAA AP AP BAA7. 若 10 件产品中有件正品，3 件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设 A=取得三件次品 则.33 33 33 101016( )( )120720或者CAP AP ACA （2）设 B=取到三个次品, 则.33327( )101000P A8. 某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语，35 人会讲日语，32 人会讲日语和英语，9 人 会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；（2）此人只会讲法语的概率. 解 设 A=此人会讲英语, B=此人会讲日语, C=此人会讲法语 根据题意, 可得 (1) 32923()()()100100100P ABCP ABP ABC(2) ()()()P ABCP ABP ABC()01()P ABP AB 1( )( )()P AP BP AB 433532541100100100100 9. 罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子 4 颗黑子，若从中任取 3 颗，求：''（1）取到的都是白子的概率；（2）取到两颗白子，一颗黑子的概率；（3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（4）取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设 A=取到的都是白子 则. 3 8 3 1214( )0.25555CP AC(2) 设 B=取到两颗白子, 一颗黑子. 21 84 3 12( )0.509C CP BC(3) 设 C=取三颗子中至少的一颗黑子. ( )1( )0.745 P CP A(4) 设 D=取到三颗子颜色相同. 33 84 3 12()0.273CCP DC10. （1）500 人中，至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少(1 年按 365 日计算)？ （2）6 个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解(1) 设 A = 至少有一个人生日在 7 月 1 日, 则500500364( )1( )10.746365 P AP A(2)设所求的概率为 P(B)412 612 611( )0.007312CCP B11. 将 C，C，E，E，I，N，S 7 个字母随意排成一行，试求恰好排成 SCIENCE 的概率 p. 解 由于两个 C，两个 E 共有种排法，而基本事件总数为，因此有22 22A A7 7A22 22 7 70.000794A ApA12. 从 5 副不同的手套中任取款 4 只，求这 4 只都不配对的概率. 解 要 4 只都不配对，我们先取出 4 双，再从每一双中任取一只，共有中取法. 设44 52C A=4 只手套都不配对，则有44 5 4 10280( )210CP AC13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第 i 只零件是不合格的概率为，i=1，2，3，若以 x 表示零件中合格品的个数，则 P(x=2)为多少？ 11ip i 解 设 Ai = 第 i 个零件不合格，i=1,2,3, 则1()1iiP Api 所以 ()11iiiP Api 123123123(2)()()()P xP A A AP A A AP A A A由于零件制造相互独立，有：，123123()() () ()P A A AP A P A P A123123()() () ()P A A AP A P A P A123123()() () ()P A A AP A P A P A''11112111311,(2)23423423424P x 所以14. 假设目标出现在射程之内的概率为 0.7，这时射击命中目标的概率为 0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率 p. 解 设 A=目标出现在射程内，B=射击击中目标，Bi =第 i 次击中目标, i=1,2.则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式12( )()() ()( ) (|) ( ) ()|)P BP ABP AB P ABP A P B A P A P BBA 另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36由加法公式P(B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84因此 P(B)= P(A)P(B1+B2)|A)=0.7×0.84 = 0.58815. 设某种产品 50 件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为 0.35，有 1，2，3，4 件次品的概率分别为 0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取 10 件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率. 解 设 Ai =一批产品中有 i 件次品，i=0, 1, 2, 3, 4, B=任取 10 件检查出一件次品,C=产品中次品不超两件, 由题意 019 149 110 5019 248 210 5019 347 310 5019 446 110 50(|)01(|)516(|)4939(|)98988(|)2303P B AC CP B ACC CP B ACC CP B ACC CP B AC由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 40( )() (|)0.196ii iP BP A P B A由 Bayes 公式00 011 122 2()(|)(|)0() ()(|)(|)0.255() ()(|)(|)0.333()P AP B AP ABP B P A P B AP ABP B P AP B AP ABP B 故 20( )(|)0.588i iP CP AB16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏 2%，10%和 90%的概率分别为''0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）. 