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''高等代数第一学期试题库高等代数第一学期试题库一、选择题一、选择题( (每题每题 3 3 分分) )第一章：多项式第一章：多项式1在有理数域内，下列多项式那一个是不可约的 【 】(A) (B) 13x136 xx(C) (D)1226 xx3236 xx2多项式有重根的条件 【 】0,23qqpxx(A); (B) 2743pq 1274pq3 (C) (D)12743 pq274pq3 3. 数域 P 上多项式中两个多项式，则xP)(),(xgxf1)()()()(,)(),(xgxvxfxuxPxvxu是互素的（ ）条件 【 】)(),(xgxf(A)充分必要 (B)充分 (C)必要 (D)及非充分也非必要4、多项式被除余，被除余，则= 【 】)(xf12x1x123 xx12x)(xf(A) (B) 2323)(34xxxxfxxxxf323)(34(C) (D) 2323)(34xxxxf2323)(34xxxxf5、数域 P 上多项式中多项式，是xP)(),(),(xdxgxf)(xd)(),(xgxf的最大公因式充分必要条件是 【 】(A) ,)(),()()(, )()(xPxvxuxgxdxfxd)()()()()(xdxgxvxfxu(B) 1)()()()(,)(),()()(, )()(xgxvxfxuxPxvxuxgxdxfxd''(C) )()()()()(,)(),(xdxgxvxfxuxPxvxu(D) )()(, )()(xgxdxfxd6、有理系数方程的有理根是 【 】01415623xxx(A)1; (B)-1; (C)2; (D)-2;7、用除,则商与余式【 】)(xg)(xf2)(, 52)(24xxxgxxxf)(xq)(xr75)(, 1)()(; 75)(, 1)()(75)(, 1)()( ; 75)(, 1)()(2222xxrxxxqDxxrxxxqCxxrxxxqBxxrxxxqA8、与的最大公因式 【 】)(xf)(xg124624)(, 110)(23424xxxxxgxxxf(A) (B) ; 1)(),( xxgxf; 1)(),(xgxf(C) (D)1; 122)(),(2xxxgxf9、设的最大公因式是一个二次多项式，utxxxguxxtxxf323)(,22)1 ()(（ ） 。 【 】ut),(A (B); 0, 4ut; 0, 4ut(C) (D); 1, 4ut2, 4ut10多项式在实数域内可分解为 【 】1415623xxx(A) (B) )74)(2(2xxx)74)(2(2xxx(C) (D) )74)(2(2xxx)7)(4)(2(xxx11、的有理根 【 】157424xxx1 )(; 1)(;21,21)(; 1 , 1)(DCBA12、如果 ，则为 【 】, 1) 1(242BxAxxBA,(A) (B) (C) (D) 2, 1BA1 BA2, 1BA1, 0BA13、a=( ),b=( )时，f(x)能被 g(x)整除。【 】1)(,63)(2234xxgbaxxxxxf(A) (B) 1, 9ab1 ab''(C) (D) 3, 7ab0 ab14、适合（ ）时，有； 【 】qpm,qpxxmxx32|11,2)(;, 1)(1, 01,2)(;, 1)(2222qpmpDmqmpCqpmqmpBmqmpA。二、填空题二、填空题( (每题每题 5 5 分分) )1.如果多项式在有理数域上可约，则（ ）1)(3axxxfQa2实系数多项式有重根的条件（ ）baxx333在有理数域内因式分解 （ ）1015623xxx4.的最大公因式 （ ）2334) 1() 1()(),1()2() 1()(xxxgxxxxf5. （ ）136 xx。6,在有理数域内是否可约的？（ ）。ppxxp, 17.当 = （ ） 时，有重根.t13)(23txxxxf8.多项式在复数范围内的因式分解为( ) 14x9.在有理数域内因式分解( )49623xxx三、计算题三、计算题1、 （本题 10 分，中）设多项式 f(x)除以的余式分别为 x+4，x+8，求 f(x)除以2, 122xx的余式。)2)(1(22xx2、 （本题 10 分，中）设是方程的三个根，计算321,0876523xxx).)