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2023年初中最基本的尺规作图总结 第一篇：初中最基本的尺规作图总结 尺规作图 一、娴熟驾驭尺规作图题的规范语言 1.用直尺作图的几何语言： 过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； 连结两点××；或连结××； 延长××到点×；或延长反向延长××到点×，使××××；或延长××交××于点×； 2.用圆规作图的几何语言： 在××上截取××××； 以点×为圆心，××的长为半径作圆或弧； 以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； 分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×.三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 1.已知：当作图是文字语言表达时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满意的条件； 3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保存作图痕迹.对于较困难的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图找寻作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步另外还有第四步证明就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保存作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保存作图痕迹很重要.五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a.求作：线段AB，使AB = a.作法： 1作射线AP； 2在射线AP上截取AB=a.则线段AB就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO即O是MN的中点.作法： 分别以M、N为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；连接PQ交MN于O 则点O就是所求作的的中点。试问：PQ与有何关系？ 题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，AOB，求作：射线OP, 使AOPBOP即OP平分AOB。作法： 1以O为圆心，随便长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N； 2分别以M、为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交AOB内于；3作射线OP。 则射线OP就是AOB的角平分线。题目四：作一个角等于已知角。 求作一个角等于已知角MON如图1 1作射线O1M1；2在图1上，以O为圆心，随便长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；3以O1为圆心，OA的长为半径作弧，交O1M1于点C； 4以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；5过点D作射线O1D 则CO1D就是所要求作的角 题目五：已知三边作三角形。已知：如图，线段a，b，c.求作：ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法： 1作线段AB = c； 2以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心a为半径作弧与 前弧相交于C；3连接AC，BC。 则ABC就是所求作的三角形。 题目六：已知两边及夹角作三角形。已知：如图，线段m，n, a.求作：ABC，使A=a，AB=m，AC=n.作法： 1作A=a； 2在AB上截取AB=m ,AC=n；3连接BC。 则ABC就是所求作的三角形。 题目七：已知两角及夹边作三角形。已知：如图，a，b，线段m.求作：ABC，使A=a，B=b,AB=m.作法： 1作线段AB=m；2在AB的同旁 作A=a，作B=b，A与B的另一边相交于C。 则ABC就是所求作的图形三角形。 其次篇：浅谈尺规作图 浅谈尺规作图 所属县：广西百色市凌云县 单 位：广西百色市凌云县凌云中学 姓 名：唐奕清 内容提要：尺规作图，具有悠久的历史渊源、丰富的教学意义和现实内涵。但由于各种缘由，尺规作图的教学存在着许多不利因素。我们需正视困难和问题，找寻解决问题的途径，提高尺规作图的教学质量。 关键词：尺规作图 教学意义 教学困难 提高途径 尺规作图，是指有限次运用无刻度的直尺和圆规来解决不同的几何作图问题。尺规作图有着悠久的历史，古希腊人最早提出了尺规作图。后经希腊数学家欧几里德在几何本来一书中以理论形式加以明确，并被人们始终所遵守，进而流传至今。 在我国，关于尺规作图的教学始终有着优良的教学传统。根据张景中院士的回忆，在1978年实行的全国中学生数学竞赛中，数学家苏步青就曾写信向主持命题工作的数学大师华罗庚建议，出一道有关尺规作图的题目作为考试试题。这种重视尺规作图的意识，进一步在全日制九年义务教化数学课程标准中得到了表达。标准中明确要求学生能完成一些基本的尺规作图，并能根据一些基本作图探究一些问题；对于尺规作图的过程，要求能写出已知、求作和作法。 