解 设 B=三件都是好的，A1=损坏 2%, A2=损坏 10%, A1=损坏 90%，则 A1, A2, A3是两两互斥, 且 A1+ A2 +A3=, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13,由全概率公式31333( )()(|)0.80.980.150.900.050.100.8624ii iP BP A P B A由 Bayes 公式, 这批货物的损坏率为 2%, 10%, 90%的概率分别为 313233()(|)0.80.98(|)0.8731( )0.8624 ()(|)0.150.90(|)0.1268( )0.8624 ()(|)0.050.10(|)0.0001( )0.8624iiiiiiP A P B AP ABP B P A P B AP ABP B P A P B AP ABP B由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2.17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含 0，1 和 2 件残次品的箱各占 80%，15%和 5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4 只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：（1）一次通过验收的概率 ；（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率 . 解 设 Hi=箱中实际有的次品数, , A=通过验收0,1,2i则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：04 23 14 24 4 22 24 24(|)1,5(|),695(|)138P A HCP A HCCP A HC(1)由全概率公式20( )()(|)0.96ii iP AP HP A H(2)由 Bayes 公式 得00()(|)0.8 1(|)0.83( )0.96iP HP A HP HAP A18. 一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率为 0.1，问在同一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？解 设 5 台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是 5 重伯努利试验. 由题意，有 p=0.1, q=1p=0.9, 故''(1) 223 155(2)(0.1) (0.9)0.0729PPC(2) 2555(3)(4)(5)PPPP332441550 555(0.1) (0.9)(0.1) (0.9)(0.1) (0.9)0.00856CCC''第二章 随机变量及其分布1. 有 10 件产品，其中正品 8 件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数 X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示：X012p 28/45 16/45 1/452. 进行某种试验，设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，3 41 4 以 X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X 的分 布律，并计算 X 取偶数的概率. 解 X 的分布律为：113(),1,2,3,44k P XkkX 取偶数的概率：2113(2 )44 11116331165116kkP XP Xk k=1k=1k=1为偶数3. 从 5 个数 1，2，3，4，5 中任取三个为数.求：123,x x x Xmax ()的分布律及 P(X4)；123,x x x Ymin ()的分布律及 P(Y>3). 123,x x x解 基本事件总数为：，3 510C X345''(1)X 的分布律为：P(X4)=P(3)+P(4)=0.4(2)Y 的分布律为P(X>3) =04. C 应取何值，函数 f(k) =，k1，2，>0 成为!k Ck分布律？解 由题意, , 即1( )1kf x0110(1)1!0!kkkkkkCCCC ekkk解得：1 (1)Ce5. 已知 X 的分布律X112P 1 62 63 6p 0.1 0.3 0.6Y123p 0.6 0.3 0.1''求：（1）X 的分布函数；（2）；（3）. 1 2P X312PX 解 (1) X 的分布函数为( )()kk xxF xP Xxp;0,1 1/6,11( )1/2,12 1,2x xF xx x (2) 11(1)26P XP X (3) 31()02PXP 6. 设某运动员投篮投中的概率为 P0.6，求一次投篮时投 中次数 X 的分布函数，并作出其图形. 解 X 的分布函数 00( )0.60111xF xxx 7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为 p，求： （1）三次射击中恰好命中两次的概率； （2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的 概率是多少？