()(2 3312 12 3322 22 2212 1第四题：证明题第四题：证明题1、 （本题 10 分，中）设是整系数多项式,且 P(0) 及 P(1)都是奇数,证明没有整数根。)(xp0)(xp2、 （本题 10 分，基础）证明：如果，且为与的一个组合，)(| )(),(| )(xgxdxfxd)(xd)(xf)(xg''那么是与的一个最大公因式.)(xd)(xf)(xg3、 （本题 10 分，基础）证明：如果那么),()() 1(3 23 12xxfxfxx).() 1(),() 1(21xfxxfx4、 （本题 10 分，基础）证明：三次方程的三个根成等差数列的充要条件0322 13axaxax为. 027923213 1aaaa5、 （本题 10 分，难）设都是数域 P 上多项式，满足)(),(),(xhxgxf0)()2()() 1()() 1(0)()2()() 1()() 1(22xgxxfxxhxxgxxfxxhx证明：是与的公因式。12x)(xf)(xg6、 （本题 10 分，难）设都是大于 1 的整数，nm, 1)(1xxxfm, 1)(1xxxgn证明：1),(1)(),(nmxgxf7、 （本题 10 分，基础）如果那么),() 1(nxfx ).() 1(nnxfx 8、 （本题 10 分，基础）设且，证明)()()(),()()(11xdgxcfxgxbgxafxf0bcad)(),()(),(11xgxfxgxf9、 （本题 10 分，基础）设数域,证明：在数域 P 中，若PxPxgxf,)(),(33)()(xgxf，则。)()(xgxf10、 （本题 10 分，基础）证明：次数0 且首项系数为 1 的多项式是某一不可约多项式的方)(xf幂的充分必要条件是对任意的多项式由可以推出,或者对某),(),(xhxg)()()(xhxgxf)()(xgxf一正整数, .m)()(xhxfm'' 第二章：行列式第二章：行列式1 【 】xaaaaxaaaaxaaaaxDn.(A) (B) 1)() 1(naxanxnaxanx)() 1(C) (D)0naxanx)() 1(2、),(B),2 ,(A12324321【 】ACBC40, 5),3,32 ,2(144221(A)8; (B)7; (C)6; (D)5 3、设 A 为矩阵，B 为矩阵，且，则|AB|= 【 】nmmnnm (A) (B)1 (C)2 (D) 064、若是线性无关的 3 位列向量，则下列行列式等于零的是 【 】321,(A) (B),(321312321,(C) (D)321321,2,312321,5、设为阶方阵，满足，则必有 【 】An0532EAA(A) (B)0 EA14EAEA(C) (D) 14EAEA1, 14EAEA6、设为 n 阶方阵，则 【 】A092 EA0AA(A) (B) 3 (C) (D) n3337、 【 】)(765432321718191000000 3121(A)1; (B)2; (C)0; (D)38， 【 】0333231232221131211 m aaaaaaaaa D 3332313123222121131211111 434343aaaaaaaaaaaa D''(A)-3m; (B )3m; (C)12m; (D)-12m;9= 【 】2222222222222222)3()2() 1()3()2() 1()3()2() 1()3()2() 1(ddddccccbbbbaaaa(A) (B) (C) (D) 0abcd2222dcba610、设矩阵则 【 】,bBaABAnnnn0520BAabAn10)(abBn10)(abCnn10) 1)(abCn10) 1)(211、设 3 阶矩阵 A 的伴随矩阵为,且, 【 】A21AAA2)3(1(A) (B) (C) (D) 21 2716 1627 271612、成奇排列，则 【 】9561274ki9, 3)( ; 5, 4)( ; 9, 2)( ; 8, 3)(kiDkiCkiBkiA13、排列的逆序数 【 】01347826951 (A)2; (B)10; (C)8; (D)914、设为 n 阶方阵，则= 【 】CBA, BCOAC*C(A) (B) (C)0 (D) 12 nABnAB1nAC15、设 A,B 是 3 阶矩阵，则=【 】BAEAB2 101020101 A1B； ; ; 15)(A15)(B0)(C151)(D16、设,C 为 n 阶方阵= 【 】BA,CBA 02;2) 1)(;2)(CABCAAnnnnnnDBAC2) 1)(;2) 1)(17、在阶行列式中，这两项应带有什么符号？