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2023年高中一年级数学必修一知识点总结 高一数学必修1各章学问点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1) 元素确实定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 u 留意：常用数集及其记法： 非负整数集即自然数集 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1 列举法：a,b,c 2 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xÎR| x-3>2,x| x-3>2 3 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4 Venn图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5 二、集合间的基本关系 1.“包含关系子集 留意：有两种可能1A是B的一部分，；2A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2“相等关系：A=B (55，且55，则5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等 即： 任何一个集合是它本身的子集。AÍA 真子集:假如AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 假如 AÍB,BÍC,那么 AÍC 假如AÍB 同时 BÍA 那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由全部属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB读作A交B，即AB=x|xA，且xB 由全部属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB读作A并B，即AB =x|xA，或xB) 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中全部不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集或余集 S A 记作，即 CSA= 韦 恩 图 示 S A 性 质 AA=A A= AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA AB ABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= 二、函数的有关概念 1函数的概念：设A、B是非空的数集，假如依据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的随便一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 2值域 : 先考虑其定义域 (1)视察法 (2)配方法 (3)代换法 3区间的概念 1区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 2无穷区间 3区间的数轴表示 4映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的随便一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f对应关系：A原象B象 对于映射f：AB来说，则应满意： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 5.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值状况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 二函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) 1增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的随便两个自变量x1，x2，当x11，且* u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。 当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：，u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 1·； 2； 3 二指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R 留意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2、指数函数的图象和性质 a>1 0 定义域 R 定义域 R 值域y0 值域y0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点0，1 函数图象都过定点0，1 留意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 1在上，值域是或； 2若，则；取遍全部正数当且仅当； 3对于指数函数，总有； 二、对数函数 一对数 1对数的概念：一般地，假如，那么数叫做以为底的对数，记作： 底数， 真数， 对数式 说明： 留意底数的限制，且； 留意对数的书写格式 两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数 u 指数式与对数式的互化 幂值 真数 N b 底数 指数 对数 二对数的运算性质 假如，且，那么： ·； ； 留意：换底公式 ，且；，且； 利用换底公式推导下面的结论 1；2 二对数函数 1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是0，+ 留意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，留意区分。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且 2、对数函数的性质： a>1 0 定义域x0 定义域x0 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减 函数图象都过定点1，0 函数图象都过定点1，0 三幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数 2、幂函数性质归纳 1全部的幂函数在0，+都有定义并且图象都过点1，1； 2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； 3时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地靠近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地靠近轴正半轴 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 3、函数零点的求法： 代数法求方程的实数根； 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点： 二次函数 1，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点 2，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 3，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点