解 设 A=三次射击中恰好命中两次，B=目标被击毁，则(1) P(A) =223 22 33(2)(1)3(1)PC pppp (2) P(B) =223 2333 323 3333(2)(3)(1)(1)32PPC ppC pppp8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分 布，求： （1）每分钟恰有 6 次呼唤的概率；F(x)0x10.61''（2）每分钟的呼唤次数不超过 10 次的概率. 解 (1) P(X=6) =或者6 440.104!6!k eekP(X=6) = = 0.21487 0.11067 = !k ek446744 !kkkkeekk 0.1042.(2) P(X10) = 10 440114411 0.00284!kkkkeekk 0.997169. 设随机变量 X 服从泊松分布，且 P(X1)P(X2)，求 P(X4)解 由已知可得， 12 ,1!2!ee解得 =2， (=0 不合题意)= 0.094 22,(4)4!P Xe因此10.商店订购 1000 瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率 为 0.003，求商店收到的玻璃瓶， （1）恰有两只；（2） 小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率. 解 设 X=1000 瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数，则 X 服从参数为 n=1000, p=0.003 的二项分布，即XB(1000, 0.003), 由于 n 比较大，p 比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即 X(3). 因此''(1) P(X=2) 2 330.2242!e(2)323(2)1(2)11 0.80080.1992!kkP XP Xek (3)333(2)(2)0.5768!kkP XP Xek (4) 313(1)0.9502!kkP Xek 11.设连续型随机变量 X 的分布函数为20,0( ),011,1xF xkxxx 求：（1）系数 k；（2）P(0.2580/100)=P(Z>0.8)=120.812 (1)0.0272xx dx如果供电量只有 80 万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=120.912 (1)0.0037xx dx14.某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单 位 小时)都服从同一指数分布，分布密度为''6001,0( )600 0,x exF xx 0 试求在仪器使用的最初 200 小时以内，至少有一只电子 元件损坏的概率. 解 设 X 表示该型号电子元件的寿命，则 X 服从指数分布， 设 A=X200，则P(A)=12006003 011600x edxe 设 Y=三只电子元件在 200 小时内损坏的数量，则 所求的概率为：1 003 033 31(1)1(0)1( ) (1( )1 ()1P YP YC P AP Aee 15.设 X 为正态随机变量，且 XN(2，)，又 P(20 时，222222112( )()|()'|( )|'|22yyyYXXfyfyyfyyeee 当 y0 时，0( )Yfy 因此有 2 22,0() 0,0yYeyfy y22.若随机变量 X 的密度函数为2X-4046p1/7 1/7 3/7 2/7X2049p1/7 4/7 2/7''23,01( )0,xxf x 其他求 Y 的分布函数和密度函数. 1 x解 y= 在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)= , y>1, 1 x1 yh(y)=21 y222411113( ) ( )|( )|3YXXfyfh yh yfyyyyy因此有 43,1( ) 0,Yyyfy other Y 的分布函数为：433131,1( )10,yYyy dyyyyFyother 23.设随机变量 X 的密度函数为22,0(1)( )0,0xxf xx 试求 YlnX 的密度函数. 解 由于严格单调，其反函数为, lnyx( ),'( )yyh yeh ye且 则2() ()|() |() 2 (1) 2,()yyYXX yyyyfyfh yhyfee e e yee 24.设随机变量 X 服从 N(,)分布，求 Y的分布密度. 2xe''解 由于严格单调，其反函数为y>0, xye1( )ln ,'( ),h yyh y且y 则2 21(ln)21( ) ( )|( ) |(ln)1,02YXXyfyfh yhyfyyeyy 当时( )0Yfy 0y 因此 2 21(ln)21,0( )2 0,0yYeyfyy y 25.假设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y 在区间(0, 1)上服从均匀分布. 21xe 解 由于在(0, +)上单调增函数，其反函数为：21xye 1( )ln(1), 01,2h yyy 并且，则当1'( )2(1)h yy01y12(ln(1)2( ) ( )|( ) | 11(ln(1)22(1)1212(1)YXXyfyfh yhyfyyey 当 y0 或 y1 时，=0.( )Yfy 因此 Y 在区间(0, 1)上服从均匀分布.26.把一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中正面出现的次 数，Y 表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之 差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布. 