尺规作图不仅有悠久的历史渊源，也拥有着丰富的教学意义和现实内涵。首先，尺规作图能够丰富教学情境，培育学生的实践实力。众所周知，尺规作图是一种由学生实际执行的操作，具有不行替代的直观性，特别符合让学生自己动手解决问题的教学理念。在实际教学中，尺规作图是一种情境的创设，即要求在某种条件下，由学生自己动手解决问题。学生能作出一张符合要求的图形，是一种具有挑战性的创建活动，能够激发学生的创建性。因此，在几何教学中强调“视察、操作、推理的今日，尺规作图理应得到足够的重视. 其次，尺规作图能培育学生严谨的学习习惯、严密的规律思维和空间想象实力。尺规作图的一般步骤如下：要求学生画出草图，假设图形已作出；根据图形分析画法；利用尺规严格操作并写出作法；若要求证明，就给出证明；否则就写出结论。学生严格依据步骤进行作图的过程，正是一个猜测、操作、验证的过程，有助于学生养成严谨的学习习惯，培育学生严密的规律思维实力。另外，尺规作图能有效的培育学生的空间想象实力。而空间想象实力正是立体几何教学中的重难点，它干脆影响到学生学习立体几何的效果。从二维到三维的转变，是学生相识客观世界，改造世界的基础。尺规作图可以使学生积累相当的阅历，能有效的培育学生的空间想象实力，是立体几何学习的关键所在。 第三，尺规作图既能呈现数学美，又能培育学生的学习爱好，具有良好的教学效果。数学美是一种特殊的美，是美的高级形式。著名哲学家沙利文曾说过：“秀丽的公式就如但丁神曲中的诗句，黎曼的几何与钢琴合奏曲一样秀丽。在课堂教学中，向学生展示标准图形，能让学生充分感受数学美，启发思维，深化学问的理解。学生自己动手，尺规作图，则能提高审美相识，陶冶情操。 此外，尺规作图有着许多规范的作图语句，如：(l)过点X作某个平面的垂线，垂足为点X；(2)过点X作直线XX的平行线，交直线XX于点X；(3)在XX上截取XX=XX；(4)延长XX到点X，使XX=XX；(5)在线段XX上取中点X，连结XX等等。这些规范作图语句的运用，既可以避开在考试中出现不必要的失分，也能培育学生规范的书面表达实力和与他人合作沟通的实力。因此，我们必需重视尺规作图的教学作用，正视有关尺规作图的教学问题。 然而，随着科学技术的进展、推广和工业生产的需要，各种各样精密的作图工具起先出现。这些工具的运用，虽然便利了人们的需要，但也使得一些人起先怀疑和轻视尺规作图的作用。目前，这种思想已经起先在课堂上漫延，一些老师出于各种缘由，淡化了尺规作图，甚至于在课堂上根本不尺规作图。结合自身的教学实践，我个人认为出现这种现象有以下几个缘由，并结合教学实际，提出一些解决问题的途径，与大家沟通，仅供大家参考。 1：正确相识老师的角色。 数学课程改革提倡以学生为本的教化理念，提倡数学教学是数学活动的教学，提倡同等交往、互动合作、共同进展的师生关系，这就要求老师能够正确相识自身角色。一般中学数学课程标准提出：老师不仅是课程的实施者，而且也是课程的探讨、建设和资源开发的重要力气；老师不仅是学问的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。在日常的教学活动中，老师必需起到引导者和组织者的重要作用，引导学生养成尺规作图的良好习惯，组织特地的尺规作图教学，在教学活动的开展过程中与学生深化沟通、合作，提高学生的尺规作图水平。 2：高度相识尺规作图的作用。之所以出现老师上课“作草图、学生解题“作草图，甚至于在考试中也“作草图的现象，对尺规作图作用的相识不够是根本缘由。正所谓：天再高又怎样，踮起脚尖就更接近阳光，不管出现多少精密、困难的制图仪器，尺规作图是驾驭这些仪器的基础，在教学和社会实践活动中具有不行替代的作用。所以，在当前教材中，从小学、初中到中学数学教材，从平面作图到立体作图，都以特地的章节突显了尺规作图的特色和作用。因此，我们要高度相识到尺规作图的作用前文已述，此处不再赘述，才能提高宽阔师生的尺规作图水平，到达数学新课程标准的要求。 3：不舍本逐末，将尺规作图深化课堂，持之以恒。许多老师和学生认为：尺规作图很麻烦，需要确定的时间，对解题无甚关心，影响到解题的速度。殊不知，这是舍本逐末的做法。俄国数学家沙雷金就说过：将来的几何学习应当重视以下四个步骤，直观感知操作确认思辨论证度量计算。但是中国的几何教学，把前两个步骤忽视了，变成纯粹的思辨论证，以及论证基础上的计算。缺乏直观，事实上就扼杀了几何。这句话一语中的的点出了当前在几何教学中存在的问题。正确的做法是：在教学过程中，老师和学生都应当尺规作图，这样才可以增加学生的直观感知实力。而直观感知实力，是问题解决的第一步，也可为以后的作图和解题积累阅历，提高尺规作图的速度和效率。此外，冰冻三尺，非一日之寒，培育学生的尺规作图实力不是一日这功。老师更不能“三天打渔，两天晒网，而应当将尺规作图深化到几何教学的每一个环节，并且持之以恒，才能到达良好的培育尺规作图实力的效果。 4：认真解决在尺规作图教学中遇到的问题。 在尺规作图的教学和运用过程中会遇到许多困难和障碍,正视这些问题，并有效地解决它，是提高尺规作图教学效果的关键。学生遇到的问题主要有心理障碍、操作障碍和语言障碍等等。解决这些问题的方法多样，许多专家和老师都各有妙招，大家可以查找相关文献去阅读，解决自己在具体教学中遇到的问题。但是有一个总的方针必需把握，那就是：首先应让学生明确作图题与证明题在本质、形式、思维根据、思维方式上的区分与统一，以削减论证思维对作图题的消极影响。其次，也是最重要的一条是根据学生规律推理思维往往要依靠直观、具体的形象的客观实际，要求学生在分析作图步骤之前，先按求作画出草图，并在草图中尽量标出已知的条件，使求作的图形形象而又具体地呈如今学生面前，化抽象为直观。然后再根据已知条件，并以“两点定线、“两线定点的原则考虑作图的步骤。5：引入多媒体教学方式，激发学习爱好。虽然尺规作图仅限于运用无刻度的直尺和圆规，但这并不阻碍我们引入多媒体这一先进的教学手段。