6256651144332651456423123;aaaaaaaaaaaa【 】 (A)+,+; (B)+,-; (C)-,-; (D)-,+''18、 【 】1)(000100002000010AnnA0)(; !)(;!1)(;!1)(DnCnBnA19、矩阵可逆，则 【 】2.111.211.12aaaaaaA;111)(nnaaA;111)(nnaaB;111)(nnaaC1)(aD20、 【 】*2000000100200100AnnA(A) (B) (C) (D)1; ! n; ! n;) !() 1(212)1)(2(2 nnn nn21、 = 【 】xyyxyxyx000000000000(A) (B);) 1(1nnnyx;nnyx (C) (D);) 1(nnnyxnnyx 22、已知,且,为实数，则 【 】A2000000213031011442A01A(A)(B) (C) (D) 10。10。23''23、 【 】xzzzzyyxzzyyyxzyyyyx(A) (B)3 (C) 2 (D) 4yzzxyyxznn)()(24、 = 【 】n222232222222221(A) (B) (C) (D);)!2(2n; ! n;)!2(2n1!n25、A 是 5 阶方阵， 【 】*)(5AAA(A); (B) ; (C); (D)2452058530526、行列式的第四行代数余子式之和 【 】4321130011201111(A)0; (B)1; (C)2; (D)327、 【 】 222222111111 baaccbbaaccbbaaccb2221112221112221113)(; 0)(;2)(;)( cbacbacba DC cbacbacba B cbacbacba A28、D=,则 D 的第四行元素的余子式之和 【 】2235007022220403(A)-20 (B)-28 (C)0 (D)329、, 【 】 543022001 A EA2(A)1 (B)2 (C)0 (D)3''第二题：填空题第二题：填空题1设则=( ),41132132100120001),(4321A42113,3 ,22（ ）nnnnnnabaaaaabaaaaabaaaaabbbb32133213221321121, 0,3，则（ ） 1,1111,232121 BOOACBA*C4设三维向量组满足，则（ ） 032321),(3215已知 A 为三阶方阵，且满足，则（ ） 5, 022AEAA EA26若，则（ ） TA,4321,0011A7设为 4 阶方阵，设为的第个列向量，则A1AkAk),(4321A（ ）42113,3 ,28，A 为三阶矩阵，TTT)0 , 0 , 1 (,)0 , 1 , 1 (,) 1 , 1 , 1 (,A，则（ ） 3,2AA2A9、),(4321A),93,42,(4321321321B，如果，则 ( ) 1AB10、，矩阵 B 满足，其中为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， 100021012 AEBAABA*2*A则 ( ) B11、设 3 维向量组满足，( )321321,321)3,2,(32''12、已知 4 阶行列式 D 的第三行元素分别为，第四行元素对应的余子式依次为4 , 2 , 0 , 12，20，a，4，则 a=（ ） 13、 （ ） 122101000000010001000nn axaxaxaxax14、已知阶矩阵 （ ） n AEAn 010115、，则（ ） 111011001 , 3000200011PAPPEAAA24216、（ ） 1112222bbaababa17、设是的三个解，则= （ ） 321,bAx ,)4 , 3 , 2 , 1 (,)8 , 7 , 6 , 5(321TTA18、设 A、B 都是 4 阶方阵，, 3, 1432ABA是 4 维列向量，则 （ ） 432432,B BA19、，A 为三阶矩阵，TTT)0 , 0 , 1 (,)0 , 1 , 1 (,) 1 , 1 , 1 (,A，则 （ ）3,2AAEAA220、均为阶方阵，则 （ ） BA,n3, 2BA1*2BA21、设，则 X= （ ） ； （ ） 121021102101010001 XX22、设则= （ ） ,41132132100120001A22A23、设阶方阵 A 的每一行元素之和都等于 0，则（ ） nA''24、，则2)(,321022001 ,100010002 ,23 xxxxfCBBCCA)(Af（ ）25、设三维向量组满足，则（ ） 3213)4 ,3 ,2(32126、（ ）0000000002121215432154321eeddccbbbbbaaaaa27、设，则（ ） 333223211321, 1),(AA),(32128、（ ） 24000300210500020101300021001 XX29、设为阶矩阵，为的伴随矩阵，且，= （ ）An*AA31|A*1 1541AA 30、，矩阵 B 满足，其中为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， 100021012 AEBAABA*2*A则 ( )13B31、是矩阵，是 4 维列向量，),(),(432432BA44432,)(B-A1B4A 。32、设 A 为 3 阶方阵,且,则81A).(212 1 A33、，则的系数（ ） ，的系数（ ）44434241343332312423222114131211)(axaaaaaxaaaaaxaaaaaxxf4x3x''34、 = ( )yyxx111111111111111135、= （ ） 1)2(222232222222221AnA36、n 阶行列式( )210000121000012000000210000121000012nD三、计算题三、计算题1(本题 8 分，基础)，求.3322221212123412211154321A14131211MMMM2、(本题 8 分，基础)计算阶行列式.n1112112112112111nnnnDn3、(本题 10 分，基础)，计算.1234530211114131D44434241AAAA4、(本题 10 分，基础)，求.3322201010123412211154321A3534131211,AAAAA''5、(本题 10 分，中)设为常数.babAaEaaAijnnij, 1,)(。6、(本题 10 分，基础)D=,求 D 的第四行元素的余子式之和.22350070222204037、 （本题 10 分，难）计算行列式n nnnnn nnnnn nnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxD32111 31 21 133 33 23 122 32 22 132111118、(本题 10 分，中)计算.12122115434321321nnnnnnDn 第四题证明题：第四题证明题：（本题 10 分，中）证明：行列式为互不相同的数）的充要条件是),(0111333 。0'' 第三章：线性方程组第三章：线性方程组1设 n 维向量组线性无关，n 维向量组线性无关的充)(,21nmm)(,21nmm要条件是矩阵与矩阵 【 】),(21mA),(21mB(A)等价 (B)合同(C)一个小于 n,一个等于 n (D) )(),(BrArnBrAr)()(2A 是阶矩阵，且是齐次线性方程组的两个不同解，则nm1)( nAr21,0Ax的通解 【 0Ax】(A) (B) )(21k)(21k(B) (D)2(21k)2(21k3若线性无关，则下列向量组线性无关的是 【 】321,(A) (B)321321,312321,(C) (D)321321,312321,4设满足，则 【 】321,0, 031332211kkkkk(A) 线性相关 (B) 线性无关321,321,(C)与等价 (D)都不对21,31,5齐次线性方程组的系数矩阵为，若存在三阶矩阵，使， 00032132132 21txxxxtxxxtxtx A0B0AB则必有 【 】(A) (B) 0, 2Bt0, 2Bt(C) (D) 0, 1Bt0, 1Bt6设为数域各行元素之和等于 0 的 n 阶方阵，且，则的通解为 【 】AP1)( nAr0Ax(A) (B)RkkT,) 1 , 1 , 1 (PkkT,) 1 , 1 , 1 (C) (D)ZkkT,) 1 , 1 , 1 (QkkT,) 1 , 1 , 1 (7设 n 维列向量组，则线性无关的充要条件是), 2 , 1(), 1 (12nitttn iiiin,21''【 】jittAji,)(nitBi, 2 , 1, 0)(nitCi, 2 , 1, 0)(nitDi, 2 , 1, 1)(8，均为 4 维列向量，线性无关，),(4321A4321,432,，如果，则线性方程组的通解 32124321Ax【 】 11110121)(kA11110121)(kB 11110121)(kC11110121)(kD9.是四阶方阵，若，A2)(Ar)0 , 1 , 0 , 1 (,)4 , 3 , 2 , 1 (, 0AA,则的通解是 【 】0Ax(A) (B) )4 ,4 ,2 ,2(kkkk)4 ,3 ,2 ,(kkkk(C) (D) )4 ,3 ,2 ,(klkklk)4 ,2 ,2 , 0(kkk10若线性相关，则 【 】m,21(A)最大线性无关组所含向量个数小于 m； (B)最大线性无关组所含向量个数大于 m (C)最大线性无关组所含向量个数等于 m； (D)都不对11若，则齐次线性方程组 【 】IAAA,20Ax(A)只有零解 (B)无解 (C) 有非零解 (D)都不对12. 有解，无解，设AXrAr1,)(BYrBr2,)(,Bn21,An21rrn21n,21，则 【 】(A) (B);rrr21;rrr21''(C) (D); 1rrr21. 1rrr2113.A 是矩阵，B 是矩阵，已知有解，则 【 】nmsmBAX 。 0)()D(; 0)()C();()()B();()()A(BrArBrArBrAr14.向量组(*)其秩；向量组(*)其秩，可由向量组(*)s,211rs,212ri线性表出，则下列正确的是 【 】s,21(A)的秩；s2211,s21rr (B) 的秩；s2211,s21rr (C) ,的秩；s,21s,2121rr (D) ,的秩；s,21s,211r15.设为阶非零方阵，且满足，则 【 】BA,n0AB0Ax(A)有非零解 (B)无解 (C)只有零解 (D)有 n 个线性无关的解向量16.设 A 为矩阵,B 为矩阵,则下列命题中不正确的是 【 】 544)(Ar42(A) 有唯一解 (B)必有无穷多解0 XBAT0XBA(C) 有非零解 (D) 必有无穷多解0 XBAT0XAAT17.齐次线性方程组系数矩阵为 A，若存在三阶矩阵，使，则必有 000321321321txxxxtxxxxtx0B0AB【 】(A) (B) 0, 2Bt0, 2Bt(C) (D) 0, 21Bt0, 1Bt18.设 A 为矩阵,且,则下列命题中不正确的是 【 】nmnmAr)(A)只有零解 (B) 有无穷多解0xAT0AxAT(C) 有唯一解 (D) 有解bxAbT ,bAxb ,19.设 n 维向量组(I) 线性无关,(II) 线性无关，且不能由saaa,21t,21), 2 , 1(sii''(II) 线性表出, 不能由(I) 线性表出，则向量组t,21), 2 , 1(tjjsaaa,21【 】saaa,21t,21(A) 一定线性相关 (B)一定线性无关(C)可能线性相关,也可能线性无关 (D)既不组线性相关,又不线性无关20.设为数域各行元素之和等于 0 的 n 阶方阵,且,则线性方程组的通解为AP1)(*Ar0Ax【 】(A) (B) RkkT,) 1 , 1 , 1 (PkkT,) 1 , 1 , 1 (C) (D) ZkkT,) 1 , 1 , 1 (QkkT,) 1 , 1 , 1 (21.已知的增广矩阵可以化为,且方程组有无穷多组解,则参数的取值范Ax200000021303101围必须满足 【 】(A) (B) 10。10。(C) (D) 0122.设 n 阶方阵，),(21nA),(21nB，记向量组 I：，II：，III：，如果),(21nABn,21n,21n,21向量组 III 线性相关，则 【 】 (A)向量组 I 线性相关 (B)向量组 II 线性相关 (C)向量组 I 与 II 线性相关 (D)向量组 I 与 II 至少有一个线性相关23.设 A 与 B 是 n 阶方阵，与有相同的基础解系，则在下列方程组与0Ax0Bx321,为基础解系的