解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3 次正面， 2 次正面 1 次反面, 1 次正面 2 次反面, 3 次反面, 对应的 X,Y 的取值及概率分别为 P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1)=1 82 2 3113 228C ''P(X=1, Y=1)= P(X=0, Y=3)= 3 1 1 3113 228C311 28 于是， （X，Y）的联合分布表如下： X Y0123103/83/80 31/8001/827.在 10 件产品中有 2 件一级品，7 件二级品和 1 件次品， 从 10 件产品中无放回抽取 3 件，用 X 表示其中一级品件 数，Y 表示其中二级品件数，求： （1）X 与 Y 的联合概率分布；（2）X、Y 的边缘概率分布；（3）X 与 Y 相互独立吗？解 根据题意，X 只能取 0，1，2，Y 可取的值有： 0，1，2，3，由古典概型公式得： (1) 其中,271 3 10(,),ijkijC C CpP Xi YjC3,0,1,2,ijki0,1,2,3j ,可以计算出联合分布表如下 0,1k Y X0123ip:00021/120 35/120 56/1201014/120 42/120056/12021/1207/120008/120jp:1/120 21/120 63/120 35/120(2) X,Y 的边缘分布如上表 (3) 由于 P(X=0,Y=0)=0, 而 P(X=0)P(Y=0)0, P(X=0,Y=0)P(X=0)P(Y=0), 因此 X,Y 不相互独立.''28.袋中有 9 张纸牌，其中两张“2” ，三张“3” ，四张“4” ， 任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数 分别为 X 和 Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以 及概率 P(XY>6)解 (1) X,Y 可取的值都为 2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分 布为： Y X234ip:222 29/1/36AA 112 239/1/12A AA 112 249/1/9A AA 2/93112 329/1/12A AA 22 39/1/12AA 112 349/1/6C CA 1/34112 429/1/9A AA 112 439/1/6A AA 22 49/1/6AA 4/9jp:2/91/34/9(2) P(X+Y>6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4) =1/6+1/6+1/6=1/2.29.设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为,( , )arctanarctan23xyF x yA BC求：（1）系数 A、B 及 C； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X，Y 的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机变量 X 与 Y 是否独立？解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -) =0, F(-,y) =0, F(- , -) =0, F(+, +)=1, 可以得到如下方程组：''arctan022arctan023022122xA BCyA BCA BCA BC 解得：21,22ABC (2) 2222( , )6( , )(4)(9)F x yf x yx yxy (3) X 与 Y 的边缘分布函数为：211( )( ,)arctanarctan222222XxxFxF x 211( )(, )arctanarctan222322YyyFyFy X 与 Y 的边缘概率密度为：' 22( )( )(4)XXfxFxx' 23( )( )(9)YYfyFyy (4) 由(2),(3)可知：, 所以 X，Y 相互独立. ( , )( )( )XYf x yfx fy30.设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为-(x+y)e,0,( , )0,xf x y 其他（1）求分布函数 F(x, y)；（2）求(X，Y)落在由 x0，y0，xy1 所围成的三角形区域 G 内的概率. 解 (1) 当 x>0, y>0 时， ()00( , )(1)(1)yxu vxyF x yedudvee 否则，F(x, y) = 0.(2) 由题意，所求的概率为''11()100( , )( , )120.2642Gxx yP x yGf x y dxdydxedye 31.设随机变量（X，Y）的联合概率密度为-(3x+4y)Ae,0,0,( , )0,xyf x y 其他求：（1）常数 A；（2）X，Y 的边缘概率密度；（3）(01, 02)PXY.解 (1) 由联合概率密度的性质，可得(34 )00( , )1/12xyf x y dxdyAedxdyA 解得 A=12. (2) X, Y 的边缘概率密度分别为：(34 )30123,0( )( , ) 0,xyxXedyexfxf x y dy other (34 )40124,0( )( , ) 0,xyyYedxeyfyf x y dx other (3) (01, 02)Pxy21(34 )003812(1)(1)xyedxdyee 32.设随机变量（X，Y）的联合概率密度为2,01, 02,( , )3 0,xyxxyf x y 其他 求 P(XY1).解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线 x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1 围的区域 G 中, 则''122012310( , )( , )3 4565 32672GxP x yGf x y dxdyxydxxdyxxxdx33.设二维随机变量(X, Y)在图 2.20 所示的区域 G 上服从均 匀分布，试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度. 