通过运用投影仪，老师可以运用和学生一样的直尺，圆规，进行作图。亲历亲为的教学，可以加强学生的直观感知，提高教学效果。此外，附带有尺规作图功能的作图软件，如：几何画板、authorware等软件都可轻松地呈现具体、精确的制图过程。尺规作图的多媒体教学，既可节省教学时间，同时又可激发学生的学习爱好。为以后学生运用更困难、精密的制图仪器打好坚实的基础。当然，这要求老师们不断提高自身的综合素养，娴熟驾驭这些优秀、好用的尺规作图软件，与时俱进，否则会事倍功半，事得其反。 总之，尺规作图具有丰富的教学意义和现实意义，在几何教学中的意义越来越显著。宽阔师生应充分相识到尺规作图的重要内涵，正视在尺规作图教学中遇到的问题，解决它，从而不断提高教学质量，为学生的进展奠基。 参考文献 张景中.新概念几何.中国少年儿童出版社.2023 乐嗣康、崔雪芳、张奠宙.尺规作图教学的现代意义.中学数学月刊.2023年第12期 刘芳.对尺规作图教学的三个思索.中学数学杂志.2023年第10期 中华人民共和国教化部.一般中学数学课程标准(试验).北京:人民教化出版社.2023-4-1 沙雷金.直观几何.上海：华东师范高校出版社.2023-1-1.王孝波.尺规作图的学习障碍及教学对策.教学探讨.1998年第1期 第三篇：初中尺规作图典型例题归纳总结 初中尺规作图典型例题归纳 典型例题一 例 已知线段a、b，画一条线段，使其等于a+2b 分析 所要画的线段等于a+2b，实质上就是a+b+b 画法：1画线段AB=a2在AB的延长线上截取BC=2b线段AC就是所画的线段 说明 1尺规作图要保存画图痕迹，画图时画出的全部点和线不行随便擦去 2其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括表达基本作图 典型例题二 例 如下列图，已知线段a和b，求作一条线段AD使它的长度等于2ab 错解 如图1，1作射线AM；2在射线AM上截取AB=BC=a，CD=b，则线段AD即为所求 错解分析 主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向 图1 图2 正解 如图2，1作射线AM；2在射线AM上，顺次截取AB=BC=a；3在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段 典型例题三 例 求作一个角等于已知角MON如图1 图1 图2错解 如图2，1作射线O1M1；2在图1，以O为圆心作弧，交OM于点A，交ON于点B；3以O1为圆心作弧，交O1M1于C；4以C为圆心作弧，交于点D；5作射线O1D 则CO1D即为所求的角 错解分析 作图过程中出现了不精确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧 正解 如图2，1作射线O1M1；2在图1上，以O为圆心，随便长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；3以O1为圆心，OA的长为半径作弧，交O1M1于点C； 4以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；5过点D作射线O1D 则CO1D就是所要求作的角 典型例题四 例 如下列图，已知及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为，底边为a 分析 先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角B=C=，底边BC=a，故可以先作B=，或先作底边BC=a 作法 如下列图 1MBN=；2在射线BM上截取BC=a；3以C为顶点作PCB=，射线CP交BN于点AABC就是所要求作的等腰三角形 说明 画困难的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步找寻画图步骤 典型例题五 例 如图1，已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CDAB写出作法，画出图形 分析 根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角ECD=EFB即可 作法 如图2 图1 图21过点C作直线EF，交AB于点F； 2以点F为圆心，以随便长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；3以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；4以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；5过点D作直线CD，CD就是所求的直线 说明 作图题都应给出证明，但依据教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由 典型例题六 例 如下列图，ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，B=36°，C=44°，请你从中选择适当的数据，画出与ABC全等的三角形把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据 分析 此题实质上是利用原题中的5个数据，列出全部与ABC全等的各种状况，根据是SSS、SAS、AAS、ASA 解 与ABC全等的三角形如下列图所示 典型例题七 例 正在修建的中山北路有一形态如下列图所示的三角形空地需要绿化拟从点A动身，将ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你关心规划出图案保存作图痕迹，不写作法 2023年，桂林 分析 这是尺规作图在生活中的具体应用要把ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点动身，说明这三个三角形的高是相等的，因此只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可 作法 如下列图，找三等分点的根据是平行线等分线段定理 典型例题八 例 已知AOB，求作AOB的平分线OC 错解 如图1 作法 1以O为圆心，随便长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；2分别以D、E为圆心，以大于 1DE的长为半径作弧，两弧相交于C点； 23连结OC，则OC就是AOB的平分线 错解分析 对角平分线的概念理解不够精确而致误作法3中连结OC，则OC是一条线段，而角平分线应是一条射线 图1 图2 正解 如图2 1以点O为圆心，随便长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；2分别以D、E为圆心，以大于 1DE的长为半径作弧，两弧交于C点； 23作射线OC，则OC为AOB的平分线 典型例题九 例 如图1所示，已知线段a、b、hhb 求作ABC，使BC=a，AB=b，BC边上的高AD=h 图1 错解 如图2，1作线段BC=a； 2作线段BA=b，使ADBC且AD=h 则ABC就是所求作的三角形 错解分析 不能先作BC；第2步不能同时满意几个条件，完全凭感觉毫无根据；未考虑到此题有两种状况对于这种作图题往往都是依据由里到外的依次依次作图，如此题先作高AD，再作AB，最终确定BC 图2 图3 正解 如图3 1作直线PQ，在直线PQ上任取一点D，作DMPQ；2在DM上截取线段DA=h； 3以A为圆心，以b为半径画弧交射线DP于B； 4以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BP和射线BQ于C1和C2；5连结AC1、AC2，则ABC1或ABC2都是所求作的三角形 典型例题十 例 如下列图，已知线段a，b，求作RtABC，使ACB=90°，BC=a，AC=b用直尺和圆规作图，保存作图痕迹 分析 此题解答的关键在于作出ACB=90°，然后确定A、B两点的位置，作出ABC 作法 如下列图 1作直线MN： 2在MN上任取一点C，过点C作CEMN；3在CE上截取CA=b，在CM上截取CB=a；4连结AB，ABC就是所求作的直角三角形 说明 利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的依次若把握不好作图依次，要先画出假设图形 典型例题十一 例 如下列图，已知钝角ABC，B是钝角 求作：1BC边上的高；2BC边上的中线写出作法，画出图形 分析 1作BC边上的高，就是过已知点A作BC边所在直线的垂线； 2作BC边上的中线，要先确定出BC边的中点，即作出BC边的垂直平分线 作法 如下列图 1在直线CB外取一点P，使A、P在直线CB的两旁； 以点A为圆心，AP为半径画弧，交直线CB于G、H两点； 分别以G、H为圆心，以大于 1GH的长为半径画弧，两弧交于E点； 21BC的长为半径画弧，两弧分别交于M、N两点； 2作射线AE，交直线CB于D点，则线段AD就是所要求作的ABC中BC边上的高2分别以B、C为圆心，以大于作直线MN，交BC于点F； 连结AF，则线段AF就是所要求作的ABC中边BC上的中线 说明 在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必需是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点 典型例题十二 例 如图1所示，在图中作出点C，使得C是MON平分线上的点，且AC=OC 图1 图2 分析 由题意知，点C不仅要在MON的平分线上，且点C到O、A两点的距离要相等，所以点C应是MON的平分线与线段OA的垂直平分线的交点 作法 如图2所示1作MON的平分线OP； 2作线段OA的垂直平分线EF，交OP于点C，则点C就是所要求作的点 说明1根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等 2两条直线交于一点 典型例题十三 例 如下列图，已知线段a、b、 求作梯形ABCD，使AD=a，BC=b，ADBC，B=；C= 分析 假定梯形已经作出，作AEDC交BC于E，则AE将梯形分割为两部分，一部分是ABE，另一部分是AECD在ABE中，已知B=，AEB=，BE=b-a，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD 作法 如下列图 1作线段BC=b； 2在BC上截取BE=b-a ； 3分别以B、E为顶点，在BE同侧作EBA=，AEB=，BA、EA交于A；4以EA、EC为邻边作AECD 四边形ABCD就是所求作的梯形 说明 基本作图是作出较简洁图形的基础，三角形是最简洁的多边形，它是许多困难图形的基础因此，要作一个困难的图形，常常先作一个比较简洁作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形 典型例题十四 例 如下列图，在一次军事演习中，红方侦察员觉察蓝方指挥部在A区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，假如你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置 