解 由于(X, Y)服从均匀分布，则 G 的面积 A 为：, 2112001( , )()6xx GAf x y dxdydxdyxxdx(X, Y)的联合概率密度为：.6, 01( , )0,xf x yother X,Y 的边缘概率密度为：2 266(),01( )( , ) 0,xxXdyxxxfxf x y dy other 66(),01( )( , ) 0,yyYdyyyyfyf x y dx other 34.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0, 0.2)上服 从均匀分布，Y 的概率密度是55,0( )0,0yyeyfyy求：（1）X 和 Y 和联合概率密度； （2）P(YX).解 由于 X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以( )1/0.25Xfx (1) 由于 X，Y 相互独立，因此 X, Y 的联合密度函数为：525,0, 00.2( , )( )( )0,yXYeyxf x yfx fyother (2) 由题意，所求的概率是由直线 x=0, x=0.2, y=0, y=x 所围的区域，y=x0 0.2 xy''如右图所示， 因此0.25000.25110()( , )255111xyGxP YXf x y dxdydxedyedxee 35.设（X，Y）的联合概率密度为 1,01, 02( , )2 0,xyf x y 其他求 X 与 Y 中至少有一个小于 的概率.1 2 解 所求的概率为0.50.5120.50.511()()22111,221( , )15128PXYP XYf x y dxdydxdy 36.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且X 113 Y 3 1P P 1 21 53 101 43 4求二维随机变量（X，Y）的联合分布律. 解 由独立性，计算如下表 X Y-113jp:-31/81/20 3/40 1/413/83/20 9/40 3/4ip:1/21/56/2037.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为''X123Y1 1 61 91 182 abc（1）求常数 a，b，c 应满足的条件；（2）设随机变量 X 与 Y 相互独立，求常数 a，b，c. 解 由联合分布律的性质，有：, 即 a + b + c =11116918abc12133又，X, Y 相互独立，可得 1 11:6 9 18a b c 从而可以得到： 121,399abc38.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为22232,0,1,1( , ),0, 01,1 0,xxyx x yF x yxyx 其他，求边缘分布函数与，并判断随机变量 X 与 Y 是( )xF x( )yFy 否相互独立. 解 由题意, 边缘分布函数2222lim,0( )( ,)11 0,0yXxxxFxF xxx x 下面计算 FY(y)''23 3 2220,0( )(, )lim,011lim1,11Yxxyx yFyFyyyx xyx 可以看出，F(x,y)= Fx(x) FY(y), 因此，X，Y 相互独立. 39.设二维随机变量（X，Y）的联合分布 函数为1 32,1,1( , ) 0,yexyf x yx 其他，求边缘概率密度与，并判断随机变量 X 与 Y 是( )Xfx( )Yfy否相互独立. 解 先计算, 当 x1 时, ( )Xfx( )0Xfx 当 1x0 时, 121 2011( )02Xfxxydyxyyx再计算, 当 y1 时, ( )Yfy( )0Yfy ''当 1y0 时, 120111( )022Yfyxydxxyxy由于, 所以随机变量 X,Y11( , )( )( )22XYf x yxyfx fyxy 不独立 41.设二维随机变量（X，Y）的联合分布 函数为22,00( , )0,xyexyf x y 其他求随机变量 ZX2Y 的分布密度. 解 先求 Z 的分布函数 F(z):2( )()(2)( , )D XYzF zP ZzP XYzf x y dxdy当 z0, y>0, x2yz求得2220( )2zzyxyF zdyedx 224122zyy zzeedye当 z0 时，积分区域为：D=(x,y)|x>0, y>0, x2yz，2200( )2zyxyF zdyedx 2401212yy zzeedye 由此, 随机变量 Z 的分布函数为 11,02( )1,02zzez F z ez 因此, 得 Z 的密度函数为： 1,02( )1,02zzez f z ez 42.设随机变量 X 和 Y 独立， X，Y 服从b，b(b>0)上的均匀分布，求2()N 随机变量 ZXY 的分布密度. 解 解法一 由题意，0 z x yz x yx yyx2y=zx2y=zz x yx y0 z x yD yyD y''22()211( )()( )22z y abXYbF zfzy fy dyedyb 令则)/, ,zyatdydtyb b (22111( )222z b az b at z b az b aF zedtbb 解法二22( )( )(),1()1( )222 11 2211121 2XYz bz bF zfx fzx dx-b 0 时有非零值，仅当 zx>0，即 z>x( )Xfx()Yfzx 时有非零值，所以当 z0 时，有 0>z>x, 因此11 32()011( )23zz xx ZFzeedx1 6332 01 6zzzzxedxee44.设（X，Y）的联合分布律为X 0123''Y000.050.080.1210.010.090.120.1520.020.110.130.12求：（1）ZXY 的分布律；（2）Umax（X，Y）的分布律；（3）Vmin（X，Y）的分布律. 解 (1) X+Y 的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12Z=X+Y 的分布如下 Z01