2023年，青岛 分析 根据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B点的距离，根据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm，就可以确定出蓝方指挥部的位置 解 如下列图，图中C点就是蓝方指挥部的位置 典型例题十五 例 如图1，已知有公共端点的线段AB、BC求作O，使它经过点A、B、C要求：尺规作图，不写作法，保存作图痕迹 2023年，大连 图1 图2 分析 因为A、B、C三点在O上，所以OA=OB=OC=R根据到线段AB、BC各端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB、BC垂直平分线即可 解 如图2 说明 角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起 典型例题十六 例 如图，是一块直角三角形余料，ÐC=90°工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上试关心工人师傅用尺规画出裁割线 分析 要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为90°的四边形，并设法让相邻的一组边相等即可 作法 如图 作ÐACB的角平分线CD，交AB于点G； 过G点分别作AC、BC的垂线，垂足为E、F则四边形ECFG就是所要求作的正方形 第四篇：尺规作图专题详尽归纳 考点名称：尺规作图 1了解什么是尺规作图 2学会用尺规作图法完成以下五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线 3了解五种基本作图的理由 4学会运用精练、精确的作图语言表达画图过程 5学会利用基本作图画三角形等较简洁的图形 6通过画图相识图形的本质，体会图形的内在美 1尺规作图： 定义：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图 留意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛 步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；(3)用直尺和圆规进行作图；(4)写出作法步骤，即作法。根据题目要求来定是否需要写出作法 2尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种.3基本作图共有五种： (1)画一条线段等于已知线段 如图24-4-1，已知线段DE 求作：一条线段等于已知线段 作法：先画射线AB 然后用圆规在射线AB上截取ACMN 线段AC就是所要作的线段(2)作一个角等于已知角 如图24-4-2，已知AOB 求作：AOB，使AOBAOB 作法：作射线OA； 以点O为圆心，以随便长为半径作弧，交OA于C，交OB于D 以点O为圆心，以OC长为半径作弧，交OA于C 以点C为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D 经过点D作射线OB，AOB就是所求的角(3)作线段的垂直平分线 如图24-4-3，已知线段AB 求作：线段AB的垂直平分线 作法：分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D 作直线CD 直线CD就是线段AB的垂直平分线 留意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点(4)经过一点作已知直线的垂线 a经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4 已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C 作法：作平角ACB的平分线CF 直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4 b经过已知直线外一点作这条直线的垂线 如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C求作：AB的垂线，使它经过点C 作法：随便取一点K，使K和C在AB的两旁 以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E 分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F 作直线CF 直线CF就是所求的垂线 留意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决(5)平分已知角 如图24-4-6，已知AOB 求作：射线OC，使AOCBOC 作法：在OA和OB上，分别截取OD、OE 分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在AOB内，两弧交于点C 作射线OC OC就是所求的射线 留意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些困难的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好 通过这一节的学习，同学们要驾驭以下作图语言：(1)过点×和点×画射线××，或画射线××(2)在射线××上截取××××(3)以点×为圆心，××为半径画弧 (4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点× (5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×(6)在射线××上依次截取×××××× (7)在×××的外部或内部画×××××× 留意：学过基本作图后，在作较困难图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的具体过程，只用一句话概括表达就可以了 如：(1)画线段××××(2)画×××××× (3)画××平分×××，或画×××的角平分线(4)过点×画××××，垂足为点×(5)作线段××的垂直平分线××，等等 但要留意保存全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的表达省略而作图就不按程序操作，只有保存作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理 例1 已知两边及其夹角，求作三角形 如图24-4-7，已知：，线段a、b，求作：ABC，使A，ABa，ACb 作法：作MAN 在射线AM、AN上分别作线段ABa，ACb 连结BC 如图24-4-8，ABC即为所求作的三角形 留意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较困难的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析 例2 如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形 已知线段a、h求作：ABC，使ABAC，且BCa，高ADh 分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰ABC来 作法：(1)作线段BCa (2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D(3)在MN上截取DA，使DAh(4)连结AB、AC 如图24-4-10，ABC即为所求的等腰三角形 例3 已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形 如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h) 求作：ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h) 分析：如图24-4-12，假定ABC已作出，其中BCa，中线ADm，高AEh，在AED中ADm，AEh，AED90°，因此这个RtAED可以作出来(AED为奠基三角形)当RtAED作出后，由可得到 的关系可作出点B和点C，于是ABC即 作法：(1)作AED，使AED90°，AEh，ADm (2)延长ED到B，使 (3)在DE或BE的延长线上取 (4)连结AB、AC 则ABC即为所求作的三角形 留意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以假如h>m，作图题无解；若mh，则作出的图形为等腰三角形 例4 如图24-4-13，已知线段a 求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为12 分析：因为菱形四边相等，“半周长为a就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为12可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD 作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a (2)作线段AC，使 (3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D (4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14) 留意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法 例5 如图24-4-15，已知AOB和C、D两点 求作一点P，使PCPD，且使点P到AOB的两边OA、OB的距离相等 分析：要使PCPD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到AOB的两边距离相等，则P应在AOB的角平分线上，那么满意题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了 作法：(1)连结CD (2)作线段CD的中垂线l (3)作AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求 留意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满意题目的不同要求 例6(2000·安徽省)如图24-4-16，直线 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有() A一处 B二处 C三处 D四处 分析：到直线 距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点 解：分别作 相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个 答案：D 留意：